Résumé du chapitre 2: vecteur vitesse, vecteur accélération

CINEMATIQUE
POSITION – VECTEUR VITESSE – VECTEUR ACCELERATION
La position du point mobile est définie par :
Les coordonnées paramétriques du point M :
r
r
r
OM = x(t) i + y(t) j + z(t)k
Position du point mobile M
L’abscisse curviligne du point M :
AM = s
On exprime à chaque instant les coordonnées du Si on connaît la trajectoire, on peut choisir :
point M. Ceci revient aussi à donner les
- une origine fixe (point A) qui est le
composantes du vecteur position OM dans un
point à partir duquel seront mesurées
repère de référence R.
les distances (espace parcouru).
r
r
r
un
sens positif
OM = x(t) i + y(t) j + z(t)k
x(t) , y(t) , z(t) sont des fonctions du temps.
La valeur algébrique de la longueur de l’arc
orienté AM est appelée abscisse curviligne.
Il est noté s(t). « s » est une fonction du
y
temps.
M
y
y(t) OM
r
j
O r
i
AM = s
x
x(t)
+
M
y
A
y
Longueur de AM = s(t)
A
Vecteur vitesse du point M
Pour obtenir les composantes du vecteur vitesse de M, on
dérive les composantes de son vecteur position
VM / R =
Vecteur accélération du point M
d OM d x(t) r d y(t) r d z(t) r
=
i+
j+
k
dt
dt
dt
dt
Pour obtenir les composantes du vecteur accélération de M,
on dérive les composantes de son vecteur vitesse
a M /R =
2
d VM /R d OM
=
dt
dt 2
2
a M /R
d x(t) r d 2 y(t) r d 2 z(t) r
=
i+
j+
k
dt 2
dt 2
dt 2
M
Pour obtenir la vitesse de M, on dérive l’abscisse
curviligne s(t).
Pour obtenir le vecteur vitesse, on multiplie cette
r
dérivée par un vecteur unitaire T tangent à la
trajectoire du point M en M.
VM / R =
ds r
.T
dt
Pour obtenir l’accélération de M, on dérive
VM / R =
ds r
.T .
dt
On obtient :
a M /R =
r
v2
d v M /R r
T + M /R N
dt
ρ
Dans cette expression :
a TM / R =
d vM / R
est la valeur algébrique de
dt
l’accélération tangentielle
a NM / R =
aM/R
v 2M / R
ρ
est la valeur algébrique de
l’accélération normale
a NM / R
•
vM/R = vitesse algébrique du point M dans le
repère R (en m/s)
•
r
N
r
T
a TM / R
ρ est le rayon de courbure :
Une trajectoire peut être décomposée en une
succession d’arcs de cercle. Chaque arc à un centre et
un rayon ρ qui lui est propre.
Si la trajectoire est circulaire, ρ est égal au rayon R de
cette trajectoire.