TD de topologie et calcul différentiel– Feuille 6: Espaces - IMJ-PRG

LM360 Math´ematiques 2008
TD de topologie et calcul diff´erentiel– Feuille 6:
Espaces vectoriels norm´es, de Banach
Groupe de TD 5
Exercice 1. Sur l’espace Rn, on consid`ere les trois normes suivantes:
kxk1=
n
X
k=1
|xk|,kxk2=n
X
k=1
|xk|2
1
2,kxk∞= max
k=1,...,n |xk|
a) V´erifier qu’il s’agit bien de normes.
b) Montrer que ces normes sont ´equivalentes et d´eterminer les constantes d’´equivalence
entre ces normes.
Exercice 2. On consid`ere l’application lin´eaire Tde l’espace vectoriel R3dans lui
mˆeme d´efinie par: T(x, y, z) = (5x−2y+ 2z, 2x−y, x +y+z).
a) On munit R3de la norme k.k∞. Quelle est alors la norme de T?
b) On munit R3de la norme k.k1. Quelle est alors la norme de T?
c) Quelle est la norme d’une application lin´eaire f:Rn→Rnselon que Rnest
muni de k.k∞ou de k.k1?
Exercice 3. Soit Eun K-espace vectoriel norm´e. Montrer que si Aet Bsont com-
pacts, il en est de mˆeme de C, r´eunion des segments joignant deux points arbitraires
de Aet de B.
Exercice 4. Soit (E, k.k) un espace vectoriel norm´e. Montrer que l’adh´erence de
la boule ouverte B(x, r) de centre xet de rayon rest la boule ferm´ee de centre x
et de rayon r.
Exercice 5. Soit El’espace (de Banach) des fonctions continues `a valeurs r´eelles
sur l’intervalle [−1,4], muni de la norme de la convergence uniforme. Montrer que
la fonction
L:f7→ L(f) = f(−1) −4f(0) + 5f(1) −3f(2) + 2f(3) −8f(4)
est une forme lin´eaire continue et calculer kLk.
Exercice 6. On d´esigne par Xl’espace de Banach des fonctions continues et com-
plexes sur [0,1], muni de la norme de la convergence uniforme. Soit ϕun ´el´ement
donn´e de X. Montrer que l’application
X→R, f 7→ Z1
0
f(t)ϕ(t)dt
est une forme lin´eaire continue sur Xet majorer sa norme.
Exercice 7. Soit Eun espace vectoriel norm´e sur le corps K=Rou C
a) Soit Vun sous espace vectoriel de E. Montrer que l’adh´erence Vde Vest un
sous espace vectoriel.
1

b) Montrer qu’un hyperplan de E(sous espace vectoriel de codimension 1) est soit
ferm´e, soit dense dans E.
c) Soit ϕ:E→Kune forme lin´eaire. Montrer que ϕest continue si et seulement
si ker(ϕ) est ferm´e.
Exercice 8. Soit El’espace vectoriel des suites r´eelles nulles `a partir d’un certain
rang. Montrer que l’application L:E→Ed´efinie par
L(xn)n∈N=xn
n+ 1
est lin´eaire, bijective et continue. Montrer que L−1n’est pas continue.
Espaces de Banach
Exercice 9. On munit l’espace Edes fonctions r´eelles de classe C1(c’est-`a-dire
d´erivables et `a d´eriv´ee continue) sur l’intervalle [0,1] de la norme
kxk=|x(0)|+ sup
t∈[0,1]
|x0(t)|.
V´erifier qu’il s’agit bien d’une norme et montrer que (E, k.k) est complet (c’est `a
dire que (E, k,k) est de Banach).
Exercice 10. Soit Aune alg`ebre de Banach. Montrer que l’ensemble des ´el´ements
inversibles de Aest un ouvert.
Exercice 11. Soit Mn(C) le C-espace vectoriel des matrices carr´ees d’ordre n`a
coefficients dans Cet soit Aun ´el´ement de Mn(C).
a) Montrer que X
n
An
n!converge dans Mn(C) vers un ´el´ement qui sera not´e exp(A).
b) Montrer que la suite I+A
nn
converge vers exp(A) dans Mn(C).
Espaces de Hilbert
Exercice 12. Soit Hun espace de Hilbert et Vun sous espace ferm´e de H. Rap-
pelons que H=V⊕V⊥. Montrer que si z=x+yavec x∈Vet y∈V⊥, alors
kz−xk= inf
w∈Vkz−wk
Exercice 13. Soit El’espace vectoriel des fonctions continues d´efinies sur [0,1] `a
valeurs dans Rmuni du produit scalaire
∀(f, g)∈E, < f, g >=Z1
0
f(t)g(t)dt.
Soit F=R(1 −x), la droite engendr´ee par la fonction x7→ 1−x.
a) Montrer que Fest complet.
b) Calculer la projection orthogonale de 1 sur F.
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