Intégrale de Fresnel

Un calcul de l’intégrale de Fresnel
Pierron Théo
27 décembre 2013
Lemme 1 Formule de la moyenne
Soit f : [a, b] → R positive décroissante C 1 et g : [a, b] → R continue. Alors il existe c ∈ [a, b] tel
que
Z
b
f (t)g(t) dt = f (a)
Z
c
g(t) dt
a
a
Lemme 2 Abel
Soit f : [a, b[→ R C 1 et g : [a, b[→ R continue telles que
• f est décroissante et converge vers 0 en b
R
• Il existe M > 0 tel que pour tout x ∈ [a, b[, | ax g(t) dt| 6 M .
R
Alors ab f (t)g(t) dt est convergente.
Lemme 3
√
Γ( 12 ) = π.
R∞
Théorème 1
0
2
eix dx =
√
π i π4
2 e .
Démonstration.
1. Soit α ∈]0, 1[. On définit
I :
(
R+
x
→
7
→
R
R∞
0
e−t eixt tα−1 dt
L’intégrande f (x, t) est majoré en module par e−t tα−1 qui est intégrable en +∞ car l’exponentielle l’emporte et en 0 car α > 0. Ainsi, I est bien défini.
On a de plus f ∈ C 1 et
∂f
6 e−t tα ∈ L1 (R+ )
(x,
t)
∂x
Donc par le théorème de dérivation sous l’intégrale, I est C 1 et
I ′ (x) = i
Par IPP, on a de plus
I(x) = e−t eixt
tα
α
∞
0
−
Z
0
∞ tα
α
Z
∞
e(ix−1)t tα dt
0
e−t eixt (ix − 1) dt =
1 − ix
α
Z
∞
0
tα e−t eixt dt = −
i+x ′
I (x)
α
Donc, I est solution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1. Pour trouver l’expression de I, il suffit alors de calculer une primitive :
Z
1
dx =
x+i
α
Z
x−i
ln(x2 + 1)
dx
=
− i arctan(x) + C
x2 + 1
2
Donc I(x) = C(x2 + 1)− 2 eiα arctan(x) avec C ∈ R. Or
C = I(0) =
Z
∞
0
Donc I(x) =
Γ(α)(x2
+
α
1)− 2 eiα arctan(x) .
1
tα−1 e−t dt = Γ(α)
R
e 1 ).
2. Soit Ie : y 7→ 0∞ e−uy eiu uα−1 du. On a pour x 6= 0, xα I(x) = I(
x
e
Pour y 6= 0, I(y)
est bien défini en +∞ car l’exponentielle l’emporte et en 0 car α > 0.
e
I(0) est aussi bien défini par le lemme d’Abel. Par la formule de la moyenne, pour tout
n, y et X > n, il existe a, b tel que
Z
X
−uy iu α−1
e
Z
−ny
e u
du = e
a
cos(u)u
α−1
du +
b
α−1
sin(u)u
du
n
n
n
Z
!
R
Posons alors Ien : y 7→ 1n e−uy eiu uα−1 du. On a
n
Z 1
Z ∞
n
−uy iu α−1
−uy iu α−1
e
e
e
e u
du
e
e u
du +
|In (y) − I(y)| = 0
n
Z
Z t
Z 1
n
α−1
α−1
u
du + sup cos(u)u
du + sup 6
0
n
t>n
t6n
b
sin(u)u
n
Les sups sont bien définis car par IPP :
Z
t
α−1
u
sin(u) du = [−u
α−1
n
cos(u)]tn
+
Z
t
n
α−1
du
(α − 1)uα−2 cos(u) du
Donc
Z t
Z t
α−1
α−1
α−1
|(α − 1)uα−2 cos(u)| du
+n
+
u
sin(u) du 6 t
n
n
Z ∞
6 2nα−1 +
n
|(α − 1)uα−2 cos(u)| du < ∞
Donc le sup est bien défini et on a de plus
e
lim |Ien (y) − I(y)|
=0
n→+∞
e Les Ien étant des intégrales de fonctions continues
Donc Ien converge uniformément vers I.
sur des domaines compacts, ce sont des fonctions continues, donc Ie est finalement continue.
3. En particulier, elle est continue en 0 et on a :
Z
0
∞
π
e
e
= lim xα I(x) = Γ(α)eiα 2
tα−1 eit dt = I(0)
= lim I(x)
x→∞
x→0
Pour α = 12 , avec le changement de variables t = u2 , on a
Z
0
∞
iu2
e
1
du =
2
Z
par le dernier lemme.
2
0
∞
√
eit
π iα π
√ dt =
e 2
2
t