Electromagnétisme : autour des équations de Maxwell

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Electromagnétisme : autour des équations de Maxwell
Les équations de Maxwell
→
−
Maxwell - Gauss div E =
−
−→→
→
−
Maxwell - Flux div B = 0
ρ
0
−
−→→
→
−
Maxwell - Faraday rot E = − ∂∂tB
→
−
→
−
Maxwell - Ampère rot B = µ0 j + 0 µ0 ∂∂tE
1. Les équations de Maxwell sont linéaires, ce qui les rend particulièrement fortes. Cela implique que les champs
crées par une superposition de charges sont égaux à la superposition des champs crées par chacune des charges
prise isolément. On peut donc chercher la forme d'un champ quelconque comme une superposition de champs
sinusoïdaux, par transformation de Fourier.
→
−
→
−
2. En régime non statique, les champs B et E sont
pas y avoir un champ sans l'autre.
couplés
par les équations de M F et M A. Il ne peut donc
3. Chacune des équations de Maxwell correspond à une condition de raccordement :
−→
−→
2
1
M G ⇔ EN
− EN
=
−
→
−→
M F ⇔ ET2 = ET1
−→
−→
2
1
M φ ⇔ BN
= BN
−→ −→
→
−
M A ⇔ BT2 − BT1 = µ0 js
σ −→
0 n12
4. Chacune des équations de Maxwell correspond à un théroème intégral :
‚→
→
− −
E .dS = ρint
Théorème de Gauss
0
¸→
−
− →
M F ⇔ E . dl = − ∂φ
∂t Théorème de Faraday
‚→
→
− −
→
−
B .dS = 0 Conservation du ux de B
¸→
−
− →
M A ⇔ B . dl = µ0 (I + ID ) Théorème d'Ampère
MG ⇔
Mφ ⇔
5. En découplant les équations de Maxwell, on obtient l'équation de propagation des ondes. Pour cela, on forme
→
−
−→−→ −−→
rotrot = grad (div) − ∆ .
On obtient alors :
→
−→
−
∆E −
−
1 ∂2 →
c2 ∂t2 E
→
−→
−
∆B −
→
−
= 0
−
1 ∂2 →
c2 ∂t2 B
→
−
= 0
−−→ →
−
− →
−→
−
→
−→
−
−→−→→
• rotrot E = grad div E − ∆ E = − ∆ E d'après M G dans le vide.
−→→
−
−
−
−
−→−→→
−→ →
∂
∂2 →
rot B = − c12 ∂t
et rotrot E = rot − ∂∂tB = − ∂t
2 E en utilisant le théorème de Schwarz et M A dans
le vide.
→
− →
−
→
− →
−
• Les solutions des équations de propagation sont de la forme f t − u c. r + g t + u c. r : un terme se
−
propageant dans le sens de →
u , un terme se propageant dans l'autre direction.
6. Les équations de Maxwell donnent également le théorème de Poynting, c'est-à-dire la conservation de l'énergie.
Pour cela, on multiplie les dérivées temporelles par le champ pour obtenir la dérivée d'un carré et on utilise
→
− →
−
→
− −→→
−
−
−→→
div A ∧ B = B .rot A − A.rot B
→
−
→
− −
→
−
−
B ∂B
B →→
∂
1
2
.
=
−
.
rot
E
=
B
µ0 ∂t
µ0
∂t 2µ0
−
−
→
− →
−
→
− →
−→ →
0 E . ∂∂tE = rot µB0 − j . E =
→
−
− ∂ 1
→
− →
1
2
2
= − j .E
soit div Π + ∂t
2 0 E + 2µ0 B
7. Les équations de Maxwell montrent l'existence de potentiels :
1
∂
∂t
1
2
2 0 E
→
−
→
−
−
−→→
• A , potentiel vecteur tel que B = rot A .
−−→
→
−
• V , potentiel électrique, tel que E = −gradV −
→
−
∂A
∂t
.
(→
−
→
− −−→
A → A + gradχ
Ces potentiels sont dénis à un choix de jauge près, c'est-à-dire que tout changement
V → V − ∂χ
∂t
laisse les champs physiques invariants.
8. Les équations de Maxwell assurent la conservation de la charge électrique
∂ρ
∂t
→
−→ →
−
− →
−
= div 0 ∂∂tE = div rot µB0 − div j
−→
et comme div rot = 0, on obtient
∂ρ
∂t
→
−
+ div j = 0
Expressions des termes de source
Dans un métal
• il existe des charges libres et on exprime la densité de courant par
→
−
v→
j = Σtype n∗α qα −
α
où n∗α est la densité volumique des porteurs de charge de type α (= électron, proton, ...), qα
leur charge et −
v→
α leur vitesse.
De manière plus générale, on utilise la loi d'Ohm locale (obtenue par exemple en appliquant
le principe fondamental de la dynamique aux porteurs de charge)
→
−
→
−
j = γE
• il n'y a pas de densité volumique de charge
Dans un milieu diélectrique (isolant)
→
−
• les électrons sont liés aux atomes et on introduit la densité de polarisation P =
−
d→
p
dτ
. Dans un
milieu linéaire, on relie cette densité de polarisation aux champs appliqués par la susceptibilité
du milieu
→
−
→
−
P = 0 [χ] E
• La densité de polarisation génère des charges et des courants
→
−
ρ = −div P
→
−
j =
Ondes planes progressive sinusoïdales
→
−
−
→
→
−
∂P
∂t
→
−
→
−
−
On se place dans le cas où on cherche les solutions sous la forme E = E0 cos ωt − k .→
r + φ soit E =
−
→ i
E0 e
→
− −
r +φ
ωt− k .→
en notation complexe.
→
−
→
−
On a alors ∇ = −j k et
∂
∂t
= jω .
−
→
→
− →
−
ATTENTION: les signes sont ici aaires de convention. On aurait pu prendre E0 ei −ωt+ k . r +φ , auquel cas
→
−
→
−
∂
∇ = +j k et ∂t
= −jω .
IL FAUT CHOISIR LE SIGNE DU TERME TEMPOREL ET NE PAS EN CHANGER POUR
TOUT LE PROBLEME.
Les équations de Maxwell donnent alors la structure de l'onde :
2
Daniel Suchet
→
− →
→
−
−
→
−
MG ⇔ k .E = 0 ⇔ k ⊥ E
→
−
MF ⇔ B =
→
− →
−
k ∧E
ω
=
→
−
→
−
u ∧E
c
→
− →
→
−
−
→
−
Mφ ⇔ k .B = 0 ⇔ k ⊥ B
Elles donnent également la relation de dispersion : f (k) = g(w). Pour une onde dans le vide, k2 =
dit qu'un milieu est non dispersif si k est proportionnel à ω .
3
ω2
c2
. On
Daniel Suchet
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