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Ecole normale sup´erieure Ann´ee 2014-2015
Alg`ebre 1
Feuille d’exercices 10
Exercice 1 Soit Kun corps, et soient Aet Bdes K-alg`ebres.
1. D´efinir une structure de K-alg`ebre sur A⊗KB.
2. Montrer que les K-alg`ebres K[X]⊗KK[Y] et K[X, Y ] sont isomorphes.
3. Montrer que le morphisme naturel de K-alg`ebres de K(X)⊗KK(Y) vers K(X, Y )
est injectif mais non surjectif.
Exercice 2 1. Notons M2(C) la C-alg`ebre des matrices 2 ×2 `a coefficients dans Cet
Hla R-alg`ebre des quaternions. Montrer que les C-alg`ebres M2(C) et H⊗RCsont
isomorphes.
2. Montrer que H⊗RHest isomorphe `a M4(R).
Exercice 3 Soient Uet Vdes espaces vectoriels (sur un corps K). On note U∗=
HomK(U, K) le dual de U. Expliciter une application lin´eaire naturelle injective Φ :
U∗⊗KV→HomK(U, V ). Quelles sont les images des tenseurs purs (c’est-`a-dire les
λ⊗vavec λ∈U∗et v∈V) ? Quelle est l’image de l’application Φ ? Quand est-elle un
isomorphisme ?
Exercice 4 Soit Kun corps et soit Eun espace vectoriel de dimension finie sur K. Soit
n≥1 un entier. Montrer que le dual (VnE)∗de VnEest canoniquement isomorphe `a
VnE∗.
Exercice 5 Soit n≥1 un entier, soit Kun corps et soit Eun espace vectoriel de dimen-
sion finie sur K. Montrer que le dual (ViE)∗de ViEest non canoniquement isomorphe
`a Vn−iE.
Exercice 6 Soit Kun corps et soient Eet Fdes K-espaces vectoriels. Soit n≥1
un entier. Montrer que l’on a une bijection entre l’ensemble des applications lin´eaires
VnE→Fet l’ensemble des applications n-lin´eaires altern´ees En→F.
Exercice 7 Soit Kun corps et soit Eun K-espace vectoriel. Soient u1, . . . , urdes
´el´ements de E.
1. Montrer que l’on a u1∧· · ·∧ur6= 0 dans VrEsi et seulement si la famille (u1, . . . , ur)
est libre dans E.
1

2. Montrer que l’on a u1∧ · · · ∧ ur6= 0 dans VrEsi et seulement s’il existe une forme
altern´ee fsur Etelle que f(u1, . . . , ur)6= 0.
Exercice 8 Soit Kun corps et soient Eet Fdes K-espaces vectoriels. Soit n≥1 un
entier et soit u:E→Fune aplication lin´eaire.
1. D´efinir une application lin´eaire “naturelle” Vnu:VnE→VnF.
2. Supposons que le rang de uest fini ´egal `a un entier r. Montrer que si n≤r, alors
le rang de Vnuest n
r, et si n > r, l’application Vnuest nulle.
Exercice 9 Soit Kun corps et soient Aet Bdes K-alg`ebres gradu´ees.
1. Montrer qu’il existe sur A⊗KBune structure naturelle de K-alg`ebre gradu´ee telle
que
(a⊗b)(a0⊗b0)=(−1)(deg b)(deg a0)(aa0⊗bb0).
On note A⊗su
KBl’alg`ebre ainsi obtenue.
2. Soient Vet Wdes espaces vectoriels sur K. Montrer que l’on a un isomorphisme
de K-alg`ebres
^(V⊕W)'^V⊗su
K^W.
Exercice 10 Soit Kun corps et soit Eun K-espace vectoriel.
1. Supposons Ede dimension finie. On note VE=LnVnEet on ´ecrit tout ´el´ement
z∈VEsous la forme z=Pn≥0zn. Montrer que z∈VEest inversible si et
seulement si z06= 0.
2. Montrer que tout ´el´ement z∈VEappartient `a un VFpour un certain sous-espace
F⊂Ede dimension finie. Conclure.
Exercice 11 Soit n≥1 un entier. Soient F⊂Edes corps tels que Eest un F-espace
vectoriel de dimension n, de base (1, x1, . . . , xn−1). On suppose l’existence d’un groupe G
de cardinal n, compos´e de F-automorphismes de E, tel que le corps EG={e∈E| ∀g∈
G, ge =e}est exactement F.
1. Montrer que les ´el´ements de Gsont lin´eairement ind´ependants.
2. Soit Vun E-espace vectoriel, muni d’une action semi-lin´eaire de G. On d´efinit le
sous-F-espace vectoriel des Ginvariants par VG:= {v∈V| ∀g∈G gv =v}.
Prouver que l’application naturelle E-lin´eaire η:VG⊗FE→Vcommute `a l’action
de G.
3. Montrer que ηest un isomorphisme.
Exercice 12 Soit Vun espace vectoriel hermitien complexe de dimension finie n, de base
(e1, . . . , en). On ne suppose pas que cette base est orthonormale. Pour 1 ≤i≤n, soit si
une transformation unitaire telle que si(ei) = cieiavec ci6= 1 et telle que siest l’identit´e
sur e⊥
i. On appelle Gle sous-groupe de GL(V) engendr´e par les si.
2

1. Soit x∈V. Exprimer si(x) comme combinaison lin´eaire de xet de ei.
2. Soit kun entier sup´erieur ou ´egal `a 1. Montrer que tout ´el´ement de VkVinvariant
par Gest nul (on pourra proc´eder par r´ecurrence sur nen consid´erant le sous-espace
V0de base (e1, . . . , en−1) et en d´ecomposant Ven somme directe de V0et de son
suppl´ementaire orthogonal).
3. On suppose que Gest fini. Montrer que pour tout ´el´ement Ade End(V) on a :
X
g∈G
det(A−g) = Card(G)·det(A) et X
g∈G
det(Id −Ag) = Card(G).
4. En d´eduire que pour tout Ade End(V), il existe g∈Gtel que Ag n’a aucun point
fixe non nul.
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