Étude du degré des représentations irréductibles

Le degré d’une représentation irréductible divise
l’ordre du groupe
Tristan Vaccon
24 septembre 2012
Soit Gun sous-groupe fini, ρune représentation irréductible de Gdans V. Soit
dson degré.
On va montrer que |G|
dest un entier algébrique. Comme c’est aussi un rationnel,
il sera donc un entier, et on aura le résultat.
On admet tout d’abord les deux lemmes suivants :
Lemme 1. Soit a∈C. Alors on a équivalence entre les propositions suivantes :
–aest un entier algébrique (Z[a]est un Z-module de type fini) ;
–aest racine d’un P∈Z[X]unitaire ;
– il existe A⊂Cun sous-anneau de Ctel que Aest un Z-module de type fini
et a∈A.
Lemme 2. L’ensemble des entiers algébriques est un sous-anneau de Cet son
intersection avec Qest Z.
Soit Kune classe de conjugaison de G.
Lemme 3. f:= Pg∈Kρ(g)∈GL(V)est une homothétie de rapport r(ρ, K) =
|K|
dχρ(K)où χρ(K)est la valeur de χρsur K.
Démonstration. On va appliquer le lemme de Schur : on montre que fest un
G-morphisme entre (V, ρ)et (V, ρ).
Si h∈G, alors
ρ(h)◦f◦ρ(h−1) = X
g∈K
ρ(hgh−1) = X
g0∈K
ρ(g) = f.
Par le lemme de Schur, (V, ρ)étant par définition irréductible, fest une ho-
mothétie de rapport :
r(ρ, K) = tr(f)
d=1 dX
g∈K
tr(ρ(g)) = |K|χρ(K).
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Lemme 4. Montrons que |G|
d=PKr(ρ, K)χρ(K), somme sur les classes de conju-
gaison de G.
Démonstration. Avec ce qui précéde, χ(K)χ(K−1) = d
|K|r(ρ, K)χ(K−1).
Comme ρest irréductible, 1
|G|Pg∈Gχ(g)χ(g−1) = 1 (orthonormalité des carac-
tères, et χ(g−1) = χ(g), comme somme de racines |G|-ème de l’unité).
Donc,
|G|=X
KX g∈K
d
|K|r(ρ, K)χ(K−1)
et on en déduit :
|G|=dX
K
r(ρ, K)χ(K−1)
Lemme 5. Soit K,K0,K00 trois classes de conjugaison de Get x∈K00. On
définit A(K, K0, x) := {(k1, k2)∈K×K0x=k1k2}, et on note a(K, K0, x) =
card(A(K, K0, x)). Alors a(K, K0, x)est constante sur K00, on notera cette valeur
a(K, K0, K00)
Démonstration. Si K00 ∩KK06=∅, alors il existe x∈K00 ∩KK0,x=k1k2,k1∈K,
k2∈K0, et par conjugaison K00 ={yxy−1, y ∈G}={yk1y−1yk2y−1, y ∈G} ⊂
KK0.
Soit x, y ∈K00. Par définition de K00, il existe u∈Gtel que y=uxu−1. Alors
A(K, K0, x)→A(K, K0, y), définie par (k1, k2)7→ (uk1u−1, uk2u−1)est clairement
une bijection, et on a donc a(K, K0, x) = a(K, K0, y).
Sinon, on a K00 ∩KK0=∅et a(K, K0, K00) = 0.
Lemme 6. On a :
r(ρ, K)r(ρ, K0) = X
K00
a(K, K0, K00)r(ρ, K00),
avec la somme prise sur les classes de conjugaison K00 de G.
Démonstration. Avec le troisième lemme,
r(ρ, K)r(ρ, K0)IdV=
X
g∈K
ρ(g)
X
g0∈K0
ρ(g0)
=X
(g,h)∈K×K0
ρ(gh) = X
u∈K00
a(K, K0, K00)X
u∈K00
ρ(u)
= (X
K00
a(K, K0, K00)r(ρ, K00))IdV
.
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On peut maintenant conclure. Tout d’abord, si A=PKr(ρ, K)Z, alors Aest
stable par multiplication avec le lemme précédent, donc est un sous-anneau de C.
Il est de type fini sur Zcar finiment engendré (Gest un groupe fini, il n’a qu’un
nombre fini de classes de conjugaisons). Aest donc un anneau d’entiers algébriques.
Ainsi, on a vu que |G|
d=PKr(ρ, K)χρ(K). Or les r(ρ, K)sont des entiers
algébriques, puisque dans A, et les χρ(K)en sont aussi, puisque somme de racines
|G|-ème de l’unité.
On a donc |G|
dentier algébrique et, par définition, rationnel. |G| dest donc un
entier et ainsi, d| |G|.
Références
[1] Peyré L’algèbre discrète de la transformée de Fourier, p 221 et 290-291.
[2] M.P. Malliavin les groupes finis et leurs représentations complexes, p.
40-44
[3] Jean-Pierre Serre Représentations linéaires des groupes finis, p. 66-67
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