Les systèmes d’unités du champ électromagnétique C. LONGUEMARE - séminaire d’analyse ∗ 13 novembre 2007 Version 13/02/2008 Abstract Ces notes accompagnent un travail sur l’électromagnétisme de Maxwell et les monopoles, elles ont été rédigées au département de mathématiques de l’U-Caen à la demande de Jean Parizet. ∗ UNIVERSITE DE CAEN année 2007-2008 1 SOMMAIRE 2 Sommaire 1 Les équations classiques dans tout sytsème d’unités 1.1 Les charges électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Les équations du champ électromagnétique induit par les charges 1.3 Les interactions des charges et du champ . . . . . . . . . . . . . . 1.4 L’énergie associée au champ électromagnétique . . . . . . . . . . . 1.5 Les potentiels et la propagation des potentiels . . . . . . . . . . . 1.6 Le langrangien du champ électromagnétique . . . . . . . . . . . . 1.7 Les solutions statiques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 3 3 4 4 4 2 Les choix possibles 2.1 Le système international . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Le système de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Le système de Gauss des hautes énergies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 5 6 3 Les monopoles magnétiques 3.1 Les équations avec des monopoles... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Le lagrangien avec des monopoles... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 LES ÉQUATIONS CLASSIQUES DANS TOUT SYTSÈME D’UNITÉS 1 Les équations classiques dans tout sytsème d’unités 1.1 Les charges électriques 3 Le courant de charge qui est la source du champ est noté : j µ = (ρ, ⃗j) avec ⃗j = ρ ⃗v et µ = 0, 1, 2, 3 1.2 Les équations du champ électromagnétique induit par les charges div(D) = ρ ∂D rot(H) = K−1 (⃗j + )} ∂t div(B) = 0 ∂B rot(E) = − K−1 ∂t avec ⃗ = ϵ0 E ⃗ + P ⃗ D ⃗ = µ0 {H ⃗ + I} B Avec dans la matière on tient compte de la polarisation P et de l’aimantation I car la matière contient des charges électriques atomiques. Polarisation et aimantation ont des actions de "déformation" du champ électromagnétique par exemple l’aimantation induit le champ magnétique au voisinage d’un aimant. Dans le vide classique , ces vecteurs sont nuls et l’on a : P = 0 1.3 Les interactions des charges et du champ La force de Lorentz s’écrit La densité de force : 1.4 I = 0 ⃗ + K−1 q⃗v ∧ B ⃗ F⃗Lorentz = q E ⃗ Lorentz = ρE ⃗ + K−1⃗j ∧ B ⃗ F L’énergie associée au champ électromagnétique La Densité d’énergie et le vecteur de Poynting ou courant d’énergie électromagnétique (propagation des ondes ...) : ω = 1 ⃗ ⃗ ⃗ B) ⃗ (D.E + H. 2 ⃗ = K(E ⃗ ∧ H) ⃗ P 1 LES ÉQUATIONS CLASSIQUES DANS TOUT SYTSÈME D’UNITÉS 1.5 Les potentiels et la propagation des potentiels Définition des potentiels ⃗ ⃗ = −grad(V ) − K−1 ∂ A E ∂t ⃗ = rot(A) ⃗ B La condition de Lorentz ⃗ + div(A) ϵ0 µ0 ∂V = 0 K ∂t Les potentiels retardés de Liénard. ϵ0 µ0 ∂ 2 V ρ = − K2 ∂t2 ϵ0 2⃗ ⃗ ⃗ − ϵ0 µ0 ∂ A = − µ0 j ∆A K2 ∂t2 K ∆V − La vitesse de propagation c2 = 1.6 K2 ϵ0 µ0 Le langrangien du champ électromagnétique La densité hamiltonienne H H = 1 K2 ⃗ 2 ⃗ 2 ( E +B ) 2µ0 c2 L = 1 K2 ⃗ 2 ⃗ 2 ( E −B ) 2µ0 c2 La densité lagrangienne L 1.7 Les solutions statiques : ∫ ρ d3 x 4πϵ0 r ∫ µ0⃗j 3 ⃗ A0 ∼ dx 4πKr V0 ∼ La constante de structure fine α sans dimension s’écrit : α= e2 1 ∼ 4πϵ0 ℏc 137, 0 où e est la charge élémentaire de l’électron. 4 2 2 LES CHOIX POSSIBLES 5 Les choix possibles En résumé voir la table ci dessous. µ0 K ϵ−1 0 c ℏ Energie 2.1 SI Gauss HE physics −7 4π 10 4π 1 1 c 1 2 −7 4π c 10 4π 1 6 8 299, 792458 10 m/s 299, 792458 10 cm/s 1 −34 −27 1.0546 10 J.s 1.0546 10 erg.s 1 Joule erg MeV Le système international Le système international des unités qui conduit à l’unité de charge appelée coulomb impose les valeurs de µ0 , K et c : µ0 = 4π 10−7 et K = 1 6 c = 299, 792458 10 m/s exact L’ampère est le coulomb par seconde, de plus {4π ϵ0 }−1 c−2 = ϵ0 µ0 = c2 10−7 = 9, ..109 En conséquence la force qui s’exerce entre deux charges de 1 coulomb à 1 m de distance est de 9, ..9, 109 newtons (9,81 newtons est le poids d’un kg). Dans le vide les équations de Maxwell s’écrivent (P⃗ = I⃗ = 0) ρ ϵ0 ∂E rot(B) = µ0 j + ϵ0 µ0 ∂t div(B) = 0 ∂B rot(E) = − ∂t div(E) = 2.2 Le système de Gauss Le système de Gauss impose les valeurs de µ0 , K et c : µ0 = 4π et K = c c = 299, 79... 106 m/s ϵ0 µ0 = 1 ⇒ ϵ−1 = 4π 0 L’énergie électrostatique s’écrit : qq ′ U = r 2 LES CHOIX POSSIBLES 6 La force qui agit entre deux charges unité du système de Gauss √ situées à 1m l’une de l’autre est de 1 newton. Donc dans ce système l’unité de charge vaut c−1 107 coulombs. Dans le vide les équations de Maxwell s’écrivent avec x0 = ct : div(E) = 4π rot(B) = j + c div(B) 4πρ ∂E ∂x0 = 0 ∂B rot(E) = − ∂x0 2.3 Le système de Gauss des hautes énergies Le système utilisé par les physiciens des particules impose deux conditions supplémentaires ce qui permet d’exprimer toute grandeur physique dans une seule unité d’énergie dérivée de l’électronvolt. On peut encore simplifier c’est le système de la microphysique en particulier celui utilisé en physique des hautes énergies. Les grandeurs physiques s’expriment comme des puissances de l’énergie, éventuellement la puissance 0 : ℏ = 1. µ0 = 1 c = 1. K = 1. ϵ0 = 1. Le potentiel coulombien statique entre deux charges e et e’ s’écrit : U = ee′ 4πr enfin les charges, les vitesses sont sans dimension et les champs E et B sont des forces. les vitesses sont des fractions de la vitesse de la lumière et la charge élémentaire e vaut e= √ 4πα avec α = 1 137, 0... Dans ce système, longueurs, temps et masses s’expriment en termes d’énergie comme l’indique le tableau ci-dessous m sec−1 kg 197.326 10−15 MeV−1 6, 582118 10−22 MeV 0.560959 1030 MeV Dans le vide les équations de Maxwell s’écrivent : div(E) = ρ ∂E rot(B) = j + ∂t div(B) = 0 ∂B rot(E) = − ∂t 3 LES MONOPOLES MAGNÉTIQUES 3 3.1 7 Les monopoles magnétiques Les équations avec des monopoles... Quand le vide comporte aussi des monopoles magnétiques en mouvement, les équations de Maxwell deviennent µ jm = (ρm , ⃗jm ) avec ⃗jm = ρm ⃗v et µ = 0, 1, 2, 3 div(D) = ρ ∂D rot(H) = K−1 (j + ) ∂t div(B) = ρm ∂B rot(E) = − K−1 (jm + ) ∂t La force de Lorentz par unité de volume s’écrit (à voir) : ⃗ + K−1⃗j ∧ B ⃗ + ρm B ⃗ − K−1⃗jm ∧ D ⃗ f⃗ = ρE Le passage de l’électrique au magnétique se fait de la manière suivante : avec ϵ0 = µ0 = 1 E 0 B −1 ρ ⇒ 0 ρm 0 1 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 1 0 E B B −E = ρm ρ ρm −ρ Dans cette transformation, l’électrique et le magnétique s’échangent f⃗e ↔ f⃗m 3.2 à voir Le lagrangien avec des monopoles...