CIRCUITS ÉLECTRIQUES ET MAGNÉTIQUES a?

CHAPITRE 1
CIRCUITS ÉLECTRIQUES
ET MAGNÉTIQUES
1.1 HYPOTHESES GENERALES ET DOMAINES D'APPLICATION
1.1.1 Hypothèse : domaine macroscopique
L'étude des systèmes électromécaniques fait appel principalement à l'analyse des
circuits électriques et magnétiques et à celle de la conversion électromécanique. D'emblée, ces aspects seront traités dans un domaine macroscopique que l'on peut caractériser par l'ensemble des équations de Maxwell (sect. III.1.2). En conséquence, il est fait
abstraction de la structure atomique et moléculaire des matériaux. Seuls les effets de
cette structure sont pris en considération.
1.1.2 Rappel : équations de Maxwell
Les équations de Maxwell définissent les propriétés macroscopiques locales associées aux grandeurs électriques et magnétiques vectorielles. Il s'agit du champ électrique
E, du champ magnétique H, du déplacement électrique D et de l'induction magnétique
B. Ces équations prennent la forme suivante dans un référentiel associé au milieu étudié :
9D
rot H = J + ——
a?
35
(1.1)
rot E = - ——
ô?
(1.2)
dïvB = 0
(1.3)
divD = p,
(1.4)
Elles sont complétées par des relations spécifiques aux matériaux ;
B=Hoti,H
(1.5)
D=eoe,E
E = pJ
(1.6)
(1.7)
1.1.3 Hypothèse : domaine quasi statique
Dans le cadre de l'étude des phénomènes associés à la conversion électromécanique, les
relations de Maxwell peuvent être simplifiées. Les fréquences enjeu sont relativement
faibles. Elles ne dépassent pratiquement jamais quelques dizaines de kHz. Dans ces conditions, la dérivée du vecteur déplacement électrique S D / S t , de l'équation (1.1), est
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ÉLECTROMÉCANIQUE
négligeable eu égard à la densité de courant J . Cette équation devient alors :
rot H = J
(1.8)
De plus, les équations (1.4) et (1.6) ne présentent plus d'intérêt. Dans ces conditions, on parlera de régime quasi statique des équations de Maxwell (chap. III.4).
1.1.4 Développement : forme intégrale
Les relations (1.2) et (1.8) peuvent être transformées par le théorème de Stokes,
appliqué à une surface S délimitée par un contour C. La relation (1.8) devient ainsi :
f ^ H - d s = f ^ J - dA
(1.9)
La relation (1.2) s'écrit de même :
f
/•
E • ds = -
c
C9B
—— • dA
•'s 9t
(1.10)
Le théorème de la divergence, appliqué à la relation (1.3) permet d'écrire :
<Ç B • dA = 0
*' s
(1.11)
Les relations (1.9) à (1.11) sont l'expression intégrale des relations de Maxwell en
régime quasi statique.
1.1.5 Rappel : potentiel vecteur
Le potentiel vecteur A (§ III. 1.2.3) est caractérisé par les deux équations suivantes :
B = rot .4
(1.12)
div.4 = 0
(1.13)
Cette grandeur est intéressante sur le plan analytique. Tous les autres vecteurs peuvent
en effet être obtenus par dérivation du potentiel vecteur.
1.1.6 Développement : milieu à perméabilité constante
Dans un milieu à perméabilité et résistivité constantes, l'équation (1.8) devient :
rot—JÎ=At
(1.14)
P
rot rot A = ^-E
P
(1.15)
Par les propriétés de l'analyse vectorielle, il vient :
-AA=P-E
P
(1.16)
CIRCUITS ÉLECTRIQUES ET MAGNÉTIQUES
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La relation (1.2) peut se transformer comme suit :
ô
rot E = - ~ rot A
9?
(1.17)
SA
E = -—
9t
(1.18)
Par substitution dans l'équation (1.16), on obtient :
Ai 9A
AA = - —
(1.19)
p 9t
Par dérivation, on obtient de même :
li
à/y
H
9E
AH = - ——
p 3t
(1.20)
àE = - —
(1.21)
p 9t
Les équations (1.19) à (1.21) caractérisent la répartition électromagnétique vectorielle dans un milieu conducteur à perméabilité constante. Il s'agit d'équations de
Poisson (§ III.4.5.1). Dans un milieu non conducteur (résistivité infinie), ces relations
deviennent :
AA = Aff = âE = 0
(1.22)
II s'agit d'équations de Laplace (sect. III.4.3).
1.1.7 Définitions : composants d'un système électromécanique
Un système électromécanique se compose obligatoirement d'un circuit électrique
et d'un circuit magnétique (chap. 2). Ces deux circuits sont toujours imbriqués (fig. 1.1).
Par définition, un circuit électrique est le siège d'un courant. Un circuit magnétique est parcouru par un flux d'induction magnétique.
Il existe une certaine analogie entre ces deux notions. Elle sera explicitée au paragraphe 1.3.15.
Fig. 1.1