Arc(AB) = R Arccos[ cosφ B cosθ B cosφ A + sinφ B sinφ A ]

CALCUL APPROCHE DE LA DISTANCE ORTHODROMIQUE
PIPS 2010
Saisissez les points A
et B avec le pointeur
de la souris pour
déplacer ces 2 points
Clic droit maintenu et
faites tourner la
sphère
Quelques définitions
On appelle méridien l’arc de grand cercle passant par les pôles.
On appelle parallèle tout cercle parallèle au plan équatorial. Autrement dit quelque soit la longitude un
parallèle a la même latitude.
On appelle latitude du point A l’angle formé entre le segment passant par le centre de la terre jusqu ’au
point A positionné à la surface terrestre et le plan équatorial. De manière conventionnelle cet angle est
noté de 0 sur le plan équatorial à 90 degrés aux pôles. Il est noté N pour Nord dans l’hémisphère nord et
il est noté S pour Sud dans l’hémisphère Sud.
On appelle longitude du point A l’angle formé par le segment passant par le centre de la terre jusqu’à la
projection orthogonale du point A sur le plan équatorial et un méridien de référence dont tout le monde
ou presque s’est accordé à considérer comme étant l’origine. Ce méridien s’appelle le méridien de
Greenwich. On aurait pu en choisir un autre, par exemple Villeherviers dans le Loir et Cher ! Mais bon …
les anglais ont été plus rapides.
Tout ce qui se trouve à l’est de ce méridien est noté E pour Est et inversement tout ce qui se trouve à
l’ouest est noté O pour Ouest (les anglosaxons diront W pour West).
Corollaire: le méridien 180° est ni Ouest, ni Est puisque c’est l’opposé du méridien de Greenwich.
On appelle distance orthodromique de point A ou point B la distance de l’arc de cercle sous tendu par le
grand cercle passant par ces 2 points et dont le centre est le centre de la terre.
Les bases de la trigonométrie
Les calculs de géométrie dans le triangle rectangle nécessitent de connaître les quelques formules de base de la trigonométrie.
A partir de ces bases il est ensuite possible d’en déduire d’autres relations un peu plus élaborées.
Si cet aspect théorique peut paraître rébarbatif, il n’en demeure pas moins que ces relations simples permettent d’élaborer des
produits complexes dans tous les domaines de la vie courante, tels que (et sans que cette liste ne soit exhaustive): architecture
d’une maison, triangle des vitesses de vent, rayon de braquage d’une automobile etc .
B
a
O
A
On appelle côté opposé à l’angle a, le segment AB
On appelle côté adjacent à l’angle a, le segment OA
On appelle hypothénuse du triangle rectangle AOB rectangle en A le
segment OB.
Alors sinus de l’angle a est égal au côté opposé sur l’hypothénuse, soit
Sina = AB / OB (1)
Le cosinus de l’angle a est égal au côté adjacent sur l’hypothénuse, soir
Cosa = OA / OB (2)
Enfin on appelle tangente le rapport de AB sur OA soit sina / cosa.
Par ailleurs une relation très utile est celle qui relie le carré de
l’hypothénuse à la somme des carrés des côtés qu’on exprime de la
manière suivante:
OB2 = OA2 + AB2 (3) relation de Pythagore
On déduit de cette relation et des précédentes que sin2a + cos2a = 1
En effet à partir de (3) on a:
OB2 = OB2 sin2a + OB2 cos2a
OB2 = OB2 ( sin2a + cos2a)
D’où sin2a + cos2a = 1
Et bien évidemment il y a plein d’autres relations à déduire des
précédentes.
Soit la sphère de rayon R et positionnons 2 points quelconques A et B à la surface et désignons par φA et θA,
respectivement la latitude et la longitude de A. Même chose pour B. Désignons par A’ la projection orthogonale sur
le plan iOj et Ai la projection orthogonale de A’ sur l’axe i, Aj la projection orthogonale de A’ sur j et enfin Ak la
projection orthogonale de A sur l’axe k. Même chose pour B.
k
Alors les coordonnées de A et B dans le repère Oijk sont:
Ak
xA = R cos φA cos θA
A
yA = R cos φA sin θA
A
(1)
R
zA = R sin φA
B
xB = R cos φB cos θB
B
yB = R cos φB sin θB
O
(2)
φA
Ai
θA
zB = R sin φB
Aj
A’
j
i
Nous cherchons dans un premier temps la distance « rectiligne » de la droite AB dont on va exprimer la valeur à
partir d’un exemple simple, celui du plan:
D’après Pythagore on sait que AB2 = AC2 + BC2
j
B
yB
En se reportant aux coordonnées de A (xA,yA) et B (xB,YB) on a:
AB2 = (xB – xA)2 + (yB – yA)2
A
yA
(3)
C
O
xA
xB
i
Pour revenir à notre sphère nous pouvons écrire, bien que la démonstration ci-dessus n’ait pas la rigueur
mathématique suffisante, que le carré de la distance de A à B est la somme des carrés des écarts des coordonnées de
A et B sur chacun des axes soit:
AB2 = (xB-xA)2 + (yB-yA)2 + (zB-zA)2
(4)
Pour simplifier les calculs un peu fastidieux nous allons supposer que la longitude de A est égale à 0
Par conséquent les coordonnées de A (relations (1)) en sachant que sin 0 = 0 et cos 0 = 1, s’écrivent :
xA = R cos φA
yA = 0
zA = R sin φA
Développons en croisant (1) (2) et (4):
AB2 = (R cosφB cosθB – R cosφA)2 + ( R cosφB sinθB)2 + (R sinφB – R sinφA)2
AB2 = R2 [ (cosφB cosθB – cosφA)2 + (cosφB sinθB)2 + (sinφB – sinφA)2]
AB2 = R2 (cos2φB cos2θB + cos2φA – 2 cosφB cosθB cosφA + cos 2φB sin2θB + sin 2φB + sin2φA – 2 sinφB sinφA)
On va utiliser une propriété des sinus et cosinus pour simplifier l’équation ci-dessus, propriété qui découle en fait du
théorème de Pythagore:
sin2 α + cos2 φ = 1 quelque soit α
En effet , dans un triangle OCA rectangle en C on a: OA2 = OC2 + AC2 (5)
A
sin α = AC / OA et cos α = OC / OA
sin2 α + cos2 α
= (AC/OA)2 + (OC/OA)2
= (AC2 + OC2)/OA2
α
= ( AC2 + OC2) / (AC2 + OC2)
selon la relation (3)
O
C
sin2 α + cos2 α
CQFD
= 1
(6)
D’où
AB2 = R2 (cos2φB cos2θB +1 – 2 cosφB cosθB cosφA + cos2φB sin2θB + sin2φB – 2 sinφB sinφA)
AB2 = R2 [ cos2φB (cos2θB + sin2θB) + 1 – 2 cosφB cosθB cosφA + sin2φB – 2 sinφB sinφA]
=1
AB2 = R2 [cos2φB + sin2φB + 1 – 2 cosφB cosθB cosφA – 2 sinφB sinφA]
=1
AB2 = R2 [ 1 + 1 – 2 cosφB cosθB cosφA – 2 sinφB sinφA]
D’où AB = R
2(1 – cosφB cosθB cosφA – sinφB sinφA)
(7)
A ce stade nous n’avons pas exactement la distance à la surface terrestre entre A et B mais seulement la distance
en ligne droite de A à B. Il nous faut désormais calculer la valeur de l’arc de grand cercle passant par A et B.
En fait, la longueur de l’arc AB est égale au produit de l’angle α exprimé en radians par le rayon. On retrouve ici
la formule de calcul du périmètre d’un cercle l = 2π R
Posons α / 2 = β et notons que AC = AB / 2
Or AC = R sin β puisque BC = AC et que α / 2 = β
Donc AB = 2 R sin β
D’où β = Arcsin (AB/2R)
A
Et donc α = 2 Arcsin(AB/2R)
Vous noterez que le segment de droite
passant par O et par le milieu du segment
AB est perpendiculaire au segment AB.
R
α
O
C
β
B
On en déduit avec la relation (6) que:
Arc(AB) = α R = 2 R Arcsin [½
2(1 – cosφB cosθB cosφA – sinφB sinφA)] (8)
A ce stade la formule est suffisante pour exprimer la longueur de l’arc AB qui correspond à l’orthodromie.
Néanmoins on peut encore la simplifier en utilisant les propriétés d’addition des sinus et cosinus
on a 2 sin2α = 1 – cos2α (9)
En effet les propriétés d’addition du cosinus nous permettent d’écrire cos(α+β) = cosα cosβ – sinα sinβ
cos2α = cos2α - sin2α or d’après (6) on a
cos2α = 1 – sin2α
Donc cos2α = 1 – 2 sin2α ou 2 sin2α = 1 – cos2α
Le but ici est de supprimer la racine carré de l’expression (8) en l’élevant au carré, ce qui semble possible avec
la relation (9). Posons α = Arcsinβ
Alors (9) devient 2 sin2 (Arcsinβ) = 1 – cos(2 Arcsinβ)
2 ( sin(Arcsinβ) sin(Arcsinβ)) = 1 – cos(2 Arcsinβ)
2(β β) = 1 – cos(2 Arcsinβ)
cos(2 Arcsinβ) = 1 – 2 β2 d’où
En posant β = [½
2 Arcsinβ = Arccos (1 – 2 β2 )
(10) on y reconnaît la forme de la relation (8)
2(1 – cosφB cosθB cosφA – sinφB sinφA)] on a:
Arc(AB) = R Arccos[1 -2 [1/4 (2(1- cosφB cosθB cosφA – sinφB sinφA))] ]
Arc(AB) = R Arccos[1 -2[1/4 (2 – 2 cosφB cosθB cosφA – 2 sinφB sinφA )]]
Arc(AB) = R Arccos[1 -2[1/2 – 1/2 cosφB cosθB cosφA – 1/2 sinφB sinφA ]]
Arc(AB) = R Arccos[1 -1 + cosφB cosθB cosφA + sinφB sinφA ]
D’où
Arc(AB) = R Arccos[ cosφB cosθB cosφA + sinφB sinφA ]
Qu’on généralisera à:
Arc(AB) = R Arccos[ cosφB cosΔθ cosφA + sinφB sinφA ] (11)
Où Δθ est l’écart de longitude entre les 2 points et où les angles sont exprimés en radians
Encore plus fort …
La question est maintenant de savoir
quel est le cap à prendre sur ce
segment orthodromique ou plutôt
quels sont les caps successifs à
prendre pour aller du point A au point
B. L’orthodromie présente cette
particularité que les caps ne sont pas
constants à l’exception du
déplacement le long d’un méridien ou
le long de l’équateur, comme vous
pourrez le vérifier sur cette
construction 3D.
Vous pouvez déplacer le point vert le
long de l’orthodromie du point A au
point B, déplacer les points A et B,
faire tourner la figure avec le clic droit
de la souris.