Analyse asymptotique

Analyse asymptotique
PCSI 1
L ycée
Relations de comparaison
1
1.
2.
3.
4.
2
7
un =
∀(un ) ∈
RN
un = o (ln(n)) =⇒ un → 0.
a : x 7→ 2 ln(1 − x) b : x 7→ 2 ln(1 − x2 )
c : x 7→ sin(x)
x
1
1
f
:
x
→
7
(1
+
x) x
d : x 7→ 1−cos(x)
e
:
x
→
7
2−x
x2
un+1 ∼ un .
un+1 ∼ un =⇒ eun+1 = O (eun ).
2n
22n
Déduire de la formule de Stirling l'équivalent
∼√ .
n
nπ
∀(un ) ∈ RN
8
ling. Ce sera une étape dans la preuve de cette formule.
9
Soit f :]0, +∞[→ R, dénie par f (x) = x − ln(x).
a) Montrer que pour tout n ∈ N∗ , il existe un couple unique (un , vn ) ∈]0, 1] ×
[1, +∞[ tel que f (un ) = f (vn ) = n.
b) Montrer que la suite (un )n∈N∗ converge vers 0 et que un ∼ e−n .
c) Montrer que la suite (vn )n∈N∗ tend vers +∞ et que vn ∼ n.
3
n sin n13
,
e1/n − 1
!
r
1
1
1 + − 1 + sin
,
n
n2
(n +
6
sin(x)
x
x
−1
o(x) + o(x2 )
√
;
x + o(x)
.
En utilisant l'unicité d'un développement limité lorsqu'il existe, démontrer
que le DL d'une fonction paire n'a que des coecients d'indice pair.
11
DL de arctangente
a) Calculer le DL(0) à l'ordre 3 de tan(x).
b) Justier l'existence d'un développement limité en zéro à l'ordre 3 pour la
fonction x 7→ arctan(x). Notons le arctan(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + o(x3 ).
x→0
c) Que valent a0 et a2 ? Calculer a1 .
d) Déterminer a3 , en utilisant tan ◦ arctan = IdR .
+ n1/n − 1 .
Applications du calcul de développements limités.
o(x2 ) + 3x3
√
.
1 + x2 − 1
13
Calculer :
ln(1 + x) − x
lim
x→0+
x2
Calculer un équivalent simple de (1 + n)−n .
Feuille d'exercices 11
k!
6
5 Voici des "formes indéterminées" (les relations de négligeabilté sont au voisinage de 0). Les simplier au maximum en utilisant équivalents usuels et les
propriétés du cours. Lesquelles restent indéterminées ? Donner sinon la limite de
ces quotients en 0.
ln(1 + x) − x
;
ex − 1
99
X
xk
.
A l'aide de la formule de Taylor-Young, donner le DL de la fonction cos en
π
zéro, à l'ordre 5 et en à l'ordre 2.
1)3
10
12
p
Donner le DL à l'ordre 100 au voisinage de 0 de x 7→ ln
1
cos(x)
Le point de vue théorique.
√
1
1 + n ln 1 + 2
n
1
k=0
Donner un équivalent simple pour chacune des expressions suivantes.
Un gros calcul.
Donner le DL en zéro, à l'ordre 4 de la fonction x 7→ exp
Remarque : ce dernier équivalent peut-être obtenu sans utiliser la formule de Stir-
4
Manipulation des DL usuels
Donner, pour chacune des fonctions suivantes, le développement limité au point
0 à l'ordre 3.
=⇒ un → 0.
∀(un ) ∈
RN
∀(un ) ∈ RN
S
chweitzer
Calculs de développements limités, à l'aide des DL usuels.
Vrai ou Faux ?
o( n1 )
Albert
1
et
1 n
lim
1+
n→+∞
n
2016-2017
14
Calculer les limites suivantes :
1. En vous aidant d'un développement limité, montrer que f est continue en 0.
2. Quitte à améliorer le développement utilisé précédemment, montrer que f
est dérivable en 0.
2
ex − cos(x)
;
x→0
x2
lim
p
lim
x→−∞
x2 + 5x + 1 + x.
Soient a et b dans R∗+ . Calculer, en fonction de a et b, les limites suivantes
(on montrera en même temps qu'elles existent).
20
15
lim
x→+∞
16
ax + bx
2
1
x
lim
x→0+
ax + bx
2
g : x 7→ ln
sin(x)
x
1
x
.
En déduire les limites :
g(x)
x→0 x2
lim
et
lim
n→+∞
n2
n sin( n1 )
Donner des
√ simples pour les fonctions
√ équivalents
x
a) x 7→ 2e − 1 + 4x − 1 + 6x2 , en 0.
b) x 7→ √
cos(x)sin(x) −√cos(x)tan(x)
, en 0.
√
3
4
2
3
c) x 7→ x + 1 − 2 x + x + x4 + x2 , en +∞.
17
18
a) Calculer le DL à l'ordre 3 en 0 de

 ]0, π] → R sin(x)
f:
.
−x
7→ ln 3
+e
 x
x
b) En déduire que f est prolongeable par continuité et dérivable en 0.
Préciser f (0) et f 0 (0).
c) La courbe est-elle localement au-dessus ou en-dessous de sa tangente en 0 ?
19
Soit f : − π2 , π2 → R la fonction dénie par :
(
f (x) =
Feuille d'exercices 11
2
sin2 (x)
1
+
1
ln(cos(x))
si x ∈ 0, π2
si x ∈ − π2 , 0
arctan x
1
− .
(sin(x))3 x2
a) Donner le domaine de dénition de g .
b) Montrer qu'elle se prolonge par continuité en 0 en une fonction dérivable.
c) La courbe est-elle localement au-dessus ou en-dessous de sa tangente en 0 ?
Calculer le DL à l'ordre 2 en zéro de la fonction :
Soit f : x 7→
2