Épreuve 1

CAPES session 2015 Épreuve 1
Problème no 1
Notations
On note C l’ensemble des nombres complexes.
La partie réelle du nombre complexe z est notée Re z.
Le module du nombre complexe z est noté |z| et on rappelle que, pour tout nombre
complexe z, |z|2 = z × z.
Soient p et q deux entiers relatifs tels que p 6 q, on note p, q l’ensemble des entiers
relatifs k tels que p 6 k 6 q.
Préambule
Ce problème est composé de trois parties.
La partie A généralise l’inégalité triangulaire dans C et son cas d’égalité.
La partie B est une application d’un résultat de la partie A à un problème d’optimisation.
La partie C est une application d’un résultat de la partie B a un problème de géométrie du triangle.
Partie A
On considère un entier naturel n non nul.
I.
1. Justifier que pour tout nombre complexe z, Re z 6 |z| et étudier le cas d’égalité.
2. Question de cours. - Démontrer que. pour tout couple (z1 , z2 ) de nombres
complexes, |z1 + z2 | 6 |z1 | + |z2 |.
3. On suppose z1 et z2 sont des nombres complexes non nuls. Montrer que l’inégalité précédente est une égalité si et seulement s’il existe un réel positif λ
tel que z2 = λz1 . Interpréter ce résultat en termes d’argument.
II.
1. Démontrer que, pour tout n-uplet (z1 , z2 , . . . , zn ) de nombres complexes,
¯
¯
¯X
¯ X
n
n
¯
¯
|z | .
zk ¯ 6
¯
¯k=1 ¯ k=1 k
2. Montrer que, si z1 , z2 , . . . , zn sont des nombres complexes tous non nuls, l’inégalité précédente est une égalité si et seulement si
∀k ∈ J1, n K,
λk ∈ R+ ,
zk = λk z1 .
Interpréter ce résultat en termes d’arguments.
Partie B
On se place désormais dans le plan complexe P , d’origine O, Soit un entier n > 3.
On considère n points A 1 , A 2 , . . . , A n , d’affixes respectives z1 , .z2 , . . . , zn tels que :
(i) Pour tout k ∈ J1, n K, A k est distinct de O.
(ii) Les A k sont deux à deux distincts.
(iil) Il n’existe aucune droite du plan P contenant tous les A k .
A. P. M. E. P.
...
A. P. M. E. P.
n z
X
k
= 0.
|z
k=1 k |
I. Donner un exemple de n-uplet z1 , .z2 , . . . , zn vérifiant l’égalité précédente.
zk
. Soit M un point de P d’affixe z.
II. Pour tout k ∈ J1, n K, on pose uk =
|zk |
(iv)
1. Vérifier que n n
n
X
uk (z − zk ) = −
k=1
(z − zk ) >
k=1
|zk | .
k=1
2. En déduire l’inégalité (⋆) ci-dessous :
n
X
n
X
n
X
|zk | .
(⋆)
k=1
3. En utilisant la question II. 2. de la partie A, démontrer que l’inégalité (est une
égalité si et seulement si, pour tout k ∈ J1, n K, uk (z − zk ) est un réel négatif.
4. En déduire que l’inégalité (⋆) est une égalité si et seulement si z = 0.
n
X
M A k atteint son minimum en un unique point M
5. Établir que la somme
que l’on précisera.
k=1
Partie C
On se place toujours dans le plan complexe P . On considère trois points A, B, C
d’affixes respectives a, b, c et tels que :
• Les points A, B, C ne³ sont pas ´alignés.
−−→ −−→ ³−−→ −−→´ ³−−→ −−→´
• Chacun des angles AB , AC , BC , B A , C A , C B possède une mesure
appartenant à l’intervalle [0 ; 2π/3[.
Sur les côtés du triangle ABC, on construit vers l’extérieur trois triangles équilatéraux
AC ′ B, B A ′ C et C B ′ A. On nomme a ′ , b ′ , c ′ les affixes respectives des points A ′ , B ′ , C ′ .
I. Faire une figure et tracer les droites (A A ′ ), (BB ′ ) et (CC ′ ).
II. On admet que les droites (A A ′ ), (BB ′ ) et (CC ′ ) sont concourantes en un point
Ω strictement compris à l’intérieur du triangle ABC . En utilisant une rotation de
centre A exprimer b ′ en fonction de a et c et b en fonction de a et c ′ .
b′ − b
.
III. En déduire le module et un argument de
c − ³c ′
−−→ −−→´ ³−−→ −−→´ ³−−→ −−→´
IV. Déterminer une mesure de chacun des angles ΩB , ΩC , ΩC , ΩA et ΩA , ΩB .
V. Démontrer que
−−→ −−→ −−→
ΩA
ΩB
ΩC
→
−
+
+
=0.
ΩA
ΩB
ΩC
VI. En utilisant les résultats de la partie B, établir que la somme
M A + MB + MC admet son minimum en un unique point que l’on précisera.
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A. P. M. E. P.
Problème no 2
Notations
On note N l’ensemble des. entiers naturels et N∗ l’ensemble des entiers naturels non
nuls,
On note R l’ensemble des nombres réels et R∗+ l’intervalle ]0 ; +0 ∞[.
La partie imaginaire du nombre complexe z est notée Im z.
Préambule
Dans tout le problème, les suites considérées sont à valeurs réelles.
La partie A aborde la convergence des suites monotones et aboutit à quelques résultats sur la série harmonique.
Les parties B et C envisagent l’étude de la convergence au sens de CESÀRO et son
lien avec la convergence au sens usuel,
Partie A
I. Questions de cours
1. Démontrer que si (un )n∈N est une suite croissante et non majorée, alors elle
diverge vers +∞.
2. Démontrer que si (un )n∈N est une suite croissante et majorée alors. elle converge.
3. Établir une condition nécessaire et suffisante pour qu’une suite décroissante
soit convergente.
II. On considère la suite définie pour tout entier naturel n > 1 par
an =
n 1
X
.
k=1 k
1. Donner une interprétation graphique de an à partir de la représentation graphique de la fonction inverse sur l’intervalle [1 ; n + 1].
2. a. Démontrer que, pour tout entier n > 1,
1
a2n − an > .
2
b. La suite (un )n >1 est-elle convergente ?
3. Recherche d’un équivalent de an au voisinage de +∞.
a. Démontrer que, pour tout entier naturel k non nul,
1
6
k +1
Zk+1
k
1
1
dt 6 .
t
k
b. En déduire que, pour tout entier naturel n > 1, an − 1 6 ln n 6 an .
c. En déduire un équivalent de an au voisinage de +∞.
4. On pose, pour tout n > 1, b n = an ln n.
À l’aide des résultats des questions II. 3. a et II. 3. b, démontrer que la suite
(b n )n >1 est convergente.
Partie B
À toute suite (un )n >1 on associe la suite (v n )n >1 définie. par
∀n > 1,
vn =
n
1 X
uk .
n k=1
On dit que la suite (un )n >1 converge au sens de ‘CESÀRO si la suite (v n )n >1 converge.
I.
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A. P. M. E. P.
1. Soit (un )n >1 une suite de limite nulle et ǫ ∈ R∗+ .
a. Montrer qu’il existe nO ∈ N∗ tel que, pour tout n > n0
Ã
Ã
!
!
n0
n0
1 X
1 X
uk − ǫ 6 v n 6
uk + ǫ.
n k=1
n k=1
b. En déduire que la suite (v n )n >1 converge vers 0.
2. Énoncer et démontrer la généralisation du résultat précédent au cas où la
suite (un n >1 converge vers un réel ℓ quelconque.
II. Application à la recherche d’un équivalent :
On considère la suite définie par
x1 = 1 et ∀n ∈ N∗ ,
xn+1 =
xn (1 + xn )
.
1 + 2xn
1. Montrer que pour tout n > 2, 0 < xn < 1.
2. Montrer que la suite (xn )n >1 est décroissante.
3. La suite (xn )n >1 est-elle.convergente ? Si oui, déterminer sa limite.
4. Vérifier que, pour tout n ∈ N∗ ,
1
1
1
−
=
.
xn+1 xn 1 + xn
5. Pour tout ng eq sl ant 1, on pose
un =
1
xn+1
1
−
xn
!
Ã
n
1 X
uk .
et v n =
n k=1
Montrer que (un )n >1 converge vers 1.
6. Exprimer v n en fonction de xn+1 et x1 et en déduire un équivalent de xn au
voisinage de +.
III. Soit (xn )n >1 une suite réelle.
1. On suppose que la suite (xn )n >1 converge. Montrer que la suite (xn+1 − xn )n >1
converge.
2. On suppose que la suite (xn+1 − xn )n >1 converge vers un nombre réel ℓ.
³x ´
n
converge et préciser sa limite.
a. Montrer que la suite
n n >1
b. Étudier la convergence de la suite (xn )n >1 dans le cas où ℓ 6= 0.
c. Dans le cas où ℓ = 0, la suite (xn )n >1 est-elle nécessairement convergente ?
Partie C
Ã
!
n
1 X
I. Dans cette question, pour n > 1, on pose un = (−1) et v n =
uk .
n k=1
n
1. Étudier la convergence de la suite (v n )n >1 .
2. Conclure quant à la validité de la réciproque de la proposition énoncée à la
question I. 2. de la partie B.
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4
A. P. M. E. P.
II. Soit α un nombre réel. Dans cette question, pour n > 1, on pose
Ã
!
n
1 X
un = sin nα et v n = v n =
uk .
n k=1
1. Étudier Ia.nature des suites (un )n >1 et (v n )n >1 lorsque α ≡ 0 (modπ),
2. Pour n > 1, on pose c n = cos nα.
Exprimer un+2 − un en fonction de c n+1 et un+2 + un en fonction de un+1 .
3. On suppose dans cette question que α 6= 0 (mod π).
a. On fait l’hypothèse que la suite (un )n >1 converge. En utilisant les deux
relations établies à la question II. 2., démontrer qu’alors la suite (c n )n >1
converge également et préciser les limites des suites (un )n >1 et (c n )n >1 .
b. Conclure quant à la convergence de la suite (un )n >1 .
¡
¢
c. En remarquant que sin kα = Im eikα , montrer que la suite (v n )n >1 converge
et donner la valeur de sa limite.
III. Dans cette question, on suppose que. la suite (un )n >1 est croissante et que la
suite (v n )n >1 converge.
1. Démontrer, pour tout n > 1, l’inégalité
nun+1 6
2n
X
uk .
k=n+1
2. En déduire que, pour tout n > 1, un+1 2v 2n − v n .
3. Établir la convergence de la suite (un )n >1 et préciser sa limite.
4. Énoncer la propriété ainsi démontrée sous la forme d’une condition nécessaire et suffisante.
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