Propriété de l`angle inscrit

ACTIVITE : ANGLE INSCRIT
ET ANGLE AU CENTRE
Définitions
Découverte Propriété 1
Découverte Propriété 2
Démonstration Propriété 1
Cas n°1
Cas n°2
Cas n°3
Démonstration Propriété 2
Définitions
Un angle inscrit est un angle dont le
sommet est sur un cercle et dont
les côtés coupent ce cercle.
M
Angle inscrit
B
A
Définitions
Un angle au centre est un angle dont le
sommet est le centre d’un cercle.
O
A
B
Angle au centre
1.A la découverte des deux propriétés
a)Tracer un cercle C de centre O.
Placer trois points A, B, M et N sur C.
b)Tracer l’angle inscrit AMB et l’angle
au centre AOB.
Mesurer AMB et AOB.
Quelle remarque peut-on faire ?
Angle inscrit
M
O
A
B
Angle au centre
Arc de cercle intercepté
par les deux angles
AMB = 2 AOB
M
O
B
Propriété 1
(Propriété de
A
l’angle inscrit)
Dans un cercle, si un angle au centre et
un angle inscrit interceptent le même arc
alors la mesure de l’angle inscrit est égale
à la moitié de l’angle au centre.
d)Tracer l’angle inscrit .
e)Que peut-on dire M
des angles AMB et
ANB?
AMB
= ANB
N
O
B
A
Propriété 2
Si deux angles inscrits interceptent
le même arc alors ils ont la même mesure.
2. Démonstration des deux propriétés
Propriété 1
Cas n°1 : [MB] est un diamètre de C.
a) Démontrer que OMA est isocèle.
M
b) Démontrer que
AOM = 180 – 2 OMA
O
c) En déduire que :
AOB = 2AMB
A
B
a) Démontrer que OMA est isocèle.
[OA] et [OM] sont deux rayons du
cercle C donc OA = OB.
M
OA = OM donc
OMA est isocèle en O.
O
A
B
b) Démontrer que :
AOM = 180 – 2 OMA. M
OMA est isocèle en O
donc les angles à la
base OMA et OAB
sont égaux.
O
A
Or AOM = 180° - (OMA + OAB)
Donc AOM = 180° - 2 OMA
B
M
c) En déduire que :
AOB = 2 AMB.
OAB et AOM sont
supplémentaires
donc
AOB = 180° - AOM.
A
Or AOM = 180° - 2 OMA
O
Donc AOB = 180° - (180° - 2OMA)
AOB = 180° - 180° + 2OMA
Donc AOB = 2 AMB.
B
2. Démonstration des deux propriétés
Cas n°2 : [MB] est un diamètre de C.
En utilisant le résultat du cas n°1,
Démontrer que :
M
AOB = 2AMB
O
B
A
C
Cas n°2 : [MB] est un diamètre de C.
En utilisant le résultat du cas n°1,
Démontrer que :
M
AOB = 2AMB
[MC] est un diamètre
O
de C donc d’après
la question a) :
AOC = 2 AMC
et COB = 2 CMB
A
Or AOB = AOC + COB
Or AOB = 2AMC + 2CMB = 2 AMB
B
C
2. Démonstration des deux propriétés
Cas n°3 : [MB] est un diamètre de C.
En utilisant le résultat du cas n°1,
M
Démontrer que :
AOB = 2AMB
O
B
A
C
Cas n°3 : [MB] est un diamètre de C.
En utilisant le résultat du cas n°1,
Démontrer que :
M
AOB = 2AMB
[MC] est un diamètre
O
de C donc d’après
la question a) :
AOC = 2 AMC
et BOC = 2 BMC
B
A
Or AOB = BOC - AOC
Or OAB = 2BMC – 2AMC = 2 AMB
C
2. Démonstration des deux propriétés
Propriété 2 En utilisant la propriété 1,
démontrer la propriété 2.
N
M
AMB et AOB
interceptent le même
O
arc de cercle donc
AMB = AOB :2
B
A
2. Démonstration des deux propriétés
Propriété 2 En utilisant la propriété 1,
démontrer la propriété 2.
N
M
ANB et AOB
interceptent le même
O
arc de cercle donc
ANB = AOB :2
B
A
2. Démonstration des deux propriétés
Propriété 2 En utilisant la propriété 1,
démontrer la propriété 2.
N
AMB = AOB :2
M
et
ANB = AOB :2
O
donc
B
AMB = ANB
A
Fin