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Taux de variation
ponctuel
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Introduction
Dans cette présentation, nous verrons les notions de taux de
variation moyen (TVM), de taux de variation ponctuel (TVP)
et de taux de variation instantané (TVI).
Chute d’un corps
On laisse tomber une pierre d’une hauteur de 78,4 m. L’attraction
gravitationnelle accélère cette pierre dont la position (m) par rapport
au sol est décrite en fonction du temps t (s) par :
h(t) = 78,4 – 4,9t2 m
Cette description mathématique permet de calculer
la durée de la chute, soit le temps nécessaire pour
que la distance au sol soit nulle. On trouve alors :
78,4 – 4,9t2 = 0
–4,9t2 = –78,4
t2 = 16
t = ±4
La valeur t = –4 est à rejeter dans le contexte, et on
retient t = 4.
Cela qui signifie que l’impact au sol aura lieu 4
secondes après le début de la chute.
Chute d’un corps
Grâce à la fonction, on peut calculer la position
par rapport au sol en différents instants de cette
chute.
h(t) = 78,4 – 4,9t2 m
t
h(t)
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
78,4
77,135
73,5
67,375
58,8
47,775
34,3
18,375
0,0
Pour étudier de tels phénomènes, on représente le temps
sur un axe horizontal.
Cela permet de visualiser le
lien entre les variables temps
et position.
Taux de variation moyen
∆h = 34,3 – 73,5
= –39,2 ms
Déterminons ∆h la variation de position durant
l’intervalle de 1 à 3 secondes
Graphiquement,
le TVM
∆h = 34,3 – 73,5
= –39,2 m
est la pente de la sécante
Le temps écoulé ∆t est :
passant par les points
∆t = 3 – 1 = 2 s
(1; 75,3) et (3; 34,3).
∆t = 3 – 1 = 2 s
t
h(t)
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
78,4
77,135
73,5
67,375
58,8
47,775
34,3
18,375
0,0
La position de la pierre par
au variation
sol diminue,
en
Le rapport
taux de
moyen
moyenne,
19,6 m [1;
par3]
(TVM)
dans de
l’intervalle
durant l’intervalle
est seconde
:
[1; 3].
∆h = –39,2 m
= –19,6 m/s
∆t [1; 3] 2 s
Dans cet exemple, le TVM est la
vitesse moyenne de la pierre
durant l’intervalle [1; 3].
S
Taux de variation moyen
DÉFINITION
Soit f, une fonction continue sur un
intervalle fermé [x1; x2]  domf. On appelle
taux de variation moyen de f dans
l’intervalle [x1; x2] le rapport :
∆f
∆x
= f(x2) – f(x1)
x2 – x1
[x1; x2]
f(x)
(x2; f(x2))
x1
(x1; f(x1))
∆f = f(x2) – (x1)
Taux de variation moyen
x2 x
∆x = x2 – x1
Le taux de variation moyen est le rapport de la variation de la
variable dépendante sur la variation de la variable indépendante.
Graphiquement, c’est la pente de la sécante passant par les points
(x1; f(x1)) et (x2; f(x2)) .
Taux de variation instantané
t
h(t)
0,0
78,4
Quelle est la vitesse réelle du corps en chute libre à
0,5
77,135
3 secondes?
1,0
73,5
On ne peut facilement
Contournons
la difficulté
répondre
en calculant
à cettelequestion
taux de
1,5
67,375
car, pour moyen
variation
trouver
dans
la deux
pentepetits
d’uneintervalles,
droite, il avant
faut
2,0
58,8
2,5
47,775
connaître
et
après trois
deuxsecondes,
points desoit
celle-ci.
[2,5; 3] et [3; 3,5]. On
Le taux de variation instantané
de la
3,0
34,3
trouve :
position par rapport au temps
3,5est compris
18,375
4,0
0,0
entre –26,95 m/s et –31,85 m/s.
∆h
TVM[2,5; 3] = –26,95 m/s
= (34,3 – 47,775) m
∆t [2,5; 3]
(3 – 2,5) s
= –26,95 m/s
(2,5; 47,775)
∆h
= (18,375 –34,3) m
∆t [3; 3,5]
(3,5 – 3) s
(3; 34,3)
= –31,85 m/s
(3,5; 18,375)
TVM[3; 3,5] = –31,85 m/s
S
Taux de variation instantané
t
h(t)
0,0
On peut effectuer les mêmes calculs en considérant
0,5
des intervalles de temps de plus en plus petits, avant
1,0
1,5
et après trois secondes, pour avoir une meilleur
On peut estimer que le taux
2,0 de
estimation du taux de variation instantané de la
2,5
variation instantané de la position
position par rapport au temps. Cela donne :
3,0
par rapport au temps à 3 secondes
3,5
est d’environ –29,4 m/s.
4,0
78,4
77,135
73,5
67,375
58,8
47,775
34,3
18,375
0,0
Taux de variation moyen sur de petits
Ceintervalles
taux aude
variation
voisinage
de t = 3 s est
(3; 34,3)
représenté graphiquement
par la
Intervalle
Intervalle
TVM
TVM
à gauche
à droiteà la courbe
pente de la tangente
[2,5;au
3] point
–26,95
[3; 3,5]
–31,85
(3; 34,3).
[2,9; 3]
–28,91
[3; 3,1]
–29,89
[2,99; 3]
–29,351 [3; 3,01]
–29,449
[2,999; 3] –29,3951 [3; 3,001] –29,4049
[2,9999; 3] –29,3995 [3; 3,0001] –29,40049
S
Taux de variation ponctuel
DÉFINITION
Taux de variation ponctuel
Soit f une fonction et (c; f(c)) un point du
graphique de cette fonction. Le taux de
variation ponctuel (TVP) de la fonction f au
point d’abscisse a est la valeur limite des
taux de variation moyens sur un intervalle
[c; c+∆x] lorsque la largeur ∆x de
l’intervalle s’approche de 0.
(c+∆x; f(c+∆x))
∆f
(c; f(c))
∆x
Le taux de variation moyen sur [c; c + ∆x] est :
Lorsque le point Q s’approche du
f(c + ∆x) – f(c)
point P, la ∆fsécante pivote
autour du
=
∆x
point P et∆xà [c;lac+∆x]
limite, lorsque ∆x
devient nul, la sécante devient la
Graphiquement, c’est la pente de la tangente au point (c; f(c)).
tangente au point (c; f(c)).
SS
Estimation graphique
du taux de variation ponctuel
Pour évaluer le taux ponctuel à partir de la représentation graphique
du lien entre les variables, la procédure est la suivante :
PROCÉDURE
d’estimation graphique du taux de variation ponctuel
1. Tracer la tangente à la courbe au point indiqué.
2. Évaluer la variation de chacune des variables en tenant compte de
la graduation et des unités de mesure.
3. Calculer le rapport des variations (taux de variation).
4. Interpréter le résultat dans le contexte en tenant compte des unités
de mesure.
Exemple 3.1.1
Le graphique ci-contre représente la
vitesse w de la roue d’inertie d’un
appareil t secondes après la mise sous
tension du moteur.
Évaluer graphiquement le taux de
variation ponctuel de la vitesse
angulaire par rapport au temps à 5 s.
Traçons approximativement la tangente à la courbe au point
d’abscisse 5.
En considérant deux points de cette tangente, le quadrillé permet alors
d’évaluer la pente de la tangente, ce qui donne :
dw
300 – 100 rad s

= 13,3 rad/s2
dt 5
20 – 5
s
Ce taux de variation ponctuel est l’accélération de la roue d’inertie à
5 s, la vitesse, à cet instant, a tendance à augmenter de 13,3 rad/s à
chaque seconde.
S
Estimation numérique
du taux de variation ponctuel
On peut avoir à estimer un taux de variation ponctuel par une
procédure numérique à partir de la règle de correspondance
définissant la fonction comme nous l’avons fait dans les exemples qui
précèdent ou à partir de la représentation graphique du lien entre les
variables.
PROCÉDURE
d’estimation numérique du taux de variation ponctuel
1. Calculer le taux de variation moyen sur une suite d’intervalles de
largeur décroissante à gauche et à droite de la valeur considérée.
2. Estimer la valeur limite vers laquelle tendent les suites de nombres
représentant les taux de variation moyens.
3. Interpréter le résultat dans le contexte en tenant compte des unités
de mesure.
Exemple 3.1.2
On lance une balle verticalement avec une
vélocité de 49 m/s. La position de la balle
mesurée à partir du sol est décrite par :
s(t) = 49t – 4,9t2 m
Estimer le taux de variation ponctuel de la
position à 2 s.
Pour ∆t = –0,5, on obtient :
v
62,475 – 78, 4 m
= 31,85 m/s

t [1,5; 2]
–0, 5
s
Pour ∆t = 0,5, on obtient :
v
91, 875 – 78,4 m
= 26,95 m/s

t [2; 2,5]
0,5
s
∆t
TVM
∆t
TVM
–0,5
–0,1
–0,01
–0,001
...
31,85
29,89
29,449
29,4049
...
0,5
0,1
0,01
0,001
...
26,95
28,91
29,351
29,3551
...
On peut estimer à 29,4 m/s le taux de variation ponctuel
de la position par rapport au temps.
S
Comportement des images
La recherche d’un taux de variation ponctuel n’est pas le seul
contexte dans lequel on peut avoir à effectuer des calculs successifs
pour voir la tendance qui se dégage des valeurs obtenues.
On peut faire de tels calculs pour :
• analyser le comportement d’une fonction au voisinage d’une valeur
particulière;
• analyser le comportement à l’infini d’une fonction.
S
Exemple 3.1.6
Déterminer par des calculs successifs le
comportement au voisinage de x = 0, de
la fonction définie par :
f(x) = 4e1/x
Déterminer son comportement lorsque x
devient très grand positivement.
Déterminer son comportement lorsque x
devient très grand négativement.
∆x
f(0+∆x) ∆x
–1,0 1,471517
–0,5 0,541341
–0,1 0,000181
–0,01 1,4810–43
0–
0
x
1
10
100
1000
∞
f(0+∆x)
10,873127
1
0,5 29,556224
0,1
88105,863
0,01 1,081044
0+
∞
f(x)
10,87312731
4,420683672
4,040200668
4,004002001
4+
x
–1
–10
–100
–1000
–∞
f(x)
1,471517765
3,619349672
3,960199335
3,996001999
4–
S
Description symbolique
Pour décrire le comportement d’une fonction, on utilise une notation
symbolique adaptée à cette fin.
lim f (x)  L signifie que lorsque x prend des valeurs de plus en plus
xc –
proches de c par la gauche, les images de x par la
fonction s’approchent de plus en plus de L. On dit alors
que L est la limite à gauche des images lorsque x
s’approche de c par la gauche.
lim f (x)  L signifie que lorsque x prend des valeurs de plus en plus
xc 
proches de c par la droite, les images de x par la
fonction s’approchent de plus en plus de L. On dit alors
que L est la limite à droite des images lorsque x
s’approche de c par la droite.
lim f (x)  L
xc
signifie que la limite à gauche est égale à la limite à
droite et que celle-ci est L.
Description symbolique
lim f (x)   signifie que lorsque x prend des valeurs de plus en plus
xc 
proches de c par la droite, les images croissent sans
limite. On dit alors que la limite à droite de f lorsque
x  c est l’infini. Cela revient à dire symboliquement
qu’il n’y a pas de limite.
lim f (x)  L
x
signifie que lorsque x prend des valeurs très grandes
positivement, (x ∞) les images obtenues s’approchent
de plus en plus de L. On dit alors que la limite à plus
l’infini est L.
lim f (x)  L signifie que lorsque x prend des valeurs très grandes
x –
positivement, (x –∞) les images obtenues
s’approchent de plus en plus de L. On dit alors que la
limite à moins l’infini est L.
lim f (x)   signifie que la limite n’existe pas, tout en indiquant si
x 
les valeurs deviennent très grandes positivement ou
négativement.
Exemple de description symbolique
Considérons à nouveau la fonction définie par : f(x) = 4e1/x
lim f (x)  
x0 
Asymptote horizontale
y=4
lim f (x)  4 
x
lim f (x)  4 –
x –
lim f (x)  0
x0 –
S
Existence de la limite
DÉFINITION
Existence de la limite
Soit f, une fonction. On dit que la limite de f lorsque x tend vers c
existe si et seulement si :
1. la limite des images à gauche de c est égale à la limite des images à
droite de c;
2. cette limite, L, est un nombre réel.
Dans un tel cas, on écrit simplement :
lim f (x)  L
xc
Dans le cas de la fonction définie par f(x) = 4e1/x, la limite lorsque x
tend vers 0 n’existe pas.
Cependant, pour décrire le comportement local de la fonction, on
écrit :
lim f (x)  
lim f (x)  0
et

–
x0
x0
Exemple 3.1.8
Déterminer par des calculs successifs le comportement au voisinage de
x = 0, de la fonction définie par :
x
x
f(x)
f(x)
x
e –1
–0,5
0,78693... 0,5
1,29744...
f(x) =
x
–0,1
0,95162...
0,1
1,05170...
Dire si la limite existe lorsque x tend
–0,01 0,99501...
0,01
1,00501...
vers 0.
Remarquons tout d’abord que f(0) –0,001 0,99950... 0,001 1,00050...
n’existe pas, le domaine de la
lim f (x)  1
lim f (x)  1
–
fonction est R\{0}.
x0
x0 
Étudions le comportement de la fonction à gauche et à droite de 0.
La limite existe puisque la limite à gauche est égale à la limite à droite
et que cette limite est un nombre réel. On peut donc écrire :
lim f (x)  1
x0
S
Conclusion
Nous avons développé une approche numérique pour déterminer le
taux de variation ponctuel d’une fonction en un point d’abscisse c.
Nous avons utilisé cette approche numérique pour étudier le
comportement local d’une fonction au voisinage d’une valeur
particulière et à plus ou moins l’infini.
Pour décrire le comportement des fonctions nous avons introduit
l’écriture symbolique des limites.
Dans la prochaine présentation, nous utiliserons cette écriture
symbolique pour définir le taux de variation ponctuel et nous
tenterons de développer une procédure algébrique pour évaluer le
taux de variation ponctuel.
Lecture
Calcul différentiel, applications
Section 3.1, p.77-86.
en
sciences
de
la
nature,
de
la
nature,
Exercices
Calcul différentiel, applications
Section 3.2, p. 87-89.
en
sciences