les angles inscrits et les angles au centre - PYSA

3
ème
– Les angles inscrits Pierre-Yves Gouiffes – Collège Joseph-Anglade de Lézignan-Corbières
http://pysa.free.fr/pedagogie/3anglesinscritsactivites.pdf
L ES A NGLES INSCRITS ET LES ANGLES AU CENTRE
Partie A Tracer et chercher
Un cercle a été tracé sur une belle pelouse
bien plane. Les jeunes
ont installé des poteaux
de buts en deux points A
et B de ce cercle. Pour
s’entraîner, les joueurs
frappent le ballon posé en
un point J de cet arc de cercle.
Certains affirment que l’angle de tir AJB est plus ou
moins grand selon la position de J. D’autres n’en sont
pas si sûrs.
1. a) Tracer un cercle (assez grand) de centre O.
b) placer deux points A et B sur ce cercle.
c) Placer trois points J
1
, J
2
et J
3
sur le grand arc de
cercle AB
2. Mesurer les angles AJ
1
B, AJ
2
B et AJ
3
B.
3. Mesurer aussi l’angle AOB.
Partie B Conjecturer
Un angle inscrit est un angle
formé par deux cordes issues
d’un même point d’un cercle.
Un angle au centre est un angle
dont le sommet est au centre d’un
cercle.
On dit que l’angle inscrit AMB intercepte l’arc AB et
que l’angle au centre AOB intercepte le même arc AB.
A la lumière des observations de la partie A compléter
les conjectures.
Deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont …
………………………………………………………...
La mesure d’un angle inscrit est ……...….….… de celle
de l’angle au centre qui ………………………………...
Partie C Démontrer
1
er
cas
O est sur un côté de
l’angle inscrit.
2
ème
cas
O est à l’intérieur de
l’angle inscrit.
3
ème
cas
O est à l’extérieur de
l’angle inscrit.
1. Pour chaque cas précédent, montrer que y = 2x.
2. En déduire que deux angles inscrits qui interceptent
le même arc ont la même mesure.
Partie D Appliquer
1. a) On suppose que AMB mesure
45°. Démontrer que AOB est un
triangle rectangle isocèle.
b) On suppose que AMB mesure 30°.
Démontrer que AOB est un triangle
équilatéral.
2. ABC est un triangle équilatéral et M
un point de l’arc BC du cercle
circonscrit à ABC.
Quelles sont les mesures des angles
AMC, BMC et AMB ?
3. ABC est un triangle rectangle
isocèle en B et M un point de l’arc AC
du cercle circonscrit à ABC. Quels
sont les mesures des angles BMC,
AMB et AMC ?
4. [AB] et [CD] sont deux diamètres
perpendiculaires d’un cercle et M un
point de l’arc AC.
Quelles sont les mesures des angles
AMB, AMD, DMB, BMC et AMC ?
Partie E Au brevet
1. Paris, juin 2002
Déterminer la mesure des angles du
triangle ABC sachant que BOC = 50°
et AOB = 150°. Le point O est le
centre du cercle passant par les points
A, B et C.
2. Groupe Est, juin 2005
Démontrer que le triangle ABC est un
triangle rectangle.
3. Groupe Nord, septembre 2003
Quatre égalités sont proposées mais
une seule est correcte. Indiquer la
réponse que vous estimez être
correcte.
BOC = BAC
2
BOC = 2 BAC
BAC =
OBC ACO = ABO
2