Le pendule simple

Retour sur la dynamique de rotation
Moment de force;
Moment d’inertie;
Approximation des petits angles
Énergie dans un pendule simple
Travail personnel

0
 I
mgsin  L  I
(car si  0, alors  0)
En utilisant: I  mL2
2

mgsin


L

mL

On trouve:
alors:
d 2 g
d 2
 sin   0 (car:   2 )
2
dt
L
dt
sin   ( est exprimé en radian)
2
d
 g
alors:
  0
2
dt
L
d2x
2
équation du genre:


x0
2
dt
Solution:
avec:
   sin  t   
max

g
L
et
L
T  2
g
(en radian)
1. La période T est indépendante de l’amplitude (max) pour
des petits angles.
2. La période T est indépendante de la masse m.
Énergie totale
E = K + Ug
Énergie potentielle gravitationnelle:

Ug  mgh  mgL(1-cos )
L
Énergie cinétique de rotation:
m
h
m
avec le moment d’inertie: I = m L2
1
K
2
 d 
I 
 dt 
2
On sait que:
alors:
   sin  t    (en radian)
max
d
  max   cos  t   
dt
(en radian/s)
1
2
et: K  mL2 max
 2 cos2   t    (en Joule)
2
Pour des petits angles:
(réf. p. 404)
cos  1 - ½ 2 …
alors: U g  mgL(1-cos )  mgL 
soit:
2
2
2
mgL   max
sin 2   t   
Ug 
2
(en radian)
En prenant:
on obtient:
g
 
L
2
1
E   mgL   2max
2
Remarque: L’énergie dans un mouvement harmonique simple
est proportionnelle au carré de l’amplitude !
Exercice 31 (page 30)
La masse de 20 g d’un pendule simple de longueur 0,8 m
est lâchée lorsque le fil fait un angle de 30° avec la
verticale.
a)Trouvez la période;
b)La position angulaire (t);
c)L’énergie mécanique;
d)Le module de la vitesse de la masse à  = 15°
Exercice 31 (suite)
a) On sait que

g
 3,50 s1
l
l
alors T  2
 1, 79 s
g
b) Pour la fonction position



t   sin  3, 50t  
6 
2
Exercice 31 (suite)
c) On peut calculer l’énergie mécanique totale au point
de départ, c’est-à-dire, lorsque le pendule se trouve à
la position angulaire  = 30°. À ce moment, toute
l’énergie se retrouve sous forme d’énergie potentielle
gravitationnelle, soit:
E  K  U  0 joule + mgh  mgL(1  cos )  21, 5 mJ
d) Pour obtenir la vitesse à  = 15°, on utilise la
fonction vitesse:
dt 



 3, 50  cos  3, 50t  

dt
6
2
Exercice 31 (suite)
d) Pour obtenir la phase à  = 15°, on utilise la fonction
position:
 
 
t   sin  3, 50t   
6

2
12
 

3,
50t

On trouve 
  , si l’on désire un temps
2
6
positif, on ajoute 2 à l’angle. Il ne faut pas oublier
qu’il y a deux vitesses possibles pour une position
donnée. Alors les valeurs possibles de la phase sont:
5
13
et
6
6
Exercice 31 (suite)
dt 


 5 
 13 
Soit:
 3, 50  cos   et 3,50  cos 
 6 
 6 
dt
6
6
Pour obtenir la vitesse tangentielle, on multiplie par le
rayon du mouvement (ici la longueur du pendule), alors:
v  1, 80  3, 50 


 5 
 13 
cos   et 1,80  3, 50  cos 
 6 
 6 
6
6
On obtient v = ± 1,27 m/s. Puisqu’on demande le
module de la vitesse, alors v = 1,27 m/s!
Faire l’exemple: 1.9.
La question: 4.
Les exercices: 27, 31 et 79.
Les problèmes 5 et 13