Proposition : (« intersections finies de tranches »)
Les ensembles de la forme N
k1f1
kIk, où NN,fkEet IkRsont des intervalles, constituent
une base d’ouverts de la topologie σ E, E .
De manière plus locale, pour x E, une base de voisinage de xest donnée par la famille des ensembles
de la forme N
k1f1
kx ε, x ε , où NN,fkEet ε0.
Proposition :
Soit xnnNEN.
(i) xnx, σ E, E si et seulement si f E ,f xnx,
(ii) si xnxfortement, alors xnx, σ E, E ,
(iii) si xnx, σ E, E et fnffortement dans E, alors fnxnf x ,
(iv) si xnx, σ E, E alors la suite xnnNest bornée et on a xlim inf
nxn.
4 Dualité pour les Banach
Dans cette section Edésigne un espace de Banach et Esont dual topologique qui est également un
espace de Banach (muni de la norme subordonnée).
On va voir que tout élément de Epeut-être vu comme un élément du dual de E(le bidual : E)via
l’application :
j:EE
xER
ff x ,
et que celle-ci induit une topologie intéressante sur E.
Proposition-Définition : L’application jprécédemment définie est une isométrie linéaire de Esur
son bidual E, elle est donc en particulier injective. L’espace Eest dit réfléxif si jest surjective.
Définition : On appelle topologie faible la topologie σ E , j E . On la note parfois σ E , E .
Remarque : Il s’agit ici d’une topologie sur le dual E. C’est donc la topologie la moins fine rendant
les évaluations f f x continues.
Proposition :
Soit fnnNune suite d’éléments de E.
(i) fnf, σ E , E si et seulement si x E,fnx f x ,
(ii) si fnffortement, alors fnf, σ E , E ,
(iii) si fnf, σ E , E et xnxfortement dans E, alors fnxnf x ,
(iv) si fnf, σ E , E alors la suite fnnNest bornée et on a flim inf
nfn.
Théorème :(Banach-Alaoglu)
L’ensemble BE:f E :f1(boule unité du dual) est compact pour la topologie faible .
Théorème : Si l’espace Eest séparable, la boule unité de Epeut-être munie d’une distance induisant
la topologie faible .
Corollaire : Toute suite bornée de Eadmet une sous-suite convergente au sens de la topologie
σ E , j E .
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