Qu`a-t-il trouvé

Exposé de Mathématiques
Réalisé Par :
Bourdin Julien
Conti Florian

Sujet : Al Kashi
•Qui Est-il ?
•Qu’a-t-il Trouvé ?
•Petits Exercices.
•Sources Internet.

Qui Est-il ?
Al Kashi , de son véritable nom «Ghiyat al-dîn djamashîd b.mahs'ûd b.mahmûd al Kashi »
est née à Kachan entre Isaphan et Téhéran. Il grandit dans la pauvreté durant une période
de sa vie suite a des conquêtes militaires de sa région par l’émir Tîmur Lang (1370;1405).
Après la mort de Tîmur , les conditions s’améliorèrent grandement, Al Kashi pouvait se
consacrer aux mathématiques et à l’astronomie grâce au successeur de Tîmur « Shah Rohk
» qui soutenait grandement les intérêts artistiques et intellectuels.
Ce sera à la date du 2 Juin 1406, que sera l’une de ses premières observations notables
marquée par une éclipse de lune.
C’est à Samarkand qu’Al Kashi vivait sous la protection du prince Ulugh-Beg (1394;1409)
qui était le fondateur d’une université comprenant une soixantaine de chercheurs étudiant
la théologie et les sciences. C’est ici qu’Al Kashi deviendra le premier directeur de
l’observatoire et c’est ici aussi qu’il s’adonnera pleinement à ses travaux.
De nombreuses lettres, ainsi que certains ouvrages ont survécu. Nous reviendrons sur ces
ouvrages dans la partie « Qu’a-t-il Trouvé ? ».
On ne connaît que sa date approximative de mort : 1436 ou 1439.
Al Kashi restera le dernier grand mathématicien arabe à entrer dans l’histoire avant que le
monde occidental prenne le relais.
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Tîmur LangUlugh-Beg

Qu’a-t-il trouvé ?
Durant sa vie , Al Kashi a écrit de nombreux traités. C’est à
travers ces différents traités qu’il nous démontra son
ingéniosité, et qu’il aida grandement la science des
mathématiques.
Dans son traité d’astronomie Khaqan Zij:
Il nous donne des tables trigonométriques proposant des
valeurs à quatre chiffres de la fonction sinus ainsi que de
nombreuses informations importantes sur ses trouvailles en
astrologie.
Dans son traité sur le cercle :
Jemsid Al Kashi Trouve, d’après la méthode des périmètres
(méthode d’Archimède), une valeur approchée de Pi, en base
60 (9 positions), soit l’équivalent de 16 décimales.
(voir image).
Dans son traité Miftha Al Hisab :
C’est dans ce principal traité qu’il nous explique l’intérêt des
nombres sexagésimaux (système de numérotation en base 60).
Cet ouvrage sera essentiellement destiné aux chercheurs ,
étudiant l’astronomie,l’architecture, la comptabilité ou le
commerce.
Il nous démontre aussi le calcul n-ième de racine par
algorithme, mais aussi nous propose des calculs de racine n-
ième d’un nombre par une technique (technique d’Omar
Khayyam) appelée aujourd’hui : « Triangle de Pascal ».
On lui doit aussi son nom, généralisant le théorème de
Pythagore (pour un triangle quelconque), on l’appellera
« Théorème d’Al Kashi » ou Loi Des Cosinus pour les autres
langues. (voir image).
Nous reviendrons sur ce théorème plus en détails sur la page
suivante.
Dans son traité sur la corde et le sinus :
Il nous présente le calcul de sin (1°) avec une grande
précision, mais aussi une étude d’une équation du 3eme degré
liée a la trisection de l’angle. (partager un angle en 3 parties
égales).
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Qu’a-t-il trouvé ? (suite)
Explication du « Théorème d’Al Kashi »:
Le théorème d’Al Kashi est un théorème de géométrie du
triangle couramment utilisé en trigonométrie. Il utilise les
bases du théorème de Pythagore mais pour les triangles non
rectangles.
Il relie le 3eme coté du triangle d’un triangle aux deux autres
cotés ainsi qu’au cosinus de l’angle formé pas ces deux autres
cotés.
Exemple : Soit un Triangle DEF, ayant pour cotés respectifs
aux angles k,u,y, les lettres A,B,C (voir figure)
Donc D’après la Formule d’Al Kashi , cela nous donne :
C²= A²+ B² - 2AB.Cosy
D’où la formule générale exprimée sur la page précédente.
Dans la pratique générale , ce théorème est donc utilisé en
triangulation, pour trouver le troisième coté d’un triangle dont
nous ne connaissons qu’un angle et ses cotés adjacents.
Il existe aussi un corollaire de cette formule dans le cas d’une
application de deux triangles semblables:
CC ’ = AA ‘+BB ‘–( AB ‘+A‘B).Cosy
Ce théorème dispose d’une multitude de formules générales qui
s’appliquent dans différents cas. Ici je cite les 2 formules
principalement utilisées.
En effet, il existe sept types de formule qui s’appliquent dans
six cas différents qui sont :
- Par le théorème de Pythagore.
-Par la puissance d’un point par rapport a un
cercle.
- Par le Calcul vectoriel.
- Par géométrie Sphérique.
- Par géométrie hyperbolique.
-Par généralisation à l’espace euclidien.
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