23 Le nombre π

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Le nombre π
C’est une leçon de type « large », c’est-à-dire une leçon de synthèse.
23.1 La fonction exponentielle complexe
Lemme 23.1 Pour tout réel x≥0la série Pxn
n!est convergente.
Théorème 23.1 Pour tout nombre complexe zla série Pzn
n!est convergente.
On note f(z)la somme de cette série pour z∈C.
Théorème 23.2
1. Pour tous nombres complexes λet µon a f(λ)f(µ) = f(λ+µ)avec f(0) = 1.
2. La restriction de fàRcoïncide avec la fonction exponentielle réelle.
Pour cette raison, on note, pour tout nombre complexe z, ezla somme de la série Pzn
n!,ce
qui définit ainsi la fonction exponentielle complexe.
Théorème 23.3
1. Pour tout nombre complexe z, on a ez=ez.
2. Pour tout nombre réel t, on a |eit|= 1.
23.1.1 Les fonctions cosinus et sinus et le nombre π
On définit les fonctions cosinus et sinus par :
∀t∈R,cos (t) = <¡eit¢et sin (t) = =¡eit¢.
Théorème 23.4 Les fonctions cos et sin sont indéfiniment dérivables sur Ravec :
∀t∈R,cos0(t) = −sin (t)et sin0(t) = cos (t).
Lemme 23.2 L’ensemble E={t∈]0,2[ |cos (t) = 0}est non vide et admet une borne infé-
rieure t0∈]1,2[ .
On peut maintenant définir le nombre πpar π= 2t0.
Théorème 23.5 On a :
1. eiπ
2= 1.
2. eiπ =−1.
3. La fonction z7→ ez−1s’annule uniquement sur 2iπZ.
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458 Le nombre π
23.1.2 Le lien avec le nombre πdes géomètres
Théorème 23.6 La fonction t7→ eit réalise une surjection de Rsur le cercle unité du plan
euclidien.
Le cercle unité du plan euclidien peut être paramétré par :
t7→ (cos (t),sin (t))
Théorème 23.7 Le périmètre du cercle unité du plan euclidien vaut 2π.
23.2 La fonction arc-tangente comme primitive de 1
1 + x2
On propose ici une autre présentation du nombre π.
On désigne par fla fonction définie sur Rpar :
∀x∈R, f (x) = Zx
0
dt
1 + t2.
Théorème 23.8
1. La fonction fest impaire, indéfiniment dérivable sur Ret strictement croissante.
2. fest bornée sur R.
On peut définir réel :
`= lim
x→+∞f(x)
et le nombre πpar `=π
2.
Théorème 23.9 fréalise un homéomorphisme de Rsur i−π
2,π 2h.
La fonction fest appelée fonction arc-tangente et notée arctan .
Exercice 23.1 Montrer que arctan (1) = π
4.En déduire des méthodes de calcul approché de π.
Exercice 23.2 Montrer que :
∀x∈R∗,arctan (x) + arctan µ1
x¶=x |x|
π
2.
Exercice 23.3 Montrer que pour tous réels x, y tels que xy 6= 1,on a :
arctan (x) + arctan (y) = 1−xy
|1−xy|arctan µx+y 1−xy ¶
Exercice 23.4 Calculer arctan ¡√3¢et arctan µ1
√3¶.

La fonction arc-tangente comme primitive de 1
1 + x2459
23.2.1 Les fonctions tangente, cosinus et sinus
On définit la fonction tangente sur i−π
2,π 2hcomme la fonction réciproque de la fonction
arc-tangente. Cette fonction est notée tan soit :
³x∈i−π
2,π 2het y= tan (x)´⇔(y∈Ret x= arctan (y))
Cette fonction est prolongée par π-périodicité à R\³π
2+πZ´.
Théorème 23.10 La fonction tan est indéfiniment dérivable et strictement croissante sur
i−π
2,π 2havec :
∀x∈i−π
2,π 2h,tan0(x)+1+tan2(x)
On définit les fonctions cos et sin sur Rpar :
cos (x) = 
1−tan2¡x
2¢
1 + tan2¡x
2¢si x /∈πZ
(−1)ksi x=kπ avec k∈Z
cos (x) = 
2 tan ¡x
2¢
1 + tan2¡x
2¢si x /∈πZ
0si x=kπ avec k∈Z
Théorème 23.11 Les fonctions cos et sin sont 2π-périodiques, indéfiniment dérivables sur R,
la fonction cos étant paire et la fonction sin impaire, avec :
∀t∈R,cos0(t) = −sin (t)et sin0(t) = cos (t).
On a :
∀x∈R,cos2(x) + sin2(x) = 1.
Exercice 23.5 Retrouver les usuelles formules de trigonométrie.
Exercice 23.6 Retrouver les développements en série entière de cos et sin .
23.2.2 Le lien avec le nombre πdes géomètres
Exercice 23.7 Montrer que le cercle unité du plan euclidien peut être paramétré par :
t7→ (cos (t),sin (t))
Exercice 23.8 Montrer que le périmètre du cercle unité du plan euclidien vaut 2π.

460 Le nombre π
23.3 Irrationalité de π2et de π
On désigne par (Un)n∈Nla suite de fonctions polynomiales définie par :
∀n∈N, Un(x) = xn(1 −x)n
n!.
et par (Ln)n∈Nla suite des polynômes de Legendre définie par :
∀n∈N, Ln=U(n)
n.
Lemme 23.3 Pour tout entier naturel n, Lnest une fonction polynomiale à coefficients entiers
relatifs de degré n.
Lemme 23.4 Si (Ik)k∈Nest la suite de réels définie par :
∀k∈N, Ik=Z1
0
sin (πt)tkdt,
alors : 
I0=2
π, I1=1 π,
Ik=1
π−k(k−1) π2Ik−2(k≥2)
et pour tout entier naturel non nul k, il existe un polynôme Qkà coefficients entiers relatif de
degré ·k
2¸tel que Ik=1 πQkµ1 π2¶.
On définit la suite de réels (Rn)n∈Npar :
∀n∈N, Rn=Z1
0
sin (πt)Ln(t)dt.
Lemme 23.5 Pour tout entier naturel non nul n, il existe un polynôme Pnà coefficients entiers
relatifs de degré hn
2itel que :
Rn=1
πPnµ1 π2¶.
Lemme 23.6 Pour tout entier naturel n, R2nest non nul et lim
n→+∞R2n= 0.
Théorème 23.12 π2est irrationnel.
De l’irrationalité de π2on déduit celle de π.

Exemples de séries approximant π461
23.4 Exemples de séries approximant π
Pour chacune des séries de somme égale à π, on note Snla somme partielle d’indice net
Rn=|π−Sn|l’erreur d’indice n.
On a la série de Grégory :
π
4=
+∞
X
n=0
(−1)n
2n+ 1
Cette série converge lentement :
R10 w9.072 3 ×10−2, R100 w9.900 7 ×10−3, R1000 w9.99 ×10−4
Le théorème des séries alternées nous dit que cette erreur est majorée par 4
2n+ 3.
Une formule d’Euler :
π= 2
+∞
X
n=0
2n(n!)2
(2n+ 1)!
On a :
R10 w4.866 3 ×10−4, R100 w−5.048 7 ×10−29
La série de Machin donne une meilleure approximation :
π= 16
+∞
X
n=0
1
52n+1
(−1)n
2n+ 1 −4
+∞
X
n=0
1
2392n+1
(−1)n
2n+ 1
On a :
R5w9.744 8 ×10−10, R10 w5.628 5 ×10−17, R20 w1.514 6 ×10−28
Pour la culture, on a aussi.
La formule de Plouffe qui converge rapidement :
π=
+∞
X
n=0 µ4
8n+ 1 −1 4n+ 2 −1 8n+ 5 −1 8n+ 6¶1 16n
On a :
R5w3.617 1 ×10−10, R10 w1.088 5 ×10−16, R20 w1.009 7 ×10−28
La plus belle formule est celle de Ramanujan :
π=9801
2√2
+∞
P
n=0
(4n)!
(n!)4
1103 + 26390n
3964n
.
Il l’énonça en 1910, mais ne fut démontrée qu’en 1985 par les frères Borwein.
On a :
R2w5.682 5 ×10−24, R3w5.048 7 ×10−29