Angles et cercles M Hypothèses b C est un cercle de centre O et de rayon R. A, B et M sont trois points de C. m est le point diamétralement opposé à M . 360 x Vocabulaire O Le segment rAB s est une corde de C. b Les points A et B définissent sur C deux arcs de cercle d’extrémités A et B : 1. l’arc saillant AB, correspondant au chemin le plus court entre A et B ; x A b b B m b 2. l’arc rentrant AB , correspondant au chemin le plus long entre A et B. { { De même, A et B permettent de définir deux angles de même sommet O : 1. l’angle saillant AOB (c’est l’angle habituel, dont la mesure x est comprise entre 0 et 180 ; 2. l’angle rentrant AOB (c’est l’angle dont la mesure est 360 x). {{ On dit que AOB est l’angle au centre interceptant l’arc AB et que AOB est l’angle au centre interceptant l’arc AB . { {{ AM B est un angle inscrit interceptant l’arc AB. AmB est un angle inscrit interceptant l’arc AB . Remarque – Lorsque A et B sont diamétralement opposés, la longueur de AB est égale à la longueur de AB et les angles AOB et AOB ont la même mesure : 180 . Objectif : Comparer les angles AOB et AM B, en fonction de la position du point M sur C. Quelques questions préliminaires { {{ { 1. Quelle est la nature du triangle mAM ? Qu’en déduit pour la somme des mesures des angles AmO et AM O ? {{ 2. Quelle est la nature du triangle OAM ? Qu’en déduit-on pour les angles OAM et AM O ? 3. Comparer les mesures des angles mAO et AmO. 3 MF2 Angles et cercles Page 1/3 I – M et O sont dans le même demi-plan de frontière pAB q 1 Cas n˚1 : O est à l’intérieur du triangle AM B. M b { { 1. Prouver que AOm 2AM m. { { {{ 2. Quelle relation analogue peut-on écrire entre mOB et mM B. O b 3. En déduire une relation entre AOB et AM B. A b b B m b Cas n˚2 : O est à l’extérieur du triangle AM B. { { Prouver qu’on a encore AOB M O 2AM B. m A B II – M et O sont de part et d’autre de la droite pAB q. m { Prouver que 2AM B O AOB. B A M 1. Cela signifie que que M et O sont du même côté de la droite pAB q. 3 MF2 Angles et cercles Page 2/3 III – Comparaison d’angles inscrits. {{ {{ M N En utilisant les résultats précédemment établis : 1. Comparer AM B et AN B. 2. Comparer AM B et AP B. B A P Compléter et apprendre la synthèse suivante : Synthèse : 1. Si dans un cercle, un angle inscrit et un angle au centre intercepte le même arc de cercle, alors . . . . . . ..................................................................................................... ..................................................................................................... 2. Si dans un cercle, deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle, alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................... ..................................................................................................... 3 MF2 Angles et cercles Page 3/3