Les oscillations

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 Le
système m-k
• Retour sur la loi de Hooke;
• Étude dynamique;
• Fonction position pour un système m-k en position
horizontal;
• Période et fréquence angulaire pour un système m-k;
 Identités
trigonométriques utiles
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En mécanique nous avons étudié le mouvement d’une particule
sous l’effet d’une force constante (MUA).
Avec la fonction position:
x(t )  x0  v0 t  12 at 2
Maintenant, on étudie le mouvement d’une particule sous
l’influence de force variable.
cas particulier: force élastique
•Système masse-ressort (m-k);
•Corde vibrante;
•Colonne d’air;
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Équilibre
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F  k x
Alors:
F   m 2 x
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Selon la deuxième loi de Newton:
y
SFx = -k x = m ax
Fr
x
d2x k
Ou encore:

x  0 (Forme différentielle du M.H.S.)
2
dt
m
6
Équation:
d2x k
 x0
2
dt
m
d2x
2
Forme générale:


x0
2
dt
Solution:
x  Asin  t   
Fréquence angulaire  
Période T  2
k
m
m
k
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Un bloc de 2 kg est attaché à un ressort pour lequel k =200 N/m. On
l’allonge de 5 cm et on le lâche à t = 0 s.
5 cm
Condition initiale: On étire de 5 cm et l’on relâche le tout !
Soit: à t = 0 s, x = +A = + 5 cm, d’où  = + /2
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•Calcul de :
•Calcul de A:

k
 10 s-1
m
A  0,05 m


D’où: x  0,05 sin  10t   m

2
Que l’on peut écrire:
( t en seconde)
x  0,05 cos 10t  m
( t en seconde)
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•Déterminons la phase:
 

x  0,05 sin  10t    0,025 m

2 
soit:
10t 
Alors:

2


6
(À rejeter car t < 0 s )
Autre possibilité:
10t 

 
2

6
Car sin q = sin( – q )
Calcul de la vitesse: v  0,05  10 cos 

5 
m
  - 0,43
6
s
En utilisant la périodicité de la fonction
10t 

2


6
On trouve:
 2
m
 13 
v  0,05  10 cos 
  0,43

 6 
s
10

Pour une même position, on a deux vitesses possibles de
même grandeur mais de sens opposés.
c) Calcul de l’accélération pour x = 0,025 m
On sait que
m
a   x   2, 5 2
s
2
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• sin q = sin ( – q )
• cos q = cos (– q )
• cos (  q  = cos ( – q )
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 Faire
les exemples: 1.3, 1.4 et 1.5
 Les questions: 5, 15 et 18
 Les exercices: 3, 7, 9, 11, 12 et 61.
 Problème 1.
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