Université Bordeaux 1 Master 1 Analyse fonctionnelle Feuille Hahn

Universit´ e Bordeaux 1 Master 1 Analyse fonctionnelle
Feuille Hahn-Banach
La forme analytique du th´eor`eme
Exercice 1 Soit Eun espace vectoriel et x∈E. Montrer qu’il existe une fonctionnelle
x0∈E0telle que x0(x) = kxk.
Exercice 2 Soit Eun espace vectoriel. Montrer que Eest de dimension finie si E0est de
dimension finie.
Exercice 3 Soit Eun espace vectoriel et x∈E. Soit δxla forme lin´eaire E0→Kd´efinie
par δx(x0) := x0(x).
(a) Montrer que δxest un op´erateur lin´eaire born´e sur E0donc un ´el´ement du bidual E00 =
(E0)0.
(b) Montrer que ι:E→E00,ι(x) = δxest une isom´etrie
(c) Est-ce que tout espace vectoriel norm´e est identifiable avec un sous-espace (dense?,
ferm´e?) vectoriel d’un espace de Banach? Discuter les diff´erentes (im-) possibilit´es!
Exercice 4 Soient Eet Fdeux e.v.n. et Tune application lin´eaire de Edans F. Supposons
e que pour tout ϕ∈F0, la forme lin´eaire ϕ◦Test continue sur E(i.e. ϕ◦T∈E0). Montrer
que Test continue.
Exercice 5 Soit E un espace de Banach.
(a) Soit Bune partie de E. Montrer que Best born´e si et seulement si pour e tout f∈E0,
f(B) est born´e.
(b) Soit B0une partie de E0. Montrer que B0est born´e dans E0si et seulement si pour tout
x∈E,{f(x) : f∈B0}est born´e.
(c) Soit (xn) une suite d’´el´ements de Equi converge faiblement. Montrer que (xn) est born´e.
Exercice 6 Soit Eun e.v.n. r´eel et soient x1, x2, . . . , xn∈E, c1, ..., cn∈R.Montrer que les
assertions suivantes sont ´equivalentes:
(a) Il existe f∈E0de norme ≤1 telle que f(xi) = cipour tout i.
(b) λ1c1+. . . +λncn≤ kλ1x1+. . . +λnxnkpour tout λ1, . . . , λn∈R.
Exercice 7
(a) Soit Uun sous-espace vectoriel ferm´e d’un e.v.n. E. Montrer que E/U ={¯x=x+U:
x∈E}est un espace vectoriel norm´e pour la norme.
k¯xkE/U := inf{kx+ukE:u∈U}
Montrer que κ:E→E/U d´efinit par κ(x) = ¯xest une application lin´eaire et continue.
Quel est sa norme ?

(b) Soit Uet Ecomme dans la situation de la question pr´ec´edente et x06∈ U. Montrer qu’il
existe une fonctionnelle x0∈E0telle que x0|U≡0 et x0(x0)6= 0.
(c) D´eduire le lemme suivant: un sous-espace Vd’un espace norm´e est dense si et seulement
la seule fonctionnelle x0∈E0qui s’annule sur tout V(i.e. x0|V= 0) est l’origine x0= 0
de E0.
(d) Soit E=`ppour 1 ≤p < ∞et (αn) une suite de c0avec k(αn)k∞<1. On pose
xn= (1, αn, α2
n, α3 n, . . .)∈`p. Montrer que le sous-espace Uengendr´e par les xn,n≥1
est dense.
Exercice 8 Trouver un sous-espace Ude dimension 1 de E=L1(0,1) et une fonctionnelle
lin´eaire φsur Utelle que
{x0∈E0:x0|U=φ}
est ind´enombrable.
Exercice 9 Montrer qu’il existe une forme lin´eaire fcontinue sur `∞telle que
lim inf
nxn≤f(x)≤lim sup
nxn
pour tout x= (xn)∈`∞.
Indiction: se concentrer d’abord uniquement sur l’estimation ’sup´erieure’. L’autre in´egalit´e
ainsi la continuit´e en d´ecoulent!
Exercice 10
(a) Soit 1 <p<∞et 1
p+1 q= 1. Montrer que `0
p=`q. En d´eduire que les espaces `ppour
1<p<∞sont r´eflexifs.
(b) Montrer que c0
0=`1et `0 1=`∞.
(c) Montrer `a l’aide de l’exercice pr´ec´edente que c0n’est pas r´eflexif.
Exercice 11 Soit Eun e.v.n.. Le but de l’exercice est de montrer le lemme suivant: Si E0
est s´eparable, alors El’est ´egalement.
(a) Montrer que la sph`ere d’unit´e SE0est s´eparable si E0est s´eparable.
(b) Soit (x0
n)n≥1une suite dense dans SE0. Montrer qu’il existe une suite (xn)n≥1dans la
sph`ere ⊂SEde Etel que x0
n(xn)≥1
2.
(c) Soit Ul’adh´erence du sous-espace vectoriel engendr´e par la suite (xn) de la question
pr´ec´edente. Montrer que Uest dense.
(d) Est-ce que la s´eparabilit´e de Eimplique la s´eparabilit´e de E0(preuve ou contre-exemple)?
Exercice 12 Soit Xun espace vectoriel norm´e de dimension infinie. Montrer qu’il existe des
formes lin´eaires non-continues sur X. Indictaion: Soit (en)n∈Nune suite de vecteurs lin´eairement
ind´ependants dans X, avec en= 1. Construire une forme lin´eaire Φ telle que Φ(en) = npour
tout n.)

La forme g´eom´etrique du th´eor`eme
Exercice 13 Pour chaque α∈R,on d´efinit
Eα={f∈C([−1,1]), f(0) = α}
(a) Montrer que Eαest un convexe dense dans L2(] −1,1[, dx).
(b) Montrer que pour α6=β, Eαet Eβsont deux convexes disjoints mais ne peuvent pas
ˆetre s´epar´es par aucune forme lin´eaire continue.
Exercice 14 Soit Vun convexe ferm´e de l’e.v.n E. On dit qu’une suite (xn) converge
faiblement vers x(on utilisera la notation xn* x) si pour tout x0∈E0,x0(xn−x)→0.
Montrer que xn* x et xn∈Vpour tout nimplique x∈V. D´eduire le lemme de Mazur: Si
xn* x il existe une suite de combinaisons convexes
yn=
Nn
X
i=1
λ(n)
ixiavec λ(n) i≥0 et
Nn
X
i=1
λ(n)
i= 1
tel que kyn−xk → 0.
Exercice 15 Soit (X, k·k) un espace vectoriel r´eel norm´e.
(a) Pour tout fonctionnel x0on appellera demi-espaces affine un ensemble de la forme H=
{x∈X:x0(x)< c}.
Montrer que tout convexe ferm´e Cde Xs’´ecrit comme l’intersection de tous les demi-
espaces ferm´es Hde Xqui contiennent C.
(b) Soient µune mesure de probabilit´e sur un ouvert Ω ⊆Rnet Cun convexe ferm´e born´e de
X= (Rn,k · k2). D´ecrire les formes lin´eaires sur X. Montrer que pour toute µ-mesurable
fonction f: (Ω, µ)→Con ait
ZΩ
f(ω)dµ(ω)∈C
Exercice 16 Soit Eun espace vectoriel norm´e r´eel et C⊆Eun convexe ferm´e. On dit
qu’un hyperplan (affine) ferm´e H⊆Eest un hyperplan d’appui pour Cen un point a∈∂C
si a∈Het si Cest enti`erement contenu dans l’un des demi-espaces ferm´es d´etermin´es par H.
(a) Soit a∈C. Montrer que Cposs`ede un hyperplan d’appui au point asi et seulement si
il existe une forme lin´eaire continue non-nulle : x0∈Etelle que x0(a)≥x0(z) pour tout
z∈C.
(b) On suppose que C est d’int´erieur non-vide dans E.
(i) Montrer que
◦
C=C(Faire un dessin).
(ii) Montrer que Cposs`ede un hyperplan d’appui en tout point a∈∂C (S´eparer ade
C).