1) Dérivées

Stage de Pré Rentrée 2011
Rappels mathématiques
et physiques
Sommaire
1) Dérivées
2) Intégrales
3) Fonction exponentielle
4) Fonction logarithme
5) Les fonctions sinusoïdales
6) Equations Différentielles
7) Géométrie dans l’espace
8) Les ultiples et sous multiples/unités
9) Conversions
1) Dérivées
df
Elles sont notées f’ en maths. Traduisant
, elles permettent
dx
d’étudier les variations d’une fonction, de construire des
tangentes à des courbes… Elles se calculent normalement de la
façon suivante:
Pour tout x et x0 qui appartiennent à l’ensemble de définition,
f ( x)  f ( x0 )
f ' ( x0 )  lim
x  x0
x  x0
Plus x se rapproche de x0 ,
plus la précision sur le
coefficient directeur de la
droite est important.
Source: Wikipedia
Dérivées usuelles de fonctions:
a  0
x²  2 x
n
n 1
x  nx
1
1

x
x²
x 
1
2 x
cos( x)   sin( x)
sin( x)  cos( x)
u  v  u'v'
u.v  u'.v  u.v'
1
u'
 
u
u²
u'
u 
2 u
u    .u '.u  1
2) Intégrales
L’intégration permet de calculer la surface de l’espace
délimité par la représentation graphique d’une fonction
f ; une intégrale s’écrit de la forme suivante:
 f ( x)dx
Avec I =[a,b]
xI
Source: Wikipedia
Propriétés des intégrales:
a
 f ( x)dx  0
c
b
a
b
c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
a
a
 f ( x)dx   f ( x)dx
a
b
b
b
Relation de Chasles
a
b
b
 f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
a
a
Linéarité
a
b
b
a
a
Six  [a, b], f ( x)  g ( x)alors  f ( x)dx   g ( x)dx Monotonie
3) Fonction Exponentielle
f(x)=ex
• Caractéristiques fondamentales :
• Points remarquables :
• Propriétés :
• Exponentielle de base b :
•
Limites :
4) Fonction Logarithme
• Caractéristiques fondamentales :
définie sur
,
• Valeurs remarquables :
• Propriétés:
ln (a*b) = ln(a) + ln(b)
• Logarithme de base b :
Limites :
5) Les fonctions sinusoïdales
Parité
cos(x) = cos(-x)
→ paire
sin(x) = -sin(-x)
→ impaire
Périodicité
cos(x + 2π) = cos(x)
sin(x + 2π ) = sin(x)
cos(x)
sin(x)
Complémentarité
sin( - x) = cos(x)
cos( - x) = sin(x)
→ traduit le déphasage de
du sinus et du cosinus.
cos(π –x) = -cos(x)
sin(π –x) = sin(x)
cos(π +x) = -cos(x)
sin(y)
sin(π - y)
cos(x)
cos(π-x)
sin(π +x) = -sin(x)
sin(-x)
cos(-x)
Relation fondamentale cos2 (x) + sin2 (x) = 1
Sinus et cosinus : valeurs remarquables
x
sin(x)
cos(x)
0
0
1
/2 /3
3/2
1
0
1/2
 /2
/4
2/2
/6
1/2
3/2
2/2
 /3
3/2
 /4
2/2
 /6
1/ 2
0 cos
1/ 2
sin
2/2 3/2
6) Equations différentielles
• Résolution de y’ = a*y
où k est une constante réelle.
y (x) = k*
Pour trouver k, on prend les conditions à l’origine, c’est-à-dire
pour x = 0.
y (0) = k* = k
donc y (x) = y (0) *
• Résolution de y’ = a*y + b
y (x) = k*
-
où k est une constante réelle
Pour trouver la constante k, on prend les conditions à l’origine,
c’est-à dire pour x = 0.
y (0) = k*
-
= k-
↔ k = y (0) +
7) Géométrie dans l’espace
a) Produit scalaire
•
• Si deux vecteurs
et sont orthogonaux,
• Si deux vecteurs et sont colinéaires,
et
. Ainsi,
– linéarité et distributivité :
– commutativité :
• Principe de la projection orthogonale :
,
.
b) Produit vectoriel
•Le produit vectoriel
est orthogonal à
est un vecteur tel que
et donc
• Attention ! Le produit vectoriel n’est pas commutatif:
• Si deux vecteurs
et sont colinéaires, alors
= .
•
Sens du produit vectoriel :
On se place dans un repère orthonormal direct.
+
Ici, l’angle orienté
est positif donc
est dans le même sens que par rapport à et .
Inversement, si l’angle orienté est négatif, le produit vectoriel
est orienté dans le sens opposé à par rapport à et .
→ cf règle du « tire-bouchon ».
8) Les multiples et sous-multiples
Tera
Giga
Mega
Kilo
T
G
M
K
1012
109
106
103
Mili
Micro
m
μ
10-3
10-6
Nano
Pico
Fento
n
p
f
10-9
10-12
10-15
atto
a
10-18
9)Conversions
a) Les unités de volume:
m3
1000 L
1 kL
dm3
cm3
mm3
1L
10-3 L
1 mL
10-6 L
1 μL
• Convertir une surface de 134 mm2 en unité du SI:
→ 134 mm2 = 134 (10-3m)2 = 134. (10-3)2m2 = 134.10-6 m2
= 1,34. 10-4 m2
• Convertir une vitesse angulaire de 5 tours/minute en
rad.s-1 (2π rad = 1 tour = 360 degrés):
→
b) Les unités « inverses »:
ATTENTION: Ne vous trompez pas de sens lors de la
conversion d’unités « inversées ».
Ex: 1 mol.L-1 = 1 mol.dm-3 = 103 mol.m-3 = 10-3 mol.cm-3.
(et non pas 10-3 mol.m-3 … ce n’est pas une dillution!).
c) La dillution:
Pour éviter la confusion avec la conversion des unités
inversées, pensez en « volume initial → volume final ».
Ex 1: Dillution de 100 mL d’une solution de 1 mol.L-1 dans 900
Ci.Vi
1.0,1

mL d’eau pure: Cf = Vi Vf 0,1  0,9 = 0,1 mol.L-1.
Ex 2: Dillution de 100 mL d’une solution de 1 mol.L-1 dans 1 L
Ci.Vi
1.0,1

d’eau pure: Cf = Vi  Vf 0,1  1 = 0,09 mol.L-1.