Résumé du chapitre 2: vecteur vitesse, vecteur accélération

CINEMATIQUE
POSITION – VECTEUR VITESSE – VECTEUR ACCELERATION
La position du point mobile est définie par :
Les coordonnées paramétriques du point M :
k)t(zj)t(yi)t(xOM
r
r
r
++=
L’abscisse curviligne du point M :
AM = s
Position du point mobile M On exprime à chaque instant les coordonnées du
point M. Ceci revient aussi à donner les
composantes du vecteur position OM dans un
repère de référence R.
k)t(zj)t(yi)t(xOM
r
r
r
++=
x(t) , y(t) , z(t) sont des fonctions du temps.
Si on connaît la trajectoire, on peut choisir :
- une origine fixe (point A) qui est le
point à partir duquel seront mesurées
les distances (espace parcouru).
- un sens positif
La valeur algébrique de la longueur de l’arc
orienté AM est appelée abscisse curviligne.
Il est noté s(t). « s » est une fonction du
temps.
Vecteur vitesse du point M Pour obtenir les composantes du vecteur vitesse de M, on
dérive les composantes de son vecteur position
k
dt
)t(zd
j
dt
)t(yd
i
dt
)t(xd
dt
OMd
VR/M
r
r
r
++==
Pour obtenir la vitesse de M, on dérive l’abscisse
curviligne s(t).
Pour obtenir le vecteur vitesse, on multiplie cette
dérivée par un vecteur unitaire T
r
tangent à la
trajectoire du point M en M.
T.
dt
sd
VR/M
r
=
Vecteur accélération du point M Pour obtenir les composantes du vecteur accélération de M,
on dérive les composantes de son vecteur vitesse
2
2
R/M
R/M dt
OMd
dt
Vd
a==
k
dt
)t(zd
j
dt
)t(yd
i
dt
)t(xd
a2
2
2
2
2
2
R/M
r
rr
++=
Pour obtenir l’accélération de M, on dérive
T.
dt
sd
VR/M
r
=.
On obtient : N
v
T
dt
vd
a
2
R/MR/M
R/M
rr
ρ
+=
Dans cette expression :
dt
vd
aR/M
TR/M = est la valeur algébrique de
l’accélération tangentielle
ρ
=
2
R/M
N
v
aR/M est la valeur algébrique de
l’accélération normale
• vM/R = vitesse algébrique du point M dans le
repère R (en m/s)
• ρ est le rayon de courbure :
Une trajectoire peut être décomposée en une
succession d’arcs de cercle. Chaque arc à un centre et
un rayon ρ qui lui est propre.
Si la trajectoire est circulaire, ρ est égal au rayon R de
cette trajectoire.
i
r
jx(t)
OM
O
M
y
y
x
r
y(t)
+
A
y
M
y
AM = s
M
Longueur de AM = s(t)
A
R/M
T
a
R/M
N
a
N
r
T
r
aM/R