Angle au centre

Chapitre
09-AI
ANGLE AU CENTRE / ANGLE INSCRIT
I - DEFINITIONS
II – LES THEOREMES
Bernard Izard
3° Avon 2010
I-DEFINITIONS
1) Angle inscrit
dans un cercle
M
AMB
C
x
A
Sommet sur le
cercle
B
O
Les 2 côtés
sont des cordes
2) Angle au centre
AOB
Sommet sur le
centre du cercle
C
x
B
O
Les 2 côtés
sont des rayons
A
II-LES THEOREMES
1) Activité
Construire un cercle de centre 0 et un
angle inscrit AMB de 46°. A, M et B sont
sur le cercle.
Construire et mesurer l’angle au centre
AOB On trouve 92°
On remarque que 92 = 2 x 46
Conjecture ?
2) Théorème 1
M
L’angle
inscrit AMB
intercepte
l’arc AB
x
B
O
L’angle au
centre AOB
intercepte
l’arc AB
A
Ils interceptent le même arc AB
Un angle inscrit mesure la moitié de l’angle au centre
qui intercepte le même arc
L’angle au centre mesure le double de l’angle inscrit qui intercepte le même arc.
Pour la démonstration nous allons considérer les 3 cas possibles.
M
O
x
A
O
x
B
OAM  AMO  MOA  180
OAM  AMO  180  MOA
2  AMO  MOB  MOA
2AMO  AOB
AMO 
AOB
2
M
M
A
B
C
AMB  AMC  CMB
O
x
A
C
B
AMB  AMC  BMC
AMB 
AOC COM

2
2
AMB 
AOC BOC

2
2
AMB 
AOB
2
AMB 
AOB
2
3) Théorème 2
P
M
AOC
ANC 
2
N
x
C
O
AOC
AMC 
2
AOC
APC 
2
A
donc ANC
 AMC  APC
Des angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux.
Ex1:
Le tir au but
J1  J 2  J 3
Ex2:
Soit un cercle de centre O et de
diamètre [AB].
M est un point du cercle
M
AOM angle au centre qui intercepte AB
AOM  un plat = 180°
A
x
O
B AMB angle inscrit qui intercepte AB
Donc AMB 
AOM
 90
2
On vient de démontrer le
théorème de 4°:
Si un triangle s’inscrit dans un cercle avec l’un de ses côtés
comme diamètre, alors il est rectangle et ce côté est
l’hypoténuse
ANGLE AU CENTRE / ANGLE INSCRIT
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FIN