Partiel de mars 2015

M1 Universit´e de Grenoble
Analyse fonctionnelle 2014/2015
Partiel
Dur´ee : 2h
Les documents, calculatrices et t´el´ephones portables sont interdits. Les r´eponses doivent
ˆetre justifi´ees et la qualit´e de la r´edaction sera prise en compte.
Exercice 1 : Un op´erateur d’image dense (8 points)
On se place dans
X=c0(N) = {x∈`∞(N),lim
n→+∞xn= 0}
muni de la norme kxk∞= supn∈N|xn|.
1) Justifier que (X, k · k∞) est un espace de Banach (on pourra admettre que `∞(N) est
un espace de Banach).
2) On introduit l’ensemble D={x∈X, {n∈N/xn6= 0}est fini }des suites nulles, sauf
pour un nombre fini de composantes. Montrer que Dest dense dans X.
3) On consid`ere l’application lin´eaire Td´efinie sur Xpar
T x =T(x0, x1, x2, . . .) = x0,1
2x1,1 3x2, . . .=1 n+ 1xnn∈N
.
Montrer que Test bien d´efinie et continue de Xdans X.
4) Montrer que T:X→Xn’est pas surjective.
5) Montrer que l’image de Test dense dans X.
Exercice 2 : Continuit´e et noyau ferm´e (10 points)
Soit Xun espace de Banach r´eel et soit fune forme lin´eaire (pas forc´ement continue) sur
X. On supposera que f6≡ 0.
1) Soit x0∈Xtel que f(x0)6= 0, montrer que X=Ker(f)⊕Rx0.
2) Montrer que si Ker(f) n’est pas ferm´e, alors il est forc´ement dense dans X.
3) Supposons que fne soit pas continue, montrer que son noyau n’est pas ferm´e. Indi-
cation : on pourra consid´erer une suite (xn)convergeant vers xtelle que f(xn)ne tend
pas vers f(x). On montrera qu’on peut supposer que f(x)6= 0 et que f(xn)converge vers
`6=f(x). On consid`erera alors yn=f(xn)x−f(x)xn.
4) En d´eduire l’alternative : soit fest continue et Ker(f) est ferm´e, soit fest discontinue
et Ker(f) est dense.
Dans la suite, on se place dans X=`1(N) muni de sa norme canonique.
5) Exhiber une forme lin´eaire fsur Xqui n’est pas continue. Indication : on pourra
utiliser l’existence d’une base alg´ebrique (bi)i∈Ide X.
6) Soit fune forme lin´eaire discontinue sur `1(N) et soit Tl’application lin´eaire d´efinie
de `1(N) dans `1(N) par
T(x) = T(x0, x1, x2, . . .) = (f(x), x0, x1, x2, . . .).
Montrer que Test une application discontinue mais qui a un noyau ferm´e et non dense.
T.S.V.P.

Exercice 3 : Convexe ferm´e (4 points)
Soit Xun espace de Banach r´eel. On appelle demi-espace ferm´e un ensemble du type
Df,α ={x∈X, f(x)≤α}avec α∈Ret f∈X0une forme lin´eaire continue sur X. On
rappelle une des cons´equences du th´eor`eme de Hahn-Banach : si Cest un convexe ferm´e
et si Kest un convexe compact de Xdisjoint de C, alors il existe un demi-espace ferm´e
Df,α qui contient Cet tel que K∩Df,α =∅.
1) Soit Cun convexe ferm´e de X, montrer que Cest ´egal `a l’intersection des demi-espaces
ferm´es qui le contiennent.
2) En d´eduire que Cest ferm´e pour la topologie faible de X(on rappelle que la topologie
faible est la topologie la moins fine pour laquelle toutes les formes lin´eaires de X0sont
continues).