Université de Tlemcen Faculté des Sciences 2015/2016 TRONC

Université de Tlemcen
Faculté des Sciences
TRONC COMMUN ST
MATH 1
2015/2016
TD N° 1
Exercice 1: Les énoncés suivants sont-ils des propositions? Dans l’affirmative dites si elles sont
vraies ou fausses et donnez leurs négations.
1. P : « L’Algérie a eu sont indépendance en 1961 »
2. Soit n un entier naturel.
Q : « 𝑛2 − 𝑛 ≥ 2 »
3. S : « √2 + √3 ≤ 3√2 𝑒𝑡 3√3 > √5 »
4. T : « 47 > 74 ⟹ 47 < 74 »
Exercice 2: 1. Soit 𝑃 une proposition. En dressant la table de vérité, montrer que la proposition
𝑃⋀𝑃̅ est fausse et que la proposition 𝑃⋁𝑃̅ est vraie. Les propositions 𝑃⋀𝑃̅ et 𝑃⋁𝑃̅ sont appelées
des tautologies, leurs valeurs de vérité sont indépendantes de 𝑃.
̅̅̅̅̅̅ ≡ 𝑃̅⋀𝑄̅ , 𝑃⋀𝑄
̅̅̅̅̅̅ ≡ 𝑃̅⋁𝑄̅ .
2. Soit 𝑃 et 𝑄 deux propositions. Montrer les lois de Morgan: 𝑃⋁𝑄
Exercice 3:
1. Soit n un entier naturel. Montrer que si 𝑛2 est divisible par 3, alors n est divisible par 3.
2. Montrer par l’absurde que √3 est un nombre irrationnel.
3. Soit 𝑥 ∈ ℝ, tel que pour tout 𝜀 > 0 on a |𝑥| < 𝜀. Montrer alors que 𝑥 = 0.
Exercice 4: 1. Soit 𝑥 un réel positif. Démontrer par récurrence que :
∀𝑛 ∈ ℕ,
(1 + 𝑥)𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝑥.
2. Démontrer par récurrence sur n que :
𝑛
𝑛
1. 2 ≥ 𝑛
2
2.
∑ 𝑘2 =
𝑘=1
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
.
6
(Déterminer le rang à partir duquel la première propriété est vraie.)
Exercice 5: Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.
1.
2.
3.
4.
∀𝑥 ∈ ℝ, ∃𝑛 ∈ ℕ; 𝑛 > 𝑥.
∃𝑛 ∈ ℕ, ∀𝑥 ∈ ℝ; 𝑛 > 𝑥.
∀𝑥 ∈ ℝ, ∀𝑦 ∈ ℝ ; 𝑥𝑦 + 𝑥 2 𝑦 2 + |𝑥𝑦| + 1 > 𝑒 −1 .
∀𝑥 ∈ ℝ, ∃𝑦 ∈ ℝ; 𝑥 + sin 𝑦 > 𝑦.
Donner la négation de chacune d’elles.
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TRONC COMMUN ST
2015/2016
MATH 1
TD N° 0
Exercice 1: Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants:
5+2𝑖
1−𝑖
1+𝑖 2
, (2−𝑖) ,
2+5𝑖
1−𝑖
+
2−5𝑖
1+𝑖
Exercice 2: Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants:
𝑍1 = 1 + 𝑖,
𝑍2 = 1 − 𝑖, 𝑍3 = √3 + 𝑖 , 𝑍4 = 1 − 𝑖√3 ,
𝑍5 = −2
Exercice 3: Calculer et mettre sous forme algébrique:
(1−𝑖)7
5
1+𝑖 2015
7
𝑍1 = (1+𝑖)4 , 𝑍2 = (√3 + 𝑖) (1 − 𝑖√3) , 𝑍3 = (2−𝑖)
𝑍4 = 3𝑒
2𝑖𝜋
3 ,
𝑖𝜋
𝑍5 = √2 𝑒 8
Exercice 4: Factoriser les polynômes suivants :
1. 𝑍 2 − √3 𝑍 − 𝑖
2. 𝑍 2 − (1 + 3𝑖)𝑍 − 2 + 2𝑖
3. 𝑖𝑍 2 − (1 − 5𝑖) 𝑍 − 2 + 6𝑖.
Exercice 5: Soit 𝛼 un nombre réel tel que cos α ≠ 0.
Trouver le module et un argument du nombre complexe :
𝑍 = 1 + 𝑖 tan 𝛼
Exercice 6: On donne les nombres complexes suivants :
𝑍1 = 1 + 𝑖 et 𝑍2 = 1 + 𝑖√3
1. Calculer le produit 𝑍1 𝑍2 .
2. Ecrire sous forme trigonométrique le nombre 𝑍1 𝑍2 .
5𝜋
5𝜋
3. En déduire cos 12 et sin 12.
Exercice 7:
1. Linéariser cos 4 𝛼 et sin4 𝛼 où 𝛼 est un nombre réel.
2. Ecrire cos(4𝛼) et sin(4𝛼) en fonction de cos 𝛼 et sin 𝛼.