Épreuve 1

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A. P. M. E. P.
CAPES session 2015 Épreuve 1
Problème no1
Notations
On note Cl’ensemble des nombres complexes.
La partie réelle du nombre complexe zest notée Re z.
Le module du nombre complexe zest noté |z|et on rappelle que, pour tout nombre
complexe z,|z|2=z×z.
Soient pet qdeux entiers relatifs tels que p6q, on note p,ql’ensemble des entiers
relatifs ktels que p6k6q.
Préambule
Ce problème est composé de trois parties.
La partie A généralise l’inégalité triangulaire dans Cet son cas d’égalité.
La partie B est une application d’un résultat de la partie A à un problème d’optimi-
sation.
La partie C est une application d’un résultat de la partie B a un problème de géomé-
trie du triangle.
Partie A
On considère un entier naturel nnon nul.
I.
1. Justifier que pour tout nombre complexe z, Re z6|z|et étudier le cas d’éga-
lité.
2. Question de cours. - Démontrer que. pour tout couple (z1,z2)de nombres
complexes, |z1+z2|6|z1|+|z2|.
3. On suppose z1et z2sont des nombres complexes non nuls. Montrer que l’in-
égalité précédente est une égalité si et seulement s’il existe un réel positif λ
tel que z2=λz1. Interpréter ce résultat en termes d’argument.
II.
1. Démontrer que, pour tout n-uplet (z1,z2,...,zn)de nombres complexes,
¯¯¯¯¯
n
X
k=1
zk¯¯¯¯¯
6
n
X
k=1
|zk|.
2. Montrer que, si z1,z2,...,znsont des nombres complexes tous non nuls, l’in-
égalité précédente est une égalité si et seulement si
∀k∈J1, nK,λk∈R+,zk=λkz1.
Interpréter ce résultat en termes d’arguments.
Partie B
On se place désormais dans le plan complexe P, d’origine O, Soit un entier n>3.
On considère npoints A1,A2,...,An, d’affixes respectives z1,.z2,...,zntels que :
(i) Pour tout k∈J1, nK,Akest distinct de O.
(ii) Les Aksont deux à deux distincts.
(iil) Il n’existe aucune droite du plan Pcontenant tous les Ak.

A. P. M. E. P.
(iv)
n
X
k=1
zk
|zk|=0.
I. Donner un exemple de n-uplet z1,.z2,...,znvérifiant l’égalité précédente.
II. Pour tout k∈J1, nK, on pose uk=zk
|zk|. Soit Mun point de Pd’affixe z.
1. Vérifier que n n n
X
k=1
uk(z−zk)= −
n
X
k=1
|zk|.
2. En déduire l’inégalité (⋆) ci-dessous :
n
X
k=1
(z−zk)>
n
X
k=1
|zk|. (⋆)
3. En utilisant la question II. 2. de la partie A, démontrer que l’inégalité (est une
égalité si et seulement si, pour tout k∈J1, nK,uk(z−zk)est un réel négatif.
4. En déduire que l’inégalité (⋆) est une égalité si et seulement si z=0.
5. Établir que la somme
n
X
k=1
M Akatteint son minimum en un unique point M
que l’on précisera.
Partie C
On se place toujours dans le plan complexe P. On considère trois points A,B,C
d’affixes respectives a,b,cet tels que :
•Les points A, B, C ne sont pas alignés.
•Chacun des angles ³−−→
AB ,−−→ AC ´,³−−→
BC ,−−→ B A ´,³−−→
C A ,−−→ CB ´possède une mesure
appartenant à l’intervalle [0 ; 2π/3[.
Sur les côtés du triangle ABC, on construit vers l’extérieur trois triangles équilatéraux
AC′B,B A′Cet C B′A. On nomme a′,b′,c′les affixes respectives des points A′,B′,C′.
I. Faire une figure et tracer les droites (A A′), (BB′) et (CC ′).
II. On admet que les droites (A A′), (BB′) et (CC′) sont concourantes en un point
Ωstrictement compris à l’intérieur du triangle ABC. En utilisant une rotation de
centre Aexprimer b′en fonction de aet cet ben fonction de aet c′.
III. En déduire le module et un argument de b′−b
c−c′.
IV. Déterminer une mesure de chacun des angles ³−−→
ΩB,−−→ ΩC´,³−−→
ΩC,−−→ ΩA´et ³−−→
ΩA,−−→ ΩB´.
V. Démontrer que
−−→
ΩA
ΩA+
−−→
ΩB
ΩB+
−−→
ΩC
ΩC=−→
0 .
VI. En utilisant les résultats de la partie B, établir que la somme
M A +MB +MC admet son minimum en un unique point que l’on précisera.
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Problème no2
Notations
On note Nl’ensemble des. entiers naturels et N∗l’ensemble des entiers naturels non
nuls,
On note Rl’ensemble des nombres réels et R∗
+l’intervalle ]0 ; +0 ∞[.
La partie imaginaire du nombre complexe zest notée Im z.
Préambule
Dans tout le problème, les suites considérées sont à valeurs réelles.
La partie A aborde la convergence des suites monotones et aboutit à quelques résul-
tats sur la série harmonique.
Les parties B et C envisagent l’étude de la convergence au sens de CESÀRO et son
lien avec la convergence au sens usuel,
Partie A
I. Questions de cours
1. Démontrer que si (un)n∈Nest une suite croissante et non majorée, alors elle
diverge vers +∞.
2. Démontrer que si (un)n∈Nest une suite croissante et majorée alors. elle converge.
3. Établir une condition nécessaire et suffisante pour qu’une suite décroissante
soit convergente.
II. On considère la suite définie pour tout entier naturel n>1 par
an=
n
X
k=1
1
k.
1. Donner une interprétation graphique de anà partir de la représentation gra-
phique de la fonction inverse sur l’intervalle [1 ; n+1].
2. a. Démontrer que, pour tout entier n>1,
a2n−an>1
2.
b. La suite (un)n>1est-elle convergente ?
3. Recherche d’un équivalent de anau voisinage de +∞.
a. Démontrer que, pour tout entier naturel knon nul,
1
k+16Zk+1
k
1
tdt61 k.
b. En déduire que, pour tout entier naturel n>1, an−16lnn6an.
c. En déduire un équivalent de anau voisinage de +∞.
4. On pose, pour tout n>1, bn=anlnn.
À l’aide des résultats des questions II. 3. a et II. 3. b, démontrer que la suite
(bn)n>1est convergente.
Partie B
À toute suite (un)n>1on associe la suite (vn)n>1définie. par
∀n>1, vn=1
n
n
X
k=1
uk.
On dit que la suite (un)n>1converge au sens de ‘CESÀRO si la suite (vn)n>1converge.
I.
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1. Soit (un)n>1une suite de limite nulle et ǫ∈R∗
+.
a. Montrer qu’il existe nO∈N∗tel que, pour tout n>n0
1
nÃn0
X
k=1
uk!−ǫ6vn61
nÃn0
X
k=1
uk!+ǫ.
b. En déduire que la suite (vn)n>1converge vers 0.
2. Énoncer et démontrer la généralisation du résultat précédent au cas où la
suite (unn>1converge vers un réel ℓquelconque.
II. Application à la recherche d’un équivalent :
On considère la suite définie par
x1=1 et ∀n∈N∗,xn+1=xn(1+xn)
1+2xn
.
1. Montrer que pour tout n>2, 0 <xn<1.
2. Montrer que la suite (xn)n>1est décroissante.
3. La suite (xn)n>1est-elle.convergente ? Si oui, déterminer sa limite.
4. Vérifier que, pour tout n∈N∗,
1
xn+1
−1
xn
=1
1+xn
.
5. Pour tout ng e qsl ant 1, on pose
un=1
xn+1
−1
xn
et vn=1
nÃn
X
k=1
uk!.
Montrer que (un)n>1converge vers 1.
6. Exprimer vnen fonction de xn+1et x1et en déduire un équivalent de xnau
voisinage de +.
III. Soit (xn)n>1une suite réelle.
1. On suppose que la suite (xn)n>1converge. Montrer que la suite (xn+1−xn)n>1
converge.
2. On suppose que la suite (xn+1−xn)n>1converge vers un nombre réel ℓ.
a. Montrer que la suite ³xn
n´n>1converge et préciser sa limite.
b. Étudier la convergence de la suite (xn)n>1dans le cas où ℓ6= 0.
c. Dans le cas où ℓ=0, la suite (xn)n>1est-elle nécessairement conver-
gente ?
Partie C
I. Dans cette question, pour n>1, on pose un=(−1)net vn=1
nÃn
X
k=1
uk!.
1. Étudier la convergence de la suite (vn)n>1.
2. Conclure quant à la validité de la réciproque de la proposition énoncée à la
question I. 2. de la partie B.
CAPES externe 2015 4

A. P. M. E. P.
II. Soit αun nombre réel. Dans cette question, pour n>1, on pose
un=sinnαet vn=vn=1
nÃn
X
k=1
uk!.
1. Étudier Ia.nature des suites (un)n>1et (vn)n>1lorsque α≡0 (modπ),
2. Pour n>1, on pose cn=cosnα.
Exprimer un+2−unen fonction de cn+1et un+2+unen fonction de un+1.
3. On suppose dans cette question que α6= 0 (modπ).
a. On fait l’hypothèse que la suite (un)n>1converge. En utilisant les deux
relations établies à la question II. 2., démontrer qu’alors la suite (cn)n>1
converge également et préciser les limites des suites (un)n>1et (cn)n>1.
b. Conclure quant à la convergence de la suite (un)n>1.
c. En remarquant que sinkα=Im¡eikα¢, montrer que la suite (vn)n>1converge
et donner la valeur de sa limite.
III. Dans cette question, on suppose que. la suite (un)n>1est croissante et que la
suite (vn)n>1converge.
1. Démontrer, pour tout n>1, l’inégalité
nun+16
2n
X
k=n+1
uk.
2. En déduire que, pour tout n>1, un+12v2n−vn.
3. Établir la convergence de la suite (un)n>1et préciser sa limite.
4. Énoncer la propriété ainsi démontrée sous la forme d’une condition néces-
saire et suffisante.
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