1 Espaces de Hilbert 2 Opérateurs, spectre et compacité

Université Pierre et Marie Curie
Master de Mathématiques, M1
Analyse réelle, MM003
Année universitaire 2013-2014
Ayman Moussa
TD no 3 – Espaces de Hilbert. Opérateurs.
1
Espaces de Hilbert
Exercice 1.1:
Soit H un espace de Hilbert.
1. Soit K € H un compact. Démontrer qu’une suite de K faiblement convergente (dans H) est
fortement convergente.
2. Vérifier que toute suite faiblement convergente de H est bornée. Montrer que si pxn qn
}x} ¤ limn }xn }.
3. Que dire de la suite pxxn , yn yqnPN si pxn qnPN converge faiblement vers x
fortement vers y P H ? Et si les deux suites convergent faiblement ?
4. Vérifier que pour T
P L pH q, et toute suite pxn qnPN de H, on a
!
xn
)
á x
nÑ8
ùñ
!
T pxn q
á T pxq
nÑ8
á x, alors
P H et pyn qnPN converge
)
.
Exercice 1.2:
Soit H un espace de Hilbert et pxn qnPN une suite bornée de H. Le but de cet exercice est de montrer
que l’on peut extraire une sous-suite faiblement convergente de pxn qnPN .
1. Supposons que H soit séparable. Soit D une partie totale dénombrable de H. Montrer qu’on peut
extraire de pxn qnPN une sous-suite pxnk qkPN telle que pour tout z P VectpDq, la suite pxz, xnk yqkPN
converge vers un élément ℓpz q P K.
Indication : Un seul mot : « diagonale ».
2. Montrer que la convergence du crochet a en fait lieu pour tout z
P H.
3. Montrer que l’application ℓ ainsi définie est une forme linéaire continue et conclure.
4. Comment faire dans le cas non séparable ?
Exercice 1.3:
Montrer que si T P L pH q est normal, alors ~T 2 ~ ~T ~2.
Indication : Penser à se ramener au cas auto-adjoint qui se traite plus facilement.
2
Opérateurs, spectre et compacité
1
Exercice 2.1: Opérateurs compacts
Soient E un espace de Banach de dimension infinie et F un espace normé quelconque.
P L pE, F q inversible et bicontinu. Montrer que T n’est pas compact.
On suppose cette fois-ci que pour tout x P E, }T pxq}F ¥ C }x}E pour une certaine constante positive
C ¡ 0. Montrer que T n’est pas compact.
1. Soit T
2.
Exercice 2.2: Spectre continu, pas de valeurs propres
On considère l’opérateur fonctionnel
T : C 0 pr0, 1s, Rq ÝÑ C 0 pr0, 1s, Rq
f
ÞÝÑ xf.
Déterminer σ pT q et vppT q. T est-il compact ?
Exercice 2.3: Opérateurs diagonaux et shifts
P ℓ8 pCq, on définit
T : ℓp pCq ÝÑ ℓp pCq
pun qnPN ÞÝÑ pan unqnPN .
Vérifier que T est bien un endomorphisme continu de ℓp pCq.
Montrer que T est compact si et seulement si lim an 0.
nÑ8
Les shifts à droite et à gauche sur ℓp pCq sont-ils compacts ?
Soit p P r1, 8r. Soit pan qnPN
1.
2.
3.
Exercice 2.4: Shifts sur ℓ2 pCq
Soit S le shift à droite sur ℓ2 pCq, i.e. l’unique opérateur linéaire continu vérifiant S pen q
Ó
n
en
1,
où pen qnPN est la base hilbertienne canonique de ℓ2 pCq : en : p0, . . . 0, 1, 0, 0, . . . q.
1. Déterminer l’adjoint de S.
2. Expliquer pourquoi S n’est pas compact.
3. Déterminer les valeurs propres de S et S .
4. Montrer que le spectre de S et de S est inclus dans le disque unité fermé.
° n
Indication : On pourra vérifier que la série n Sλn converge dès lors que |λ| ¡ 1 et en déduire que
S λIdℓ2 pCq est inversible (ou tout simplement invoquer la formule du rayon spectral !).
5. Vérifier que le spectre de S contient le disque unité ouvert puis finalement que σ pS q σ pS q D
(disque unité fermé).
Exercice 2.5:
Soit H un espace de Hilbert. Montrer que T P L pH q est compact si et seulement si l’image par T
de toute suite de E convergeant faiblement vers 0 est une suite convergeant fortement vers 0.
Indication : On pourra utiliser certains résultats obtenus dans les deux premiers exercices de la section 1.
2
Exercice 2.6: Théorème spectral dans le cas compact auto-adjoint
Dans tout ce qui suit, on fixe un espace de Hilbert séparable H et un opérateur compact T P L pH q
auto-adjoint : T T . Le but de l’exercice est de démontrer l’existence d’une base hilbertienne pxn qnPN
de H et d’une suite pαn qn P RN tendant (éventuellement) vers 0 telle que T pxn q αn xn pour tout n.
1. Montrer que vppT q € R en utilisant l’auto-adjonction de T .
2. Vérifier que si λ1 λ2 sont deux valeurs propres associés à deux vecteurs propres e1 et e2 de T ,
alors e1 et e2 sont orthogonaux.
3. Soit ε ¡ 0. Montrer que Iε : tλ P vppT q : |λ| ¥ εu est fini.
Indication : Dans le cas contraire exhiber une suite de vecteurs propres infinie et orthonormée puis
utiliser la compacité prétendue de T .
4. En déduire que vppT q est au plus dénombrable et que le seul point d’accumulation possible est 0.
On notera donc vppT qzt0u : tλ1 , . . . , λn , . . .u de sorte que la suite pλp qpPN est soit stationnaire soit
convergente vers 0.
5. On pose F
λ P vppT q.
VecttEλ
: λ P vppT qu, où Eλ : KerpT
λIdH q désigne l’espace propre associé à
(a) Vérifier que si λ 0, Eλ est de dimension finie.
(b) Montrer que F est stable par l’opérateur T .
(c) Montrer que l’opérateur induit T|F est diagonalisable au sens suivant : il existe une suite pxn qn
de vecteurs propres de cet opérateur formant une base hilbertienne de F , la suite des valeurs
propres associées pαn qn tendant (éventuellement) vers 0.
(d) Vérifier que T stabilise aussi F K .
6. Montrons maintenant que pour tout opérateur compact auto-adjoint T
H t0u).
P L pH q, vppT q H (si
(a) Vérifier que pour tout x P H, xT pxq, xy P R. On pose M : sup}x}1 |xT pxq, xy| 8.
(b) Montrer que si M est nul, T aussi (et donc vppT q H), on suppose par la suite T non nul.
(c) Soit pxn qnPN telle que }xn }
1 et nlim
Ñ8 |xT pxnq, xn y| M . Montrer que l’on peut extraire de
pxn qnPN une sous-suite pxn qkPN convergeant faiblement vers un élément x de la boule unité
fermée de H et telle que pT pxn qqkPN converge fortement vers T pxq P H.
En déduire que xT pxq, xy M et }x} 1. Quitte à considérer T on suppose par la suite
que xT pxq, xy M .
Soit z P H unitaire, orthogonal à x. Vérifier que la courbe γ :s π, π rQ t ÞÑ x cos t z sin t est
k
k
(d)
(e)
à valeurs dans la sphère unité de H.
(f) On pose Φ : H Q y ÞÑ xT py q, y y P R. Montrer que Φ γ : R Ñ R est dérivable en 0, et calculer
cette dérivée.
Indication : On écrira pour t 0
Φpγ ptqq Φpγ p0qq
t
B T
γ pt q γ p0 q
t
, γ ptq
F
B
γ ptq γ p0q
T pγ p0qq,
t
(g) En notant que γ est maximale en 0, en déduire finalement que xxyK
et x sont proportionnels.
7. Conclure.
Exercice 2.7:
3
F
„ xT pxqyK, puis que T pxq
Soit K P C 0 pr0, 1s2, Rq. Dans la suite on note E
l’opérateur à noyau (K est le noyau de l’opérateur)
TK : E
f
C 0 pr0, 1s, Rq et H L2 ps0, 1rq. On considère
ÝÑ E
ÞÝÑ
»1
0
K px, y qf py qdy
1. Montrer en utilisant le théorème d’Ascoli que TK est un endomorphisme compact de E.
2. Nous allons prouver la compacité de TK par une autre méthode qui s’appliquera dans le cadre
L2 ps0, 1rq.
(a) En utilisant le théorème de Stone-Weirestrass montrer qu’il existe une suite de noyaux de la
forme
Kp px, y q :
p
¸
ak pxqbk py q,
k 1
2
P C 0 pr0, 1sq, tels que plim
Ñ8 Kp K, la convergence étant uniforme sur le carré r0, 1s .
Montrer que pour tout p P N, l’opérateur TK est de rang fini et que la suite pTK qpPN converge
vers TK dans L pE q.
Vérifier que TK s’étend naturellement en un opérateur de L pH q. Montrer qu’il est également
où ak , bk
(b)
(c)
p
p
compact dans cet espace et calculer son adjoint.
3. Étudions maintenant le cas particulier où K px, y q
comme opérateur de L pH q, i.e.
TK : H
f
e|xy|. On considère dans toute la suite TK
ÝÑ H
ÞÝÑ
»1
0
K px, y qf py qdy.
(a) Vérifier que TK est auto-adjoint et montrer que ~TK ~ ¤ 1.
P E et g TK pf q. Montrer que g P C 2 pr0, 1sq et que
x P r0, 1s, g2 pxq gpxq 2f pxq, gp0q g1 p0q, gp1q g1p1q.
Montrer que TK pE q tg P C 2 pr0, 1sq : g p0q g 1 p0q, g p1q g 1 p1qu et TK pH q € E.
Indication : Pour la première partie, poser f pg 2 g q{2 et raisonner sur h g TK pf q
pour aboutir à TK pf q g.
Montrer que ImpTK q est dense dans H et en déduire que 0 n’est pas valeur propre de TK .
(b) Soit f
(c)
(d)
Est-ce que 0 appartient au spectre de TK ?
Rappel : On rappelle que C08 ps0, 1rq (fonctions plateaux) est dense dans H.
(e) Montrer que si f
P E et g TK pf q,
xg, f yH 12 }g}22 }g1 }22 |gp1q|2 |gp0q|2
et en déduire que pour tout f P H,
xTK pf q, f yH ¥ 12 }TK pf q}22 .
,
(f) Démontrer que σ pTK q € r0, 1s. L’égalité est-elle possible ?
(g) Pour λ Ps0, 1s on pose aλ :
2λ
. Démontrer que
λ
λ P σ pTK q ðñ p1 a2λ q sinpaλ q
2aλ cospaλ q 0,
et en déduire que σ pTK q t0u Y tλn unPN avec
2
1
pπ{2
nπ q2
4
λn 1 p2nπq2 .