Angle inscrit dans un cercle

A
Angle inscrit dans un cercle
B
B
I) Définition :
1) Angle inscrit dans un cercle
(figures 1 et 2)
a est un angle
On dit que AMB
inscrit dans le cercle si les côtés de
l'angle [MA] et [MB] sont deux cordes de
ce cercle.
M
M
fig. 1 A
fig. 2
On dit que l'angle inscrit a
AMB intercepte l'arc de cercle c
AB (représenté en gras sur le dessin).
2) Angle au centre associé à un angle inscrit (figures 3 et 4)
O étant le centre du cercle, on dit que
a
AOBest l'angle au centre associé à
M
a car il intercepte le
l'angle inscrit AMB
même arc de cercle c
AB.
Remarque : Dans la figure 4, a
AOB devrait
logiquement
b car
s'écrire AOB
il
est
supérieur à 180°.
O
O
B
A
B
A
M
fig.4
fig. 3
II) Démontrons une propriété :
a MAO
a et OBM.
a
Soient a, b et c les mesures respectives en degrés de OAB,
a OMB
a et a
1) Exprimer en fonction de a, b ou c les mesures des angles AMO,
OBA en
expliquant pourquoi, puis inscrire le résultat sur le dessin.
M
2) Compléter : La somme des angles d’un
triangle donne ……°
a = ……° - (a
donc AOB
OAB + a
…… ) ;
a = 180° - 2….
donc AOB
O
3) Compléter : Dans le triangle MAB,
c
a
a a
AMB+ MBA+
BAM = ……°, donc (b + c) + (… + …)
b
+ (… + …) = 180° ; donc 2a + 2… + 2… = 180° ;
donc 2a = 180° - 2… – 2….
a
B
A
Maths à Harry
Et puisque, d'après 2), a
AOB= 180° - 2a,
a
AOB = 180° - (180° - …… – ……) = 180° - 180° + …… + …… = …… + …… .
a = … + … , donc a
Or AMB
AOB = 2 × a
…… .
PROPRIÉTÉ : L'angle au centre est toujours le double de l'angle
inscrit auquel il est associé.
M
Question : Pouvez vous retrouver grâce à cela la propriété :
"Lorsqu'on relie un point d'un cercle aux extrémités d'un de ses
diamètres, on obtient toujours un triangle rectangle." ?
O
A
B
III) Exercices :
E
A
70°
O
F
H
B
1) Calculer a
BOC.
3)
120°
O
C
2) Calculer les angles a
HEF , a
EFH et a
EHF .
M
N
a en fonction de a
a) Exprimer RMP
ROP.
aen fonction de a
b) Exprimer RNP
ROP.
a et a
c) Que peut-on dire des angles RMP
RNP ?
d) En utilisant les termes du cours, expliquer dans quel cas
deux angles inscrits dans le même cercle sont égaux…
4) On donne a
ACD = 47°, a
CAB = 28° et a
BDA = 62°. En déduire les
O
R
P
A
B
mesures des anglesa
ABD, a
BDC et a
ACB. Puis calculer ou déduire les
P
mesures des angles a
DPC, a
CPB, a
BPA, a
APD, a
DAP et a
DBC (les
dimensions du dessin ne sont pas respectées…).
D
C
Maths à Harry
Correction :
II) Le triangle AOB est isocèle en O car OA et OB sont des rayons du cercle. Comme dans un
triangle isocèle, les angles de la base opposée au sommet principal sont égaux,
a
a = c et AMO
a = b.
OBA = a
OAB = a. De même, on pourrait démontrer que OMB
a = 180°, donc l'angle inscrit
Question : Lorsque [AB] est un diamètre, l'angle au centre AOB
a
AMB = 180° ÷ 2 = 90°. Donc AMB est rectangle en M.
III)
1) a
BOC = 140°.
2)
L'angle
inscrit
a
EFH
a
pour
angle
au
centre
a
EOH.
Donc a
EFH = 120° ÷ 2 = 60°. D'autre part, l'angle inscrit a
EHF a pour angle au centre a
EOF .
Donc a
EHF = 90° ÷ 2 = 45°. Dans le triangle EHF, a
HEF= 180° - 60° - 45° = 75°.
a = ROP
a ÷ 2 = RNP
a. Deux angles sont égaux "lorsqu'ils interceptent le même arc"
3) RMP
(ici c
RP ).
a 47°; BDC=
a 28° ; a
a 105° ; a
4) ABD=
ACB= 62°; DPC=
CPB= 75° ; a
BPA= 105° ; a
APD= 75° ;
a
DAP= 43° et a
DBC= 43°.
Maths à Harry