Arc(AB) = R Arccos[ cosφ B cosθ B cosφ A + sinφ B sinφ A ]

CALCUL APPROCHE DE LA DISTANCE ORTHODROMIQUE
PIPS 2010
Saisissez les points A
et B avec le pointeur
de la souris pour
déplacer ces 2 points
Clic droit maintenu et
faites tourner la
sphère

Quelques définitions
On appelle méridien l’arc de grand cercle passant par les pôles.
On appelle parallèle tout cercle parallèle au plan équatorial. Autrement dit quelque soit la longitude un
parallèle a la même latitude.
On appelle latitude du point A l’angle formé entre le segment passant par le centre de la terre jusqu ’au
point A positionné à la surface terrestre et le plan équatorial. De manière conventionnelle cet angle est
noté de 0 sur le plan équatorial à 90 degrés aux pôles. Il est noté N pour Nord dans l’hémisphère nord et
il est noté S pour Sud dans l’hémisphère Sud.
On appelle longitude du point A l’angle formé par le segment passant par le centre de la terre jusqu’à la
projection orthogonale du point A sur le plan équatorial et un méridien de référence dont tout le monde
ou presque s’est accordé à considérer comme étant l’origine. Ce méridien s’appelle le méridien de
Greenwich. On aurait pu en choisir un autre, par exemple Villeherviers dans le Loir et Cher ! Mais bon …
les anglais ont été plus rapides.
Tout ce qui se trouve à l’est de ce méridien est noté E pour Est et inversement tout ce qui se trouve à
l’ouest est noté O pour Ouest (les anglosaxons diront W pour West).
Corollaire: le méridien 180° est ni Ouest, ni Est puisque c’est l’opposé du méridien de Greenwich.
On appelle distance orthodromique de point A ou point B la distance de l’arc de cercle sous tendu par le
grand cercle passant par ces 2 points et dont le centre est le centre de la terre.

Les bases de la trigonométrie
Les calculs de géométrie dans le triangle rectangle nécessitent de connaître les quelques formules de base de la trigonométrie.
A partir de ces bases il est ensuite possible d’en déduire d’autres relations un peu plus élaborées.
Si cet aspect théorique peut paraître rébarbatif, il n’en demeure pas moins que ces relations simples permettent d’élaborer des
produits complexes dans tous les domaines de la vie courante, tels que (et sans que cette liste ne soit exhaustive): architecture
d’une maison, triangle des vitesses de vent, rayon de braquage d’une automobile etc .
a
B
A
O
On appelle côté opposé à l’angle a, le segment AB
On appelle côté adjacent à l’angle a, le segment OA
On appelle hypothénuse du triangle rectangle AOB rectangle en A le
segment OB.
Alors sinus de l’angle a est égal au côté opposé sur l’hypothénuse, soit
Sina = AB / OB (1)
Le cosinus de l’angle a est égal au côté adjacent sur l’hypothénuse, soir
Cosa = OA / OB (2)
Enfin on appelle tangente le rapport de AB sur OA soit sina / cosa.
Par ailleurs une relation très utile est celle qui relie le carré de
l’hypothénuse à la somme des carrés des côtés qu’on exprime de la
manière suivante:
OB2= OA2+ AB2 (3) relation de Pythagore
On déduit de cette relation et des précédentes que sin2a + cos2a = 1
En effet à partir de (3) on a:
OB2= OB2sin2a + OB2cos2a
OB2= OB2( sin2a + cos2a)
D’où sin2a + cos2a = 1
Et bien évidemment il y a plein d’autres relations à déduire des
précédentes.

xA= R cos φAcos θA
AyA= R cos φAsin θA(1)
zA= R sin φA
xB= R cos φBcos θB
ByB= R cos φBsin θB(2)
zB= R sin φB
Soit la sphère de rayon R et positionnons 2 points quelconques A et B à la surface et désignons par φAet θA,
respectivement la latitude et la longitude de A. Même chose pour B. Désignons par A’ la projection orthogonale sur
le plan iOj et Aila projection orthogonale de A’ sur l’axe i, Aj la projection orthogonale de A’ sur j et enfin Akla
projection orthogonale de A sur l’axe k. Même chose pour B.
Alors les coordonnées de A et B dans le repère Oijk sont:
O
A
A’
B
Ai
Aj
Ak
φA
θA
R
i
j
k

Nous cherchons dans un premier temps la distance « rectiligne » de la droite AB dont on va exprimer la valeur à
partir d’un exemple simple, celui du plan:
O i
j
A
B
D’après Pythagore on sait que AB2= AC2+ BC2(3)
En se reportant aux coordonnées de A (xA,yA) et B (xB,YB) on a:
AB2= (xB–xA)2+ (yB–yA)2
C
yB
yA
xB xA
Pour revenir à notre sphère nous pouvons écrire, bien que la démonstration ci-dessus n’ait pas la rigueur
mathématique suffisante, que le carré de la distance de A à B est la somme des carrés des écarts des coordonnées de
A et B sur chacun des axes soit:
AB2= (xB-xA)2+ (yB-yA)2+ (zB-zA)2 (4)
Pour simplifier les calculs un peu fastidieux nous allons supposer que la longitude de A est égale à 0
Par conséquent les coordonnées de A (relations (1)) en sachant que sin 0 = 0 et cos 0 = 1, s’écrivent :
xA= R cos φA
yA= 0
zA= R sin φA