Les diapos du chapitre 7

CHAPITRE 7
Fonctions numériques usuelles
Le plan du chapitre
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La fonction exponentielle
La fonction logarithme
Les fonctions puissances
Les fonctions sin et cos ; relations entre les lignes
trigonométriques
Les fonctions Arcos et Arsin
La fonction tangente et la fonction Arctan
Quelques relations importantes
Les fonctions trigonométriques sinh et cosh
Les fonctions trigométriques inverses Argsinh et
Argcosh
La fonction tanh et son inverse
La fonction exponentielle
lim (ex/xn) = + l’infini
en +l’infini
k=n
x
k=0
k!

k
exp (x)

lim (ex xn) = 0
en - l’infini
exp (x1+x2) = exp (x1) x exp (x2)
La méthode d’Euler
exp ’ = exp
Étape 0 : Choix d’un « pas » : 1/N (entre 0 et x)
u0 = 1
un+1-un
1/N
Dérivée « discrète »
= un
(1+ x/N)N ---> exp (x)
lorsque N tend vers + l’infini
La fonction logarithme (1)
x
 R et y = exp (x)
y
 et x = log (y)
lim0 (|y| log |y|) =0
lim+infini (log y /y) =0
log (y1 y2) = log (y1) + log (y2)
La fonction logarithme (2)
• log’ = [ y ---> 1/y] sur { y ; y > 0 }
• (log |y-a|)’ = [y ---> 1/(y-a)] sur R \ {a}
Remarque : pour tout entier n de Z
différent de -1, on a sur R \{a} :
[
(y-a)n+1
n+1
]’
=[ y ---> (y-a)n]
Les fonctions puissance
x
 R  ax := exp (x log a)
• (ax ) x = a x x
• ax +x =ax ax
• (ab)x = ax bx
• a-x = (1/a)x
1
1
2
2
1 2
1
x
2
x
[ x  ax]’ = [x  log(a)
x
ax ]
a>0
La fonction cosinus
xR
x
k=n

(-1)k
k=0
cos 0 = 1
cos 2 <-1/3
2k
(2k) !
cos s’annule en au
moins un point de [0,2]
cos (x)

(suites adjacentes)
 := 2 inf{x>0, cos x=0}
La fonction sinus
k=n

k=0
(-1)k
x
xR
2k+1
sin (x)

(2k+1) !
(suites adjacentes)
Relations entre fonctions
trigonométriques
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cos (x1 + x2) = cos (x1) cos (x2) – sin (x1) sin (x2)
sin (x1+ x2) = cos (x1) sin (x2) + sin (x1) cos (x2)
cos’ = - sin
sin’ = cos
cos2 x + sin2 x =1
cos (x+ 2)=cos x
• sin (x+2) = sin x
(cos (x), sin (x))
( pour x  [0,


paramétrage bijectif du cercle de
centre (0,0) et de rayon 1
Fonctions trigonométriques
inverses
• Arcos : [-1,1] --- > [0, ]
• Arcsin : [-1,1] --- > [-/2 , /2]
• sur ]-1,1[ Arcsin’ = 1/(cos(Arcsin)) = [y  (1-y2)-1/2]
• sur ]-1,1[ Arcos’ = -1/(sin(Arcos)) = [y  - (1-y2)-1/2]
Arcsin (y) + Arcos (y) = /2 pour y  [-1,1]
La fonction tangente
tan x := sin (x) / cos (x)



tan’ = 1 + tan2
La fonction Arctan (Arc-tangente)
x  ]-/2 , /2[ et y =tan (x)
y  R et x= Arctan (y)
1
1
Arctan’(y) = ------------------------ = ---------1 + tan2 (Arctan y)
1 + y2
Quelques relations importantes
• cos (t) = 2 cos2 (t/2) -1
= (1-u2)/(1+u2)
• sin (t) = 2 sin (t/2) cos (t/2)
= 2u/(1+u2)
t  ]-, [
u= tan (t/2) , t = 2 Arctan u
1-u2
2u
--------- , ------1+u2
1+u2
(-1,0)
(0,0)
1
n paramétrage rationnel du cercle unité privé d’un point
Les fonctions hyperboliques
• cosh x : = (ex+e-x)/2 , x  R
• sinh x : = (ex – e-x)/2 , x  R
cosh2 x – sinh2 x = 1
cosh’ = sinh
sinh’ = cosh
ntersection d’un plan et d’un cône :
hyperbole, ellipse ou parabole
hyperbole
(2 branches)
ellipse
les Coniques
Le paramétrage de la demi-hyperbole
x = cosh t , t
R
x2 – y2=1 , x>0
y = sinh t , t
R
La fonction argsinh : R  R
x  R et y = sinh x
y  R et x=argsinh y
variable auxiliaire
argsinh’ (y) = 1/cosh(argsinh(y)) = (1+y2)-1/2
sinh x = y
{
X = ex
X2 – 2y X - 1 =0
x = argsinh y = log [y + (1+y2)1/2]
La fonction argcosh :
{y ; y 1}  {x ; x  0}
x0 et y = cosh x
y 1 et x=argcosh y
variable auxiliaire
argcosh’ (y) = 1/sinh(argcosh(y)) = (y2 -1)-1/2
cosh x = y
{
, y>1
X = ex
x 0 (donc X 1)
X2 – 2y X +1 =0
x = argcosh y = log [y + (y2 -1)1/2]
La fonction tangente hyperbolique
•
tanh : x  R  tanh x := sinh x / cosh x
• tanh’ : x  R  1 – tanh2 x = (cosh x)-2
x  R et y = tanh x
y  ]-1,1[ et x=
argtanh y
argtanh’ y = 1/(1-y2)
= (1/2) x 1/(y+1) - (1/2) x 1/(y-1) , y  ]-1,1[
argtanh y = log (|y+1|/|y-1|)1/2
1,1[
, y  ]-
Fin du chapitre 7