Intégrale de Fresnel

Un calcul de l’intégrale de Fresnel
Pierron Théo
27 décembre 2013
Lemme 1 Formule de la moyenne
Soit f: [a, b]→Rpositive décroissante C1et g: [a, b]→Rcontinue. Alors il existe c∈[a, b] tel
que Zb
a
f(t)g(t) dt=f(a)Zc
a
g(t) dt
Lemme 2 Abel
Soit f: [a, b[→RC1et g: [a, b[→Rcontinue telles que
•fest décroissante et converge vers 0 en b
•Il existe M > 0 tel que pour tout x∈[a, b[, |Rx
ag(t) dt|6M.
Alors Rb
af(t)g(t) dtest convergente.
Lemme 3
Γ(1
2) = √π.
Théorème 1 R∞
0eix2dx=√π
2eiπ
4.
Démonstration.
1. Soit α∈]0,1[. On définit
I:(R+→R
x7→ R∞
0e−teixttα−1dt
L’intégrande f(x, t) est majoré en module par e−ttα−1qui est intégrable en +∞car l’ex-
ponentielle l’emporte et en 0 car α > 0. Ainsi, Iest bien défini.
On a de plus f∈C1et 
∂f
∂x (x, t)6e−ttα∈L1(R+)
Donc par le théorème de dérivation sous l’intégrale, Iest C1et
I′(x) = iZ∞
0
e(ix−1)ttαdt
Par IPP, on a de plus
I(x) = e−teixt tα
α∞
0−Z∞
0
tα
αe−teixt(ix −1) dt=1−ix αZ∞
0
tαe−teixt dt=−i+x
αI′(x)
Donc, Iest solution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1. Pour trouver l’expres-
sion de I, il suffit alors de calculer une primitive :
Z1
x+idx=Zx−i x2+ 1 dx=ln(x2+ 1) 2−iarctan(x) + C
Donc I(x) = C(x2+ 1)−α
2eiα arctan(x)avec C∈R. Or
C=I(0) = Z∞
0
tα−1e−tdt= Γ(α)
Donc I(x) = Γ(α)(x2+ 1)−α
2eiα arctan(x).
1

2. Soit e I:y7→ R∞
0e−uyeiuuα−1du. On a pour x6= 0, xαI(x) = e
I(1
x).
Pour y6= 0, e I(y) est bien défini en +∞car l’exponentielle l’emporte et en 0 car α > 0.
e
I(0) est aussi bien défini par le lemme d’Abel. Par la formule de la moyenne, pour tout
n, y et X > n, il existe a, b tel que
ZX
n
e−uyeiuuα−1du= e−ny Za
n
cos(u)uα−1du+Zb
n
sin(u)uα−1du!
Posons alors e In:y7→ Rn
1
n
e−uyeiuuα−1du. On a
|e In(y)−e I(y)|=Z1
n
0
e−uyeiuuα−1du+Z∞
n
e−uyeiuuα−1du
6Z1
n
0
uα−1du+ sup
t>nZt
n
cos(u)uα−1du+ sup
t6nZb
n
sin(u)uα−1du
Les sups sont bien définis car par IPP :
Zt
n
uα−1sin(u) du= [−uα−1cos(u)]t
n+Zt
n
(α−1)uα−2cos(u) du
Donc
Zt
n
uα−1sin(u) du6tα−1+nα−1+Zt
n|(α−1)uα−2cos(u)|du
62nα−1+Z∞
n|(α−1)uα−2cos(u)|du < ∞
Donc le sup est bien défini et on a de plus
lim
n→+∞|e
In(y)−e I(y)|= 0
Donc e Inconverge uniformément vers e I. Les e Inétant des intégrales de fonctions continues
sur des domaines compacts, ce sont des fonctions continues, donc e Iest finalement continue.
3. En particulier, elle est continue en 0 et on a :
Z∞
0
tα−1eit dt=e I(0) = lim
x→0e
I(x) = lim
x→∞ xαI(x) = Γ(α)eiα π
2
Pour α=1
2, avec le changement de variables t=u2, on a
Z∞
0
eiu2du=1
2Z∞
0
eit
√tdt=√π
2eiα π
2
par le dernier lemme.
2