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ELECTROMAGNETISME II
Les régimes variables et les équations de Maxwell
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Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1)
L’outil mathématique
Les champs et les opérateurs différentiels
Champ scalaire, champ de vecteur
Opérateurs différentiels et équations locales
Champ et symétrie (recherche des plans de
symétrie et d’antisymétrie, vecteur ou
vecteur polaire et pseudo-vecteur ou
vecteur axial )
Champ uniforme
Champ stationnaire, permanent, constant
Fonction de plusieurs variables et différentielle
de cette fonction
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Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1)
L’outil mathématique
Les champs et les opérateurs différentiels
Champ de vecteurs a
Lignes de champ
dOM x a = 0;
dOM = k a ; dx/ax = dy/ay = dz/az;
Circulation
CM1M2 = G(M1,M2) a.dOM ;
l’intégrale est calculée le long de la courbe
d’un point M1 à un point M2
Élément de surface orienté et flux
surface s’appuyant sur un contour orienté et
« règle du tire bouchon de Maxwell »
surface fermée et « de l’intérieur vers
l’extérieur »
 =  S a.dS
dans le cas d’une surface fermée on parle de
flux sortant
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Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1)
L’outil mathématique
Les champs et les opérateurs différentiels
Définition des opérateurs différentiels.
Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes (O;ex,ey,ez)
Le gradient : champ de vecteur attaché à un champ scalaire f
grad f(x,y,z) = ( f/dx )ex +( f/dy)ey +( f/dz)ez
df = grad f . dOM : la circulation élémentaire de grad f est
égale à la différentielle de la fonction f
le vecteur grad f est normal aux surfaces f = Cte et dirigé vers
les valeurs croissantes de f
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Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1)
L’outil mathématique
Les champs et les opérateurs différentiels
Définition des opérateurs différentiels.
Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes (O;ex,ey,ez)
La divergence : champ scalaire attaché à un champ de vecteur a
div a =  ax/  x +  ay/  y +  az/  z
Définition intrinsèque de la divergence de a :
Soit   le flux sortant de l’élement de volume  t
Alors div a = lim dt0 ( /  t )
Interprétation de la divergence
on prend un champ a = aOM
lignes de champ divergent ou
convergent à partir du point
O suivant le signe de alpha
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Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1)
L’outil mathématique
Les champs et les opérateurs différentiels
Définition des opérateurs différentiels.
Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes (O;ex,ey,ez)
Le rotationnel :
champ de vecteur attaché à un champ de vecteur a
rot a = ( az/dy- ay/dz)ex+ ( ax/dz- az/dx)ey+( ay/dx- ax/dy)ez
On peut exprimer rot a à l’aide du déterminant d’une matrice
Définition intrinsèque du rotationnel :
(rot a).n = lim  S 0  C/  S
Un contour fermé G,
un sens de circulation positif, une surface S,
un vecteur normal n et une circulation C
Interprétation physique du rotationnel
il évoque la rotation ……………………
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Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1)
L’outil mathématique
Les champs et les opérateurs différentiels
Définition des opérateurs différentiels.
Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes (O;ex,ey,ez)
Le laplacien scalaire ; le laplacien vectoriel
DV = 2 V/dx2 + 2 V/dy2 + 2 V/dz2;
Da = (Dax) ex + (Day) ey + (Daz) ez ;
L’équation DV = 0 porte le nom d’équation de Laplace
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Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1)
L’outil mathématique
Les champs et les opérateurs différentiels
Définition des opérateurs différentiels.
Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes (O;ex,ey,ez)
Tous ces opérateurs sont linéaires.
a une constante
Op(aa) = aOp(a) ; Op(a1+a2) = Op(a1)+Op(a2)
Op(af) = aOp(f): Op(f1+f2) = Op(f1) +Op(f2)
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Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1)
L’outil mathématique
Les champs et les opérateurs différentiels
Combinaison deux à deux des opérateurs différentiels du premier
Ordre
div(grad f) = Df
div(rot a) = 0
rot (grad f) = 0
rot(rot a) =grad(div a) – Da
Le vecteur Nabla en coordonnées cartésiennes :
= ex  /dx + ey  /dy + ez  /dz;
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Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1)
L’outil mathématique
Les champs et les opérateurs différentiels
Théorème de Green-Ostrogradsky
 S fermée a.dS =   V(S) diva dt
Pour démontrer ce théorème il faut utiliser la définition
intrinsèque de div a et découper le volume V en petits
parallélépipèdes et prendre en compte que pour deux
éléments de volume ayant une face commune l’aspect
flux sortant ………..
À connaitre, très utile, pour une démonstration math
rigoureuse voir cours d’analyse…….
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Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1)
L’outil mathématique
Les champs et les opérateurs différentiels
Théorème de Stokes-Ampère
. G fermée a.dl =  S(G) rot a . dS
circulation de a sur le contour fermé G sur lequel s’appuye la
surface ouverte S;
Le sens de dS est fixé par le sens positif de circulation sur G
Ce théorème est admis et à connaitre
La démonstration ….. Utilise définition intrinsèque de rot a
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L2 : RAPPELS (2)
Les équations locales des régimes statiques
•
1. Champ électrique E pour une distribution de charges
caractérisée par la densité volumique r(P)
– rot E = 0 .
– div E = r /e0 .
(1)
(2)
Le champ E tend vers 0 lorsqu’on s’éloigne à l’infini de la
distribution de charges. Cette condition et les équations 1 et
2 suffisent pour déterminer parfaitement le champ E.
Les théorèmes de Stokes-Ampère et Green-Ostrogradsky
permettent d’écrire les relations intégrales correspondantes
rot E = 0 
C fermée E.dl = 0
div E = r /e0   S fermée E.dS = 1 /e0   V(S)rdt
Cette dernière relation exprime le théorème de Gauss
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L2 : RAPPELS (2)
Les équations locales des régimes statiques
2. Potentiel électrique et équation de Poisson
V:
E = - grad V .
(3)
div grad V + r /e0 = 0
Equation de Poisson :
D V + r /e0 = 0.
(4)
Cette équation définit de façon unique une fonction V lorsque
les conditions aux limites et r sont données
Les équations (3) et (4) sont équivalentes aux équations (1)
et (2) pour le calcul de E
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L2 : RAPPELS (2)
Les équations locales des régimes statiques
On déduit de ces équations le champ et le potentiel d’une
charge ponctuelle :
E(M) = (1/ 4p e0 )q(P) PM / PM3.
V(M) = (1/ 4p e0)q(P) / PM +Cte
Pour une distribution de charges r(P) on obtient :
E(M) = (1/ 4p e0 )    (r(P) PM / PM3)dt.
V(M) = (1/ 4p e0)    (r(P) / PM) dt
L’expression de V correspond à V = 0 à l’infini. Ce choix peut
ne pas convenir si la distribution comporte des charges à
l’infini
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L2 : RAPPELS (2)
Les équations locales des régimes statiques
3. Loi de Coulomb
F = qE
4. Les équations locales + loi de Coulomb 
Formulation des lois de l’électrostatique.
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L2 : RAPPELS (2)
Les équations locales des régimes statiques
•
5. Continuité de V et discontinuité de E en présence d’une
distribution superficielle de charges ( s = dq/dS)
E2 – E1 = (s/ e0) n12
La composante tangentielle de E est continue à la traversée
d’une surface chargée
La composante normale de E subit une discontinuité égale à
s/ e0 à la traversée d’une surface chargée
•
6. Le potentiel n’admet pas d’extremum en dehors des
charges
•
7. Energie électrostatique d’une distribution de charge
Ue =   D r(P)V(P)dt = e0 /2  espace E2 dt .
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L2 : RAPPELS (2)
Les équations locales des régimes statiques
•
1. Champ magnétique B pour une distribution volumique
statique de courants j(P)
div B = 0.
(5)
rot B = m0j.
(6)
B tend vers 0 lorsqu’on s’éloigne à l’infini d’une distribution de
courant.
Le théorème d’Helmholtz montre que les équations 5 et 6,
avec la condition à l’infini, suffisent à déterminer parfaitement
le champ B
Les théorèmes de Stokes-Ampère et Green-Ostrogradsky
permettent d’écrire les relations intégrales :
rot B = m0j 
C fermée B.dl = m0  S(C) jdS
div B = 0  S fermée B.dS = 0
La première relation traduit l’inexistence de charges
magnétiques, la seconde le théorème d’Ampère
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L2 : RAPPELS (2)
Les équations locales des régimes statiques
•
2. Potentiel vecteur du champ magnétique
A:
B = rot A
(7)
Si A est solution A + grad f est aussi solution pour tout champ
scalaire f
•
Équation locale A, j :

DA + m0j = 0 avec div A = 0.
(8)
Avec DA = grad div A - rot rot A .
div A = 0 est obtenu en utilisant le fait que A n’est défini qu’à
un gradient près.
•
Pour le calcul de B les équation 5 et 6 sont équivalentes aux
équations 7 et 8
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L2 : RAPPELS (2)
Les équations locales des régimes statiques
•
On déduit de 5,6 et 7,8 les expressions du potentiel et du
champ pour une distribution volumique de courant :
A(M) = m0 /4p   j (P) /PM dt
B(M) = m0 /4p  ( j (P) x PM) / PM3 dt
•
On sait que pour un circuit filiforme il suffit de remplacer jdt
par Idl on reconnaît alors la formule de Biot et Savart
B(M) = m0 /4p  ( Idl(P) x PM) / PM3
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L2 : RAPPELS (2)
Les équations locales des régimes statiques
•
3. Discontinuité du champ B dans le cas d’une distribution
superficielle de courants
B2 – B1 = m0 ( jS x n12) .
La composante tangentielle de B subit une discontinuité à la
traversée d’une nappe de courant
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L2 : RAPPELS (2)
Les équations locales des régimes statiques
•
4. Action d’un champ magnétique
– Force de Lorentz F = q(E + v x B)
– Action mécanique exercées par B sur une boucle de
courant
• df(P) = Idl(P) x B (P)
• dG0 = OP x df , …..
• Soit M = IS le moment magnétique du circuit…..
Alors à l’échelle de la boucle de courant l’action
mécanique se traduit essentiellement par un couple
qui tend à orienter M selon B :
G= MxB
et si on tient compte de l’inhomogénéité de B la
résultante de la force de Laplace :
R = ( M.grad ) B
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L2 : RAPPELS (2)
Les équations locales des régimes statiques
•
•
5. Dipôle électrique
Soit p( O) (= q NP) alors V(M) et E(M)
V(M) = (1/ 4p e0 ) ( p.OM )/OM3 .
E(M) = (1/ 4p e0 ){3(p.OM)OM/OM5 – p/OM3}
•
•
6. Dipôle magnétique
Soit M (O) (= IS ) alors B(M) et A(M)
A(M) = (m0 /4p) (M x OM) / OM3
B(M) = (m0 /4p) {3OM(M .OM)/OM5 – M / OM3}
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