23 Le nombre π

23
Le nombre π
C’est une leçon de type « large », c’est-à-dire une leçon de synthèse.
23.1
La fonction exponentielle complexe
P xn
est convergente.
n!
P zn
Théorème 23.1 Pour tout nombre complexe z la série
est convergente.
n!
On note f (z) la somme de cette série pour z ∈ C.
Lemme 23.1 Pour tout réel x ≥ 0 la série
Théorème 23.2
1. Pour tous nombres complexes λ et µ on a f (λ) f (µ) = f (λ + µ) avec f (0) = 1.
2. La restriction de f à R coïncide avec la fonction exponentielle réelle.
P zn
Pour cette raison, on note, pour tout nombre complexe z, ez la somme de la série
, ce
n!
qui définit ainsi la fonction exponentielle complexe.
Théorème 23.3
1. Pour tout nombre complexe z, on a ez = ez .
2. Pour tout nombre réel t, on a |eit | = 1.
23.1.1
Les fonctions cosinus et sinus et le nombre π
On définit les fonctions cosinus et sinus par :
¡ ¢
¡ ¢
∀t ∈ R, cos (t) = < eit et sin (t) = = eit .
Théorème 23.4 Les fonctions cos et sin sont indéfiniment dérivables sur R avec :
∀t ∈ R, cos0 (t) = − sin (t) et sin0 (t) = cos (t) .
Lemme 23.2 L’ensemble E = {t ∈ ]0, 2[ | cos (t) = 0} est non vide et admet une borne inférieure t0 ∈ ]1, 2[ .
On peut maintenant définir le nombre π par π = 2t0 .
Théorème 23.5 On a :
π
1. ei 2 = 1.
2. eiπ = −1.
3. La fonction z 7→ ez − 1 s’annule uniquement sur 2iπZ.
457
458
23.1.2
Le nombre π
Le lien avec le nombre π des géomètres
Théorème 23.6 La fonction t 7→ eit réalise une surjection de R sur le cercle unité du plan
euclidien.
Le cercle unité du plan euclidien peut être paramétré par :
t 7→ (cos (t) , sin (t))
Théorème 23.7 Le périmètre du cercle unité du plan euclidien vaut 2π.
23.2
La fonction arc-tangente comme primitive de
1
1 + x2
On propose ici une autre présentation du nombre π.
On désigne par f la fonction définie sur R par :
Z x
dt
∀x ∈ R, f (x) =
.
2
0 1+t
Théorème 23.8
1. La fonction f est impaire, indéfiniment dérivable sur R et strictement croissante.
2. f est bornée sur R.
On peut définir réel :
` = lim f (x)
x→+∞
π
et le nombre π par ` = .
2
i π πh
.
Théorème 23.9 f réalise un homéomorphisme de R sur − ,
2 2
La fonction f est appelée fonction arc-tangente et notée arctan .
Exercice 23.1 Montrer que arctan (1) =
π
. En déduire des méthodes de calcul approché de π.
4
Exercice 23.2 Montrer que :
µ ¶
1
x π
∀x ∈ R , arctan (x) + arctan
.
=
x
|x| 2
∗
Exercice 23.3 Montrer que pour tous réels x, y tels que xy 6= 1, on a :
µ
¶
x+y
1 − xy
arctan
arctan (x) + arctan (y) =
|1 − xy|
1 − xy
µ
¶
¡√ ¢
1
Exercice 23.4 Calculer arctan 3 et arctan √ .
3
La fonction arc-tangente comme primitive de
23.2.1
1
1 + x2
459
Les fonctions tangente, cosinus et sinus
i π πh
On définit la fonction tangente sur − ,
comme la fonction réciproque de la fonction
2 2
arc-tangente. Cette fonction est notée tan soit :
´
³
i π πh
et y = tan (x) ⇔ (y ∈ R et x = arctan (y))
x∈ − ,
2 2
³π
´
Cette fonction est prolongée par π-périodicité à R \
+ πZ .
2
23.10 La fonction tan est indéfiniment dérivable et strictement croissante sur
iThéorème
π πh
− ,
avec :
2 2
i π πh
∀x ∈ − ,
, tan0 (x) + 1 + tan2 (x)
2 2
On définit les fonctions cos et sin sur R par :
¡ ¢

2 x
 1 − tan ¡ 2 ¢ si x ∈
/ πZ
cos (x) =
1 + tan2 x2

(−1)k si x = kπ avec k ∈ Z
¡x¢

 2 tan 2¡ ¢
si x ∈
/ πZ
cos (x) =
1 + tan2 x2

0 si x = kπ avec k ∈ Z
Théorème 23.11 Les fonctions cos et sin sont 2π-périodiques, indéfiniment dérivables sur R,
la fonction cos étant paire et la fonction sin impaire, avec :
∀t ∈ R, cos0 (t) = − sin (t) et sin0 (t) = cos (t) .
On a :
∀x ∈ R, cos2 (x) + sin2 (x) = 1.
Exercice 23.5 Retrouver les usuelles formules de trigonométrie.
Exercice 23.6 Retrouver les développements en série entière de cos et sin .
23.2.2
Le lien avec le nombre π des géomètres
Exercice 23.7 Montrer que le cercle unité du plan euclidien peut être paramétré par :
t 7→ (cos (t) , sin (t))
Exercice 23.8 Montrer que le périmètre du cercle unité du plan euclidien vaut 2π.
460
23.3
Le nombre π
Irrationalité de π 2 et de π
On désigne par (Un )n∈N la suite de fonctions polynomiales définie par :
∀n ∈ N, Un (x) =
xn (1 − x)n
.
n!
et par (Ln )n∈N la suite des polynômes de Legendre définie par :
∀n ∈ N, Ln = Un(n) .
Lemme 23.3 Pour tout entier naturel n, Ln est une fonction polynomiale à coefficients entiers
relatifs de degré n.
Lemme 23.4 Si (Ik )k∈N est la suite de réels définie par :
Z
1
∀k ∈ N, Ik =
sin (πt) tk dt,
0
alors :

2
1

 I0 = , I1 = ,
π
π
1
k
(k
− 1)

 Ik = −
Ik−2 (k ≥ 2)
π
π2
et pour
· tout
¸ entier naturel non
µ nul
¶ k, il existe un polynôme Qk à coefficients entiers relatif de
k
1
1
degré
tel que Ik = Qk
.
2
π
π2
On définit la suite de réels (Rn )n∈N par :
Z
1
∀n ∈ N, Rn =
sin (πt) Ln (t) dt.
0
Lemme 23.5 Pour
h n i tout entier naturel non nul n, il existe un polynôme Pn à coefficients entiers
relatifs de degré
tel que :
2
µ ¶
1
1
Rn = P n
.
π
π2
Lemme 23.6 Pour tout entier naturel n, R2n est non nul et lim R2n = 0.
n→+∞
Théorème 23.12 π 2 est irrationnel.
De l’irrationalité de π 2 on déduit celle de π.
Exemples de séries approximant π
23.4
461
Exemples de séries approximant π
Pour chacune des séries de somme égale à π, on note Sn la somme partielle d’indice n et
Rn = |π − Sn | l’erreur d’indice n.
On a la série de Grégory :
+∞
π X (−1)n
=
4
2n + 1
n=0
Cette série converge lentement :
R10 w 9.072 3 × 10−2 , R100 w 9.900 7 × 10−3 , R1000 w 9.99 × 10−4
Le théorème des séries alternées nous dit que cette erreur est majorée par
Une formule d’Euler :
4
.
2n + 3
+∞
X
2n (n!)2
π=2
(2n + 1)!
n=0
On a :
R10 w 4.866 3 × 10−4 , R100 w −5. 048 7 × 10−29
La série de Machin donne une meilleure approximation :
π = 16
+∞
X
n=0
+∞
X
(−1)n
1
(−1)n
−
4
52n+1 2n + 1
2392n+1 2n + 1
n=0
1
On a :
R5 w 9.744 8 × 10−10 , R10 w 5.628 5 × 10−17 , R20 w 1.514 6 × 10−28
Pour la culture, on a aussi.
La formule de Plouffe qui converge rapidement :
π=
+∞ µ
X
n=0
4
1
1
1
−
−
−
8n + 1 4n + 2 8n + 5 8n + 6
¶
1
16n
On a :
R5 w 3.617 1 × 10−10 , R10 w 1.088 5 × 10−16 , R20 w 1.009 7 × 10−28
La plus belle formule est celle de Ramanujan :
π=
9801
.
√ +∞
P (4n)! 1103 + 26390n
2 2
4
3964n
n=0 (n!)
Il l’énonça en 1910, mais ne fut démontrée qu’en 1985 par les frères Borwein.
On a :
R2 w 5.682 5 × 10−24 , R3 w 5.048 7 × 10−29
462
Le nombre π