Les systèmes d`unités du champ électromagnétique

Les systèmes d’unités du champ électromagnétique
C. LONGUEMARE - séminaire d’analyse ∗
13 novembre 2007
-
Version 13/02/2008
Abstract
Ces notes accompagnent un travail sur l’électromagnétisme de Maxwell et les monopoles,
elles ont été rédigées au département de mathématiques de l’U-Caen à la demande de Jean
Parizet.
∗UNIVERSITE DE CAEN année 2007-2008
1

SOMMAIRE 2
Sommaire
1 Les équations classiques dans tout sytsème d’unités 3
1.1 Leschargesélectriques ................................. 3
1.2 Les équations du champ électromagnétique induit par les charges . . . . . . . . . 3
1.3 Les interactions des charges et du champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 L’énergie associée au champ électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Les potentiels et la propagation des potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Le langrangien du champ électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.7 Lessolutionsstatiques: ................................ 4
2 Les choix possibles 5
2.1 Lesystèmeinternational ................................ 5
2.2 LesystèmedeGauss .................................. 5
2.3 Le système de Gauss des hautes énergies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Les monopoles magnétiques 7
3.1 Les équations avec des monopoles... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Le lagrangien avec des monopoles... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 LES ÉQUATIONS CLASSIQUES DANS TOUT SYTSÈME D’UNITÉS 3
1 Les équations classiques dans tout sytsème d’unités
1.1 Les charges électriques
Le courant de charge qui est la source du champ est noté :
jµ= (ρ,⃗ j)avec ⃗ j=ρ ⃗v et µ = 0,1,2,3
1.2 Les équations du champ électromagnétique induit par les charges
div(D) = ρ
rot(H) = K−1(⃗ j+∂D
∂t )}
div(B)=0
rot(E) = − K−1∂B
∂t
avec
⃗
D=ϵ0⃗ E+⃗ P
⃗
B=µ0{⃗ H+I}
Avec dans la matière on tient compte de la polarisation Pet de l’aimantation Icar la matière
contient des charges électriques atomiques. Polarisation et aimantation ont des actions de "défor-
mation" du champ électromagnétique par exemple l’aimantation induit le champ magnétique au
voisinage d’un aimant.
Dans le vide classique , ces vecteurs sont nuls et l’on a :
P= 0 I= 0
1.3 Les interactions des charges et du champ
La force de Lorentz s’écrit ⃗
FLorentz =q⃗ E+K−1q⃗v ∧⃗ B
La densité de force : ⃗
FLorentz =ρ⃗ E+K−1⃗ j∧⃗ B
1.4 L’énergie associée au champ électromagnétique
La Densité d’énergie et le vecteur de Poynting ou courant d’énergie électromagnétique (propagation
des ondes ...) :
ω=1
2(⃗
D. ⃗ E+⃗ H. ⃗ B)
⃗
P=K(⃗ E∧⃗ H)

1 LES ÉQUATIONS CLASSIQUES DANS TOUT SYTSÈME D’UNITÉS 4
1.5 Les potentiels et la propagation des potentiels
Définition des potentiels
⃗
E=−grad(V)− K−1∂⃗
A
∂t ⃗
B=rot(⃗ A)
La condition de Lorentz
div(⃗ A) + ϵ0µ0
K
∂V
∂t = 0
Les potentiels retardés de Liénard.
∆V−ϵ0µ0
K2
∂2V
∂t2=−ρ ϵ0
∆⃗ A−ϵ0µ0
K2
∂2⃗ A
∂t2=−µ0⃗
j
K
La vitesse de propagation
c2=K2
ϵ0µ0
1.6 Le langrangien du champ électromagnétique
La densité hamiltonienne H
H=1
2µ0
(K2
c2⃗
E2+⃗ B2)
La densité lagrangienne L
L=1
2µ0
(K2
c2⃗
E2−⃗ B2)
1.7 Les solutions statiques :
V0∼∫ρ
4πϵ0rd3x
⃗
A0∼∫µ0⃗
j
4πKrd3x
La constante de structure fine αsans dimension s’écrit :
α=e2
4πϵ0ℏc∼1 137,0
où eest la charge élémentaire de l’électron.

2 LES CHOIX POSSIBLES 5
2 Les choix possibles
En résumé voir la table ci dessous.
SI Gauss HE physics
µ0 4π10−74π1
K1 c 1
ϵ−1
04π c210−74π1
c299,792458 106m/s 299,792458 108cm/s 1
ℏ1.0546 10−34 J.s 1.0546 10−27 erg.s 1
Energie Joule erg MeV
2.1 Le système international
Le système international des unités qui conduit à l’unité de charge appelée coulomb impose les
valeurs de µ0,Ket c:
µ0= 4π10−7et K= 1
c= 299,792458 106m/s exact
L’ampère est le coulomb par seconde, de plus
c−2=ϵ0µ0
{4π ϵ0}−1=c210−7= 9, ..109
En conséquence la force qui s’exerce entre deux charges de 1 coulomb à 1 m de distance est de
9, ..9,109newtons (9,81 newtons est le poids d’un kg).
Dans le vide les équations de Maxwell s’écrivent (⃗ P=⃗ I= 0)
div(E) = ρ
ϵ0
rot(B) = µ0j+ϵ0µ0
∂E
∂t
div(B) = 0
rot(E) = −∂B
∂t
2.2 Le système de Gauss
Le système de Gauss impose les valeurs de µ0,Ket c:
µ0= 4πet K=c
c= 299,79... 106m/s
ϵ0µ0= 1 ⇒ϵ−1
0= 4π
L’énergie électrostatique s’écrit :
U=qq′
r