Comparaison de groupes d`extensions entre catégories de foncteurs

A
d
A
2d
A
2
Ak
ZF(A;k)
Ak d ∈NFd(A;k)
dF∞(A;k)
F∞(A;k)
id:Fd(A;k)→ F(A;k)id,l :Fd(A;k)→ Fl(A;k)d≤l
d≤l F G
Fd(A;k)k
Ext∗
Fd(A;k)(F, G)→Ext∗ Fl(A;k)(id,l(F), id,l(G)) →Ext∗ F(A;k)(id(F), id(G))
i

d l F G
∗
k0
Ap p
p k
k
d∈N∪ {∞} F G Fd(A;k)
Ext∗
Fd(A;k)(F, G)→Ext∗ F(A;k)(id(F), id(G))
id
d < ∞
F
d=∞d F
n
n
n
n= 1
FA(a, −)⊗k
F1(A;k)
k[A(a, −)]
kA(a, −)FF(A;k)
qdk[A(a, −)] qd
d
FFd(A;k)k[V]V
k⊗Si(V) (k⊗V)⊗
k
ik
i > 1
i0
FF(A;k)
qdFFd(A;k)
Γ

Γ Ω
pF(p)Fp
FpI
1 Ext2
F(p)(I,I)
Fp
0→I→Sp→Γp→I→0
d < p Fd(p)
dF(p)
ΣnFpn<d
d= 1 Ext2
Fd(p)(I,I) = 0
Ext2
F(p)(I,I) d≥p
Ext2
Fd(p)(I,I) →Ext2 F(p)(I,I)
Fd(p)F(p)
d≥p SpΓp
p
Ext∗
Fd(A;k)(F, G)→Ext∗ F(A;k)(id(F), id(G))
∗d
Ad=∞
A
d, i ∈NF G Fd(A;k)
A(a, b)
F G
i≤2d
Exti
Fd(A;k)(F, G)→Exti F(A;k)(F, G)
d=∞
k
k=Z

Z[V]V
k=Fpp
r a
bApA(a, b)pr
d, n, i ∈Nd≤n F Fd(A;Fp)G
Fn(A;Fp)
Exti
Fn(A;k)(F, G)→Exti F(A;k)(F, G)
i≤n−d+1
pri=n−d+1 pr+ 1
F G
aAr∈NbA
pA(a, b)pr
F G F∞(A;Fp)
Ext∗
F∞(A;k)(F, G)→Ext∗ F(A;k)(F, G)
F G F1(A;Fp)
Ext2
F∞(A;k)(F, G)→Ext2 F(A;k)(F, G)
d∈NF G Fd(A;Fp)
colim
r≥dExt∗
Fr(A;Fp)(F, G)→colim
pt>d Ext∗
F(A/pt;Fp)(F, G)
n∈NA/n
A
(A/n)(a, b) = A(a, b)/n A
A→A/n
Fd(A/pt;Fp)// F(A/pt;Fp)
Fd(A;Fp)//F(A;Fp)
pt> d
Fd(A;Fp)→ F(A/pt;Fp)
⇒

AF(A;Fp)T:Aop →Ab
L
i
A(−, ai) (ai)
AB:= HomZ(T, Fp)F(A;Fp)
colim
d∈N∗Ext2
Fd(A;Fp)(A, B)
'//colim
i∈NHomF(A;Fp)A, Ext1
Z(−,Z/p)◦(T/pi)
Ext2
F∞(A;Fp)(A, B)
'//HomF(A;Fp)A, colim
i∈NExt1
Z(−,Z/p)◦(T/pi)
Ext2
F(A;Fp)(A, B)'//HomF(A;Fp)A, Ext1
Z(−,Z/p)◦T
k
F(A;k)Fd(A;k)k
k
k=Q
k=Zk
Exti
Fd(A;k)(F, G)→Exti F(A;k)(F, G)
i≤1i= 2
Fd(A;k)F(A;k)
d
d=∞ F∞(A;k)
F(A;k)
k[A(a, −)] F(A;k)
colim
r≥dExt∗
Fr(A;k)(F, G)→Ext∗ F∞(A;k)(F, G),
F G Fd(A;k)
F
F∞(A;k)
Fd(A;k)d
I•
∞GF∞(A;k)r≥d
I•
rGFr(A;k)