Angles inscrits dans un cercle

A
Angle inscrit dans un cercle
B
B
I) Définition :
1) Angle inscrit dans un cercle
(figures 1 et 2)
On dit que ;AMB est un angle
inscrit dans le cercle si les côtés de
l'angle [MA] et [MB] sont deux cordes de
ce cercle.
M
M
fig. 1 A
fig. 2
On dit que l'angle inscrit ;AMB intercepte l'arc de cercle;AB (représenté en gras sur le
dessin).
2) Angle au centre associé à un angle inscrit (figures 3 et 4)
O étant le centre du cercle, on dit que
;AOBest l'angle au centre associé à
l'angle inscrit ;AMB car il intercepte le
M
même arc de cercle ;AB.
Remarque : Dans la figure 4, ;AOB
O
O
B
devrait
logiquement s'écrire ;AOB car il est
A
B
A
supérieur à 180°.
M
fig.4
fig. 3
II) Démontrons une propriété :
Soient a, b et c les mesures respectives en degrés de ;OAB, ;MAO et ;OBM.
1) Exprimer en fonction de a, b ou c les mesures des angles ;AMO, ;OMB et ;OBA
en expliquant pourquoi, puis inscrire le résultat sur le dessin.
2) Compléter : La somme des angles d’un
M
triangle donne ……°
donc ;AOB = ……° - (;OAB + ;……) ;
donc ;AOB = 180° - 2….
3) Compléter : Dans le triangle MAB,
O
;AMB+ ;MBA+ ;BAM = ……°, donc (b + c) + (…
c
+ …) + (… + …) = 180° ; donc 2a + 2… + 2… =
b
a
180° ; donc 2a = 180° - 2… – 2….
B
A
Et puisque, d'après 2), ;AOB= 180° - 2a,
Maths à Harry
;AOB = 180° - (180° - …… – ……) = 180° - 180° + …… + …… = …… + …… .
Or ;AMB = … + … , donc ;AOB = 2  ;…… .
PROPRIÉTÉ : L'angle au centre est toujours le double de l'angle
inscrit auquel il est associé.
M
Question : Pouvez vous retrouver grâce à cela la propriété :
"Lorsqu'on relie un point d'un cercle aux extrémités d'un de ses
diamètres, on obtient toujours un triangle rectangle." ?
O
A
B
III) Exercices :
E
A
70°
O
120°
O
C
F
H
B
2) Calculer les angles ;HEF, ;EFH et
;EHF.
a) Exprimer ;RMPen fonction de ;ROP.
1) Calculer ;BOC.
3)
M
b) Exprimer ;RNPen fonction de ;ROP.
c) Que peut-on dire des angles ;RMPet ;RNP ?
d) En utilisant les termes du cours, expliquer dans quel cas
deux angles inscrits dans le même cercle sont égaux…
4) On donne ;ACD = 47°, ;CAB = 28° et ;BDA = 62°. En déduire
les mesures des angles;ABD, ;BDC et ;ACB. Puis calculer ou
N
O
R
P
A
B
P
déduire les mesures des angles ;DPC, ;CPB, ;BPA, ;APD,
;DAP et ;DBC (les dimensions du dessin ne sont pas
respectées…).
D
C
Correction :
Maths à Harry
II) Le triangle AOB est isocèle en O car OA et OB sont des rayons du cercle. Comme dans un
triangle isocèle, les angles de la base opposée au sommet principal sont égaux,
;OBA = ;OAB = a. De même, on pourrait démontrer que ;OMB = c et ;AMO = b.
Question : Lorsque [AB] est un diamètre, l'angle au centre ;AOB = 180°, donc l'angle inscrit
;AMB = 180°  2 = 90°. Donc AMB est rectangle en M.
1) ;BOC = 140°. 2) L'angle inscrit ;EFH a pour angle au centre ;EOH.
Donc ;EFH = 120°  2 = 60°. D'autre part, l'angle inscrit ;EHF a pour angle au centre ;EOF.
III)
Donc ;EHF= 90°  2 = 45°. Dans le triangle EHF, ;HEF= 180° - 60° - 45° = 75°.
3) ;RMP= ;ROP 2 = ;RNP. Deux angles sont égaux "lorsqu'ils interceptent le même
arc"
(ici ;RP).
4) ;ABD= 47°; ;BDC= 28° ; ;ACB= 62°; ;DPC= 105° ; ;CPB= 75° ; ;BPA= 105° ; ;APD
= 75° ;
;DAP= 43° et ;DBC= 43°.
Maths à Harry