Energies d`un système solide

Asie 2004 Exercice 3. Énergies d’un système solide-ressort (correction)
I.a). Dans le référentiel rail (référentiel terrestre supposé galiléen) le mobile G est soumis à trois forces :
- Son poids
P
(direction verticale, sens vers le bas et appliqué en G)
- La force de rappel du ressort
F
(direction horizontale, sens de G vers O et appliquée en G)
- La réaction normale de la tige
R
(direction verticale, sens vers le haut et appliquée en G)
I.b)
I. 2. Appliquons la seconde loi de Newton au mobile :
.P R F ma  
Dans le repère proposé, il vient 0
i
+ 0
i
– k.x
i
= m.ax.
i
soit – k.x = m.
x
vd
dt
donc m.
²
²
dx
dt
+ k.x = 0
L'équation différentielle du mouvement est
²
²
dx
dt
+
k
m
.x = 0
I. 3. x = xM .
k
cos .
mt
En dérivant il vient :
dt
dx
= –
kk
sin
mm
M
xt
En dérivant une seconde fois :
2
2
dt xd
=
k
. .cos
m
Mk
xt
m
Calculons alors la somme
2
2
dt xd
+
x
m
k
,
2
2
dt xd
+
x
m
k
=
k
. .cos
m
Mk
xt
m
+
k
m
. xM .
k
cos .
mt
2
2
dt xd
+
x
m
k
= 0
Donc l'expression x = xM .
k
cos .
mt
est bien solution de l’équation différentielle.
I. 4. À t = 0 s on a x(0) = x0 = +2,0 cm et v(0) =
dt
dx
= 0.
v(0)=
sin(0 ) 0
Mk
xm
d’où sin  = 0 donc  = 0 (à n près où n est un entier)
on prendra  = 0
D'autre part x(0) = x0 = xM cos(0+ ) d’où xM = x0 cos(0)= x0 = 2,0 cm
I. 5. T0 =
k
m
2
=
10
250,0
2
= 0,99 s
Figure 1
m G
O
i
P
R
F

II. 1. Par lecture graphique sur la figure 2, on obtient une pseudo-période T voisine de 1s. On peut donc
considérer que la pseudo-période T est égale à la période propre T0 du système.
II. 2. Ec = ½ m.v² et EP = ½ k.x²
Or à t = 0 s, x = x0 = xM et v = 0, donc l’énergie cinétique est nulle et l’énergie potentielle est maximale.
La courbe (A) correspond à l’énergie potentielle élastique et la courbe (B) à l’énergie cinétique.
II. 3. L’énergie mécanique du système diminue au cours du temps à cause des forces de frottements qui
sont responsables de dissipation d'énergie sous forme de chaleur.
II. 4. vx =
dx
dt
, et v =
22
xy
vv
de plus vy =0 donc v =
2
dx
dt
.
dx
dt
est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de x(t).
À la date t2 cette tangente est horizontale, donc
dx
dt
=0 = v(t2) la vitesse est nulle.
A la date t1, la tangente à la courbe est très décroissante,
dx
dt
< 0 et est minimale.
Donc la vitesse, v =
2
dx
dt
est maximale.
II. 5. On a
.vf
, donc f = µ.v. La valeur de la force de frottement est proportionnelle à la vitesse, elle
sera nulle à la date t2 et maximale à la date t1.
II. 6. Quand la valeur de la force de frottement est nulle (date t2 par exemple), l’énergie mécanique se
conserve, on a donc un pallier. Ensuite la valeur de la force de frottement augmente donc l’énergie
mécanique diminue.
(s)
t
6
1,2
1,8
x
(10–3 m)
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
4
2
8
0
4
6
t2
t1
Figure 2
2T