Solutionnaire

203-NYA
Chapitre 6:
Solutions à certains exercices
D’autres solutions peuvent s’ajouter sur
demande: [email protected] ou 647-5967
y
v
y
N2
x
N1
T
f2
T
f1
m2 g

x
E3
On applique la 2e loi de Newton en « x » et
en « y » pour chacun des deux corps en plus de
l’équation du frottement, ce qui donne 3 équations
pour chacun des corps. Pour résoudre, on commence
par substituer la force de frottement puis on
additionne les équations obtenues pour éliminer T.

m1 g
 Fx  m1a
F
y
0
m1 g sin   f1  T  m1a
N1  m1 g cos   0
F
F
x
 m2 a
T  f 2  m2 a
y
0
N 2  m2 g  0
f1  c N1
N1  m1 g cos 
f1  c m1 g cos 
m1 g sin   c m1 g cos   T  m1a
f 2  c N 2
N 2  m2 g
f 2  c m2 g
T  c m2 g  m2 a
m1 g sin   c m1 g cos   T  T  c m2 g  m1a  m2 a addition des équations précédentes
m1 g sin   c  m1 cos   m2  g   m1  m2  a  0
car v constante  a  0
sin 
sin 30o
c 

 0.395
o
cos   m2 m1 cos 30  2 5
T  m2 c g  2  0.395  9.81  7.75 N
T  m1 g  sin   c cos    5  9.81  sin 30o  0.395  cos 30 o   7.75 N
x
E5
Fcp Fpc
ac
L’accélération maximale de la caisse est
déterminée par la force maximale que la
personne peut exercer sur la caisse Fcp qui est
elle-même limitée par la force de frottement
statique maximale qui peut retenir la personne.
mg
N
fc
L’accélération maximale de la caisse correspond
à la situation où la personne est sur le point de
glisser.
fs
Fpc   Fcp (action-réaction)
La personne:
F
x
0
f s  Fpc  0
Fpc  f s  f s ,max  s N p  s m p g  0.8  80  9.81  628N
La caisse:
F
x
 mc a
Fcp  f c  mc a 
a   Fcp  f c  mc   628  78.5 20  27.5 m s 2
car: f c  c N c  c mc g  0.4  20  9.81  78.5 N et Fcp  Fpc  628 N
y
E7
v
N
x
f
37
mg
o
F
a ) F  f s ,max ?
F  F cos   25  cos 37  20.0
f s ,max   s N  0.5  44.5  22.2 N
b)
F
F
x
 ma
 F cos   f c  ma
y
0
 N  F sin   mg  0
Le bloc restera au repos si la composante
horizontale de la force est inférieure à la force
de frottement statique maximale qui peut le
retenir.
Application de la 2e loi de Newton en « x » et
en « y » en plus du frottement cinétique
f c  c N
N  mg  F sin   3  9.81  25  sin 37 o  44.5 N
f c  c N  0.2  44.5  8.90 N
a   F cos   f c  m   25  cos 37  8.9  3  3.69 m s 2
a)
F
F
x
 ma
mg sin 53o  f c  ma
y
0
N  mg cos 53  0
o
f c  c N
53o
53o
N  mg cos 53o
mg
mg sin 53o  c mg cos 53o  ma
f c  c mg cos 53o
a  g  sin 53o  c cos 53o   6.36 m s 2
b)
F
F
x
 ma
mg sin 53o  f c  ma
y
0
N  mg cos 53o  0
f c  c N
N  mg cos 53o
f c  c mg cos 53o
53o
53o
mg
mg sin 53o  c mg cos 53o  ma
a  g  sin 53o  c cos 53o   9.31 m s 2
c) Même chose que a )
E9
Avant de commencer a), il faut
s’assurer que le bloc,
initialement au repos, va
vraiment descendre. Pour cela,
il faut que la force de gravité
selon le plan soit plus grande
que la force de frottement
statique maximale:
mg sin 53o   s mg cos 53o ?
Caisse
a
mg N
fs
v
E10
Camion
F
F
x
 ma
f s  ma
y
0
N  mg  0
f s  s N
N  mg
f s   s mg
 s mg  ma
 s  a g  6 9.81  0.611
La caisse a la même décélération que le
camion. Il faut une force pour décélérer la
caisse. Cette force est la force de frottement
statique que la plate-forme exerce sur la caisse.
Le coefficient de frottement statique minimal
(noté s) correspond à la force de frottement
statique maximale (noté fs)
N
F
F
a)
x
 mt a
200  f  mt a
y
0
N  mt g  0
E15
N  mt g
f   N   mt g
f
mt  mA  mB  mC  30  50  20  100 kg
200 N
200   mt g  mt a
mtg
a  200 100  0.1 9.81  1.02 m s 2
N
T1
b)
F
F
x
 mt a
T1  f  mt a
T1   mt g  mt a
y
0
N  mt g  0
N  mt g
f   N   mt g
f
mt  mB  mC  50  20  70 kg
mtg
T1  mt   g  a   70   0.1 9.81  1.02   140 N
T2
F
F
N
c)
f
x
 mt a
T2  f  mt a
T2   mt g  mt a
y
0
N  mt g  0
N  mt g
mt  mC  20kg
mtg
f   N   mt g
T2  mt   g  a   20   0.1 9.81  1.02   40.0 N
E19
y
mAg
x
NA
fs
fs
b) Il faut appliquer la 2e loi de Newton au deux blocs.
Notez les deux paires action-réaction NA et fs. La force
maximale F est déterminé par l’accélération maximale
du bloc A qui est elle-même déterminée par la force de
frottement statique maximale (notée fs)
NA
F
mBg
NB
F
F
a) Aucune force n’est nécessaire pour déplacer un objet à
vitesse constante. Donc il n’y a aucun frottement en A
et B.
Ax
 mA a
f s  mA a
Ay
0
N A  mA g  0
F
F
Bx
 mB a
F  f s  mB a
By
0
N B  mB g  N A  0
f s  s N A
N A  mA g
F  f s  mB a
f s   s mA g
F   s mA g  mB a   s mA g  mB  s g
 s mA g  mA a
F   s g  mA  mB 
a  s g
F  0.25  9.81  2  5   17.2 N
mB
F
mA
NA
x
F
F
A
 mB a
mA
mg
mA  mB
 F  m
E20
fs
60   2  3 a
a  12 m s 2
x
 mA a
N A  mA a
N A  2 12  24 N
y
0
f s  mA g
f s  mA g  2  9.81  19.6 N
f s  f s ,max   s N A
s  f s N A  19.6 24  0.817
Dans un premier temps, on trouve l’accélération des deux blocs en appliquant la 2e loi
de Newton à l’ensemble des deux blocs.
Le bloc A est retenu par la force de frottement statique qui doit être à son poids. Cette
force fs est fonction de la force normale NA que le bloc B exerce sur le bloc A. En
appliquant la 2e loi de Newton au bloc A, on trouve le coefficient de frottement
minimal requis pour retenir le bloc dans la situation où la force de frottement est
maximale.
E21
a)
v
T
v
m2g
F
F
m1g
x
x
 m2 a
T  m2 g sin   f 2  m2 a
y
0
N 2  m2 g cos   0
F
x
 m1a
m1 g  T  m1a
f2   N2
N 2  m2 g cos  f 2   m2 g cos 
T  m2 g sin    m2 g cos   m2 a
T  m2 g sin    m2 g cos   m1 g  T  m1a  m2 a
g  m1  m2  sin    cos      m1  m2  a
5  5  sin 37 o  0.25  cos 37 o 
m1  m2  sin    cos  
a
g
 9.81  0.974 m s 2
m1  m2
55
E21
b)
T
v
v
m2g
F
F
m1g
x
x
 m2 a
T  m2 g sin   f 2  m2 a
y
0
N 2  m2 g cos   0
F
x
 m1a
m1 g  T  m1a
f2   N2
N 2  m2 g cos  f 2   m2 g cos 
T  m2 g sin    m2 g cos   m2 a
T  m2 g sin    m2 g cos   m1 g  T  m1a  m2 a
g  m1  m2  sin    cos      m1  m2  a
5  5  sin 37 o  0.25  cos 37 o 
m1  m2  sin    cos  
a
g
 9.81  2.93 m s 2
m1  m2
55
v
T
v
m2g
La figure correspond à m1 qui
se déplace vers le bas (signe
du haut dans les équations).
m1g
x
F
F
x
 m2 a
T  m2 g sin 
y
0
N 2  m2 g cos   0
f 2  m2 a
F
x
 m1a
f2   N2
N 2  m2 g cos  f 2   m2 g cos 
T  m2 g sin 
T  m2 g sin 
 m2 g cos   m2 a
 m2 g cos   m1 g  T  m1a  m2 a
g  m1  m2  sin    cos      m1  m2  a  0
m1  m2  sin    cos    6   sin 37 o  0.25  cos 37 o 
m1  4.81kg
si m1 va vers le bas
m1  2.41kg
si m2 va vers le haut
m1 g  T  m1a
E21
c)
E24
m
N1
mg
f1
M f1
x
M ,x
 Ma
F  f1  f 2  Ma
N1
Mg
F
f1  c N1  c mg
F  24 N 0
f 2  c N 2  c  M  m  g
N2
F  c mg  c  M  m  g  Ma
f2
c 
P
F  Ma
24  6  3

 0.061
g  M  2m  9.81  6  2  2 
Les deux surfaces (P-M et M-m) produisent deux forces de frottement (f1 et f2) qui
s’opposent au mouvement. L’application de la 2e loi de Newton selon « x » à la masse M
permet de trouver le coefficient frottement µc. Pour calculer les forces de frottement f1 et f2,
il faut déterminer les normales N1 et N2 aux deux surfaces, ce que l’on peut faire en
appliquant la 2e loi de Newton selon « y » à la masse m puis à la masse M.
F
F
m, y
0
N1  mg  0
N1  mg
M ,y
0
N 2  N1  Mg  0
N 2  N1  Mg  mg  Mg   m  M  g
E28
v
mg
N
x
F
x
 ma r
mg  N  mar
mg  0  mar
g  ar  v 2 r
v  gr  9.81 0.8  2.80 m s
Pour que l’eau ne tombe pas, il faut une force
normale N (= poids apparent) dirigée vers le bas. N
augmente avec la vitesse et la vitesse minimale
correspond au cas limite N = 0. L’eau est alors en
état d’apesanteur dans le haut du cercle.
E29
x
ar
N
mg
x
ar
mg
a)
N  mg  mar
mg  N  mar
2
vmax
mg  0  m
r
vmin  gr  9.81 20  14.0 m s
b)
La vitesse maximale correspond à l’état
d’apesanteur (poids apparent nul: N = 0) pour
cette trajectoire circulaire. Notez que le système
de référence est choisi dans le sens de ar.
N  mg  mar
N  mg  mar
Le poids apparent N est doublé.
N  m  g  ar 


v2 
142 
N  m  g    75   9.81 
  1470 N
r 
20 


y
N
ar
v
r
x
F
F
x
 mar
f s  mar  mv 2 r
y
0
N  mg  0
f s  s N
N  mg
f s   s mg
mv 2
 s mg 
r
16.7 2
v2
 0.472

s 
gr 9.81 60
fs
E30
mg
La force de frottement statique est la force
centripète. C’est d’ailleurs la seule force
horizontale. Le coefficient de frottement minimal
requis correspond à la limite de dérapage où la
force de frottement statique est égale à son
maximum fs = fs,max = μsN.
y
N
θ
ar
r
E31
v
x
N
θ
mg
F
F
x
 mar
N sin   mar  mv 2 r
y
0
N cos   mg  0
N sin  mv 2 r

N cos 
mg
tg  v 2 rg
mar
N cos   mg
La force normale N est inclinée d’un angle θ par
rapport à la verticale car la chaussée est elle-même
inclinée d’un angle θ par rapport à l’horizontale.
La composante verticale de N est équilibrée par le
poids, mais pas la composante horizontale de N qui
devient la force centripète.
θ mg
y
N
θ
ar
x
Ny
mar
Nx
N
E35
θ mg
mg
F
F
x
 mar
N x  mar  mv 2 r
y
0
N y  mg  0
N  N N 
2
x
2
y
 mg 
2
N x  mg
  mv r   m g 2  v 4 r 2
2
2
N  70  9.812  154 402  792 N
La force normale N doit être inclinée par rapport à la verticale pour que la
composante horizontale Nx soit la force centripète. La composante verticale Ny est
équilibrée par le poids.
E40
T
mar mg
x
x
T
T
x mar
ma
mg t
mar
mg
a)
b)
c)
F
x
F
x
F
x
 mar
mv 2
T  mg 
r
 mar
mv 2
T  mg 
r
 mar
mv 2
T
r
 v2

 22

T  m   g   0.2  
 9.81  0.705 N
 r

 0.3

 v2

 3,962

T  m   g   0.2  
 9.81  12.4 N
 r

 0.3

 v2 
 3.142 
T  m    0.2  
  6.57 N
 r 
 0.3 
E42
v
2 r
tr 1min 

 2 rf  2  0.15   45

  0.707 m s
T
 min 60 s 
F
F
x
 mar
f s  mar  mv 2 r
y
0
N  mg  0
f s  s N
N  mg
f s   s mg
mv 2
 s mg 
r
v2
0.707 2
s 

 0.340
gr 9.81 0.15
La force de frottement statique est la force
centripète. C’est d’ailleurs la seule force
horizontale. Le coefficient de frottement minimal
requis correspond à la limite de décrochage où la
force de frottement statique est égale à son
maximum fs = fs,max = μsN.
E45
N
mg
x
N  mg  mar
N  mg  mar
a)
0  mg  mar
Le poids apparent N est dirigé vers le
bas et sa valeur minimale est 0.
v2
g  ar 
r
v  gr  9.81 6.5  7.98 m s
b)
 v2

 9.52

N  mar  mg  m   g   40  
 9.81  163N
 r

 6.5

E48
Nous faisons l’hypothèse que seule la partie de notre galaxie située à
l’intérieure de l’orbite solaire exerce une force sur le Soleil. De plus
nous supposons que cette partie de la galaxie est équivalente à une
masse ponctuelle M située au centre de la galaxie.
a)
 F  ma
r
M
mM mv 2
G 2 
R
R
v
M
4 R
 2 R 
 v2  


R
T2
 T 
2
G
M
2

4 2  2.4 10 20
m

3
4 R

GT 2
6.67 10 11  7.88 1015
2
3

Fg
2

2
 1.32  10 41 kg
T  2.5  108  365  24  3600  7.88 1015 s
M 1.32 10 41
9
b) N 


65.8

10
étoiles
30
m
2 10
R
E49
Pour qu’un objet m situé à l’équateur reste tout juste lié à l’étoile, il faut
que son poids réel soit égal à la force centripète. Dans ce cas limite, le
poids apparent N est nul et l’objet est en apesanteur.
 F  ma
M
r
mM mv
G 2 
R
R
v
m
M
4 2 R 2
 2 R 
2
G
v 
 
R
T
T2


2


3
4  20 10
4 R
M

 4.73  1024 kg
2
11
2
GT
6.67 10 1
2
3
Fg
2
2
3
R
E51
Loi de Kepler
a)
T 2  R3
2
TEurope
2
Io
T

3
REurope
RIo3
REurope  RIo 3 TEurope TIo 
2
REurope  4.22 105 km  3  3.55 jours 1.77 jour   6.71105 km
2
b)
4 2 3
T 
R
GM
2
M
4 2   4.22 108 
3
4 R
27


1.90

10
kg
2
11
GT
6.67 10  1.77  24  60  60 
2
3
Io
2
Io
P10
L
F
F
T
R
x
 mar
T sin   mar
y
0
T cos   mg  0
T sin  mar

T cos  mg
2
v
4 2 R
gtg 

R
R
T2
4 2 R 4 2 L sin  4 2 L cos 
2
T 


sin

gtg
g


g

 cos  
2
mg
 2 R T 

ar  gtg
T  2 L cos  g