Série 13 Fichier

EPFL - Automne 2015
M. Troyanov
Introduction aux variétés diérentiables
Exercices
Série 13
10.12.2015
Exercice 13.1.
Montrer que les
O = R2 \ {(0, x) | x ≤ 0}, c'est-à-dire tout le plan moins
coordonnées polaires (r, θ) ∈ (0, ∞) × (−π, π) dénies par
(
x = r cos(θ) ,
y = r sin(θ) ,
Soit
O.
forment un système de coordonnées bien déni sur
l'axe
Calculer les relations entre
x
(et l'origine).
∂ ∂
∂
∂
∂r , ∂θ et ∂x , ∂y
(dans les deux sens). De plus, calculer le Laplacien dans ce système de coordonnées. On rappelle qu'en
f
coordonnées cartésiennes, le Laplacien d'une fonction
vaut
∂2
∂2
+
∂x2 ∂y 2
i
∂2
+ r12 ∂θ
2 f
∆(f ) =
Solution :
Il faut trouver
Exercice 13.2.
Soit
∆f =
h
ω ∈ Ω2 (R3 )
∂2
∂r2
+
1 ∂
r ∂r
f.
la forme diérentielle dénie par
ω = xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy .
(a) Sur le domaine
R3 \ {(0, 0, z) ∀z ∈ R},
calculer l'expression de
ω
en coordonnées sphériques. On
rappelle que les coordonnées sphériques sont données par
(x, y, z) = (r sin(θ) cos(φ), r sin(θ) sin(φ), r cos(θ)) .
(b) Calculer
dω
en coordonnées cartésiennes et en coordonnées sphériques, et montrer que les deux
résultats sont les mêmes.
(c) Soit
ω̃
ω à la sphère de rayon 1. Calculer sa représentation
(1, θ, φ). Remarquons que ces coordonnées ne sont bien dénies
2
suivant U = S \ {(0, 0, 1), (0, 0, −1)}.
la restriction de
sphériques
sphère
(d) Montrer que
hint :
ω̃
locale en coordonnées
que sur l'ouvert de la
ne s'annule jamais sur la sphère.
Pour calculer la restriction de
ω
à
Sn,
se rappeler que cette restriction est donnée par
ω̃ ≡ i? (ω) ,
où
i : S 2 → R3
est l'inclusion.
Exercice 13.3.
de degré 1 sur
Soient
M.
c : [a, b] → M
une courbe lisse dans une variété
M
et
α une forme diérentielle
On pose
Z
Z
α=
c
∗
Z
c α=
[a,b]
b
αc(t) (c0 (t))dt
a
l'intégrale curviligne de α le long de c.
(a) Supposons que la forme
α soit exacte (donc il existe f ∈ C ∞ (M ) telle que α = df ). Que vaut
R
cα?
(b) En particulier, que peut-on dire de l'intégrale curviligne d'une forme exacte le long d'une courbe
fermée (c'est-à-dire telle que
c(a) = c(b)) ?
(c) En déduire que la forme diérentielle
α=
n'est pas exacte sur
R2 \ {0}
xdy − ydx
x2 + y 2
(on a vu à la série 12 que cette forme est fermée)
Exercice 13.4. (Les équations de Maxwell) On considère l'espace de LorentzMinkowski, qui n'est
rien d'autre que
t
R4
muni de coordonnées
x, y, z, t
où
la coordonnée temporelle. Les champs électrique
dénis sur
R3
x, y, z représentent les coordonnées spatiales et
E et magnétique B sont des champs de vecteurs
qui dépendent du temps et les équations de Maxwell dans le vide s'écrivent
∂B
∂t
∂E
rot(B) =
∂t
rot(E)
=−
div(B)
=0
div(E)
= 0.
Le but de cet exercice est de reformuler ces équations dans le langage des formes diérentielles. On
dénit l'opérateur de Hodge lorentzien
∗(dx ∧ dt) = dy ∧ dz,
∗ : Ω2 (R4 ) → Ω2 (R4 )
par
∗(dy ∧ dt) = dz ∧ dx,
∗(dz ∧ dt) = dx ∧ dy,
et
∗(dy ∧ dz) = −dx ∧ dt,
∗(dz ∧ dx) = −dy ∧ dt,
2-forme F ∈ Ω2 (R4 )
Maintenant on introduit le
∗(dx ∧ dy) = −dz ∧ dt,
:
F = Ex dx ∧ dt + Ey dy ∧ dt + Ez dz ∧ dt + Bx dy ∧ dz + By dz ∧ dx + Bz dx ∧ dy.
Ce tenseur s'appelle le champ électromagnétique. Montrer que les équations de Maxwell (dans le
vide) s'écrivent
dF = 0,
d?F =0
Exercice 13.5. (Lemme de Poincaré dans Rn )
Rn . Soit
ω∈
Ωk (Rn ). Alors
α=
n−1
X
ω
se décompose comme
(x1 , . . . , xn−1 , xn = t)
ω = α + dt ∧ β avec
Soient
des coordonnées sur
ai1 ,...,ik (x, t)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik =: aI (x, t)dxI ∈ Ωk (Rn )
i1 ,...,ik =1
β=
n−1
X
bj1 ,...,jk−1 (x, t)dxj1 ∧ . . . ∧ dxjk−1 =: bJ (x, t)dxJ ∈ Ωk−1 (Rn ),
j1 ,...,jk−1
avec
dites
I = {i1 , . . . , ik } ⊂ {1, . . . , n − 1}
de type I
et les formes contenant
(a) Montrer que
dω =
et
dt
J = {j1 , . . . , jk−1 } ⊂ {1, . . . , n − 1}.
sont dites
d0 α + d00 α − dt ∧ d0 β , où
est la partie de type II de
ω
est
fermée,
sont les parties de type I de
c'est-à-dire que
d0 β =
est exacte.
d0 β
dα
α
et
et
β
sont
dβ ,
et
d00 β
dβ .
(b) On suppose maintenant que
(c) Montrer le
de type II.
d0 α et
Les formes
lemme de Poincaré dans Rn
dω = 0.
Montrer alors que
∂aI
(x, t)dxI .
∂t
: Soit
ω ∈ Ωk (Rn ) une k -forme fermée. Alors ω ∈ Ωk (Rn )
(d) Montrer que ce lemme reste vrai si l'on considère une boule ouverte
B
à la place de
n
générale, montrer que le lemme reste vrai si on remplace R par un domaine
Remarque :
Le "vrai" lemme de Poincaré s'énonce de la façon suivante : Soit
p
étoilé. Alors HDR (U )
de
U.
=0
pour
p≥
p
1, où HDR
(U ) est le
Un corollaire immédiat de ce lemme est que toute
Rn .
De façon
diéomorphe
U ⊂ Rn
à
Rn .
un domaine
p-ème
groupe de cohomologie de De Rahm
k -forme
fermée sur une variété est localement
exacte. Il est possible, quoiqu'assez dicile de montrer que tout domaine étoilé est diéomorphe à
Rn .