Energies d`un système solide

Asie 2004
Exercice 3. Énergies d’un système solide-ressort (correction)
I.a). Dans le référentiel rail (référentiel terrestre supposé galiléen) le mobile G est soumis à trois forces :

- Son poids P (direction verticale, sens vers le bas et appliqué en G)

- La force de rappel du ressort F (direction horizontale, sens de G vers O et appliquée en G)

- La réaction normale de la tige R (direction verticale, sens vers le haut et appliquée en G)
I.b)

R
m G

i
 
F P
Figure 1
O
P  R  F  m.a
0 i + 0 i – k.x i = m.ax. i
dv x
soit
– k.x = m.
dt
d ²x
donc
m.
+ k.x = 0
dt ²
d ²x k
L'équation différentielle du mouvement est
+
.x = 0
dt ² m
 k

.t   
I. 3. x = xM . cos 
 m



 k

k
dx
sin 
t  
En dérivant il vient :
= – xM
 m

dt
m


 k

k
d 2x

x
.
.cos
t


En dérivant une seconde fois :
=


M
 m
m
dt 2


2
k
d x
Calculons alors la somme 2 + x ,
m
dt
2
 k
 k
 k

k
k
d x
t   +
.t   
+ x =  xM . .cos 
. xM . cos 
2
 m
 m
 m

m
m
dt




2
k
d x
+ x =0
2
m
dt
 k

.t    est bien solution de l’équation différentielle.
Donc l'expression x = xM . cos 
 m



dx
I. 4. À t = 0 s on a x(0) = x0 = +2,0 cm et v(0) =
= 0.
dt
k
v(0)=  xM
sin(0   )  0 d’où sin  = 0 donc  = 0 (à n près où n est un entier)
m
on prendra  = 0
D'autre part x(0) = x0 = xM cos(0+  )
d’où xM = x0 cos(0)= x0 = 2,0 cm
I. 2. Appliquons la seconde loi de Newton au mobile :
Dans le repère proposé, il vient
I. 5. T0 = 2
m
0,250
= 2
= 0,99 s
k
10
II. 1. Par lecture graphique sur la figure 2, on obtient une pseudo-période T voisine de 1s. On peut donc
considérer que la pseudo-période T est égale à la période propre T0 du système.
Figure 2
–3
x (10 m)
20
2T
15
10
5
t1
0
t (s)
t2
1,2
-5
2
4
6
8
0
1,8
4
6
-10
-15
II. 2. Ec = ½ m.v² et EP = ½ k.x²
Or à t = 0 s, x = x0 = xM et v = 0, donc l’énergie cinétique est nulle et l’énergie potentielle est maximale.
La courbe (A) correspond à l’énergie potentielle élastique et la courbe (B) à l’énergie cinétique.
II. 3. L’énergie mécanique du système diminue au cours du temps à cause des forces de frottements qui
sont responsables de dissipation d'énergie sous forme de chaleur.
dx
II. 4. vx =
, et v =
dt
2
v x  v y de plus vy =0 donc v =
2
2
 dx 
 dt  .
 
dx
est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de x(t).
dt
À la date t2 cette tangente est horizontale, donc
dx
=0 = v(t2) la vitesse est nulle.
dt
A la date t1, la tangente à la courbe est très décroissante,
dx
< 0 et est minimale.
dt
2
Donc la vitesse, v =
 dx 
 dt  est maximale.
 
II. 5. On a f    .v , donc f = µ.v. La valeur de la force de frottement est proportionnelle à la vitesse, elle
sera nulle à la date t2 et maximale à la date t1.
II. 6. Quand la valeur de la force de frottement est nulle (date t2 par exemple), l’énergie mécanique se
conserve, on a donc un pallier. Ensuite la valeur de la force de frottement augmente donc l’énergie
mécanique diminue.