TD de topologie et calcul différentiel– Feuille 6: Espaces - IMJ-PRG

LM360
Mathématiques
2008
TD de topologie et calcul différentiel– Feuille 6:
Espaces vectoriels normés, de Banach
Groupe de TD 5
Exercice 1. Sur l’espace Rn , on considère les trois normes suivantes:
kxk1 =
n
X
|xk |,
kxk2 =
k=1
n
X
|xk |2
12
,
kxk∞ = max |xk |
k=1
k=1,...,n
a) Vérifier qu’il s’agit bien de normes.
b) Montrer que ces normes sont équivalentes et déterminer les constantes d’équivalence
entre ces normes.
Exercice 2. On considère l’application linéaire T de l’espace vectoriel R3 dans lui
même définie par: T (x, y, z) = (5x − 2y + 2z, 2x − y, x + y + z).
a) On munit R3 de la norme k.k∞ . Quelle est alors la norme de T ?
b) On munit R3 de la norme k.k1 . Quelle est alors la norme de T ?
c) Quelle est la norme d’une application linéaire f : Rn → Rn selon que Rn est
muni de k.k∞ ou de k.k1 ?
Exercice 3. Soit E un K-espace vectoriel normé. Montrer que si A et B sont compacts, il en est de même de C, réunion des segments joignant deux points arbitraires
de A et de B.
Exercice 4. Soit (E, k.k) un espace vectoriel normé. Montrer que l’adhérence de
la boule ouverte B(x, r) de centre x et de rayon r est la boule fermée de centre x
et de rayon r.
Exercice 5. Soit E l’espace (de Banach) des fonctions continues à valeurs réelles
sur l’intervalle [−1, 4], muni de la norme de la convergence uniforme. Montrer que
la fonction
L : f 7→ L(f ) = f (−1) − 4f (0) + 5f (1) − 3f (2) + 2f (3) − 8f (4)
est une forme linéaire continue et calculer kLk.
Exercice 6. On désigne par X l’espace de Banach des fonctions continues et complexes sur [0, 1], muni de la norme de la convergence uniforme. Soit ϕ un élément
donné de X. Montrer que l’application
Z
X → R,
f 7→
1
f (t)ϕ(t)dt
0
est une forme linéaire continue sur X et majorer sa norme.
Exercice 7. Soit E un espace vectoriel normé sur le corps K = R ou C
a) Soit V un sous espace vectoriel de E. Montrer que l’adhérence V de V est un
sous espace vectoriel.
1
b) Montrer qu’un hyperplan de E (sous espace vectoriel de codimension 1) est soit
fermé, soit dense dans E.
c) Soit ϕ : E → K une forme linéaire. Montrer que ϕ est continue si et seulement
si ker(ϕ) est fermé.
Exercice 8. Soit E l’espace vectoriel des suites réelles nulles à partir d’un certain
rang. Montrer que l’application L : E → E définie par
xn
L (xn )n∈N =
n+1
est linéaire, bijective et continue. Montrer que L−1 n’est pas continue.
Espaces de Banach
Exercice 9. On munit l’espace E des fonctions réelles de classe C 1 (c’est-à-dire
dérivables et à dérivée continue) sur l’intervalle [0, 1] de la norme
kxk = |x(0)| + sup |x0 (t)|.
t∈[0,1]
Vérifier qu’il s’agit bien d’une norme et montrer que (E, k.k) est complet (c’est à
dire que (E, k, k) est de Banach).
Exercice 10. Soit A une algèbre de Banach. Montrer que l’ensemble des éléments
inversibles de A est un ouvert.
Exercice 11. Soit Mn (C) le C-espace vectoriel des matrices carrées d’ordre n à
coefficients dans C et soit A un élément de Mn (C).
a) Montrer que
X An
n
n!
b) Montrer que la suite
converge dans Mn (C) vers un élément qui sera noté exp(A).
n
A
I+
converge vers exp(A) dans Mn (C).
n
Espaces de Hilbert
Exercice 12. Soit H un espace de Hilbert et V un sous espace fermé de H. Rappelons que H = V ⊕ V ⊥ . Montrer que si z = x + y avec x ∈ V et y ∈ V ⊥ , alors
kz − xk = inf kz − wk
w∈V
Exercice 13. Soit E l’espace vectoriel des fonctions continues définies sur [0, 1] à
valeurs dans R muni du produit scalaire
Z 1
∀(f, g) ∈ E, < f, g >=
f (t)g(t)dt.
0
Soit F = R(1 − x), la droite engendrée par la fonction x 7→ 1 − x.
a) Montrer que F est complet.
b) Calculer la projection orthogonale de 1 sur F .
2