1 Introduction

Mini-projet d'analyse numérique du cours MAP 431
Propagation d'ondes électromagnétiques en présence d'un
courant électrique.
Sujet proposé par M.Gazeau
(d'après Patrick Ciarlet)
[email protected]
1
Introduction
Dans ce miniprojet on s'intéresse à la propagation d'une onde électromagnétique
~ B)
~ est décrite par les
dans le vide. L'évolution du champ electromagnétique (E,
équations de Maxwell

~


~ = µ0 J~ + µ0 ε0 ∂ E (Maxwell Ampère)
~

rot
B


∂t



~
 ∂B
~ (Maxwell Faraday),
~ E
= −rot
∂t 


~ = 0,

div B




 ~
~ = 0) = B0 .
E(t = 0) = E0 , B(t
(1)
~ = (Ex , Ey , Ez ) est le champ électrique et B
~ = (Bx , By , Bz ) l'induction maoù E
gnétique. Ces équations expriment respectivement la manière dont un courant électrique est à l'origine d'un champ magnétique et le phénomène d'induction c'est à
dire qu'un champ magnétique variable est à l'origine d'un champ électrique. Le
fait que l'induction magnétique soit de divergence nulle indique qu'il n'y a pas de
charges magnétiques. La donnée J~ est la densité de courant électrique. Enn ε0 =
1/(36π 109 ) F.m−1 exprime la permittivité électrique du vide et µ0 = 4π.10−7 N.A−2
la perméabilité magnétique du vide. De plus on rappelle que les ondes électroma√
gnétiques se propagent dans le vide avec la célérité c = 1/ µ0 ε0 .
Dans la suite du problème on considère un domaine Ω ⊂ R3 ainsi que des conditions
aux limites de type conducteur parfait pour les équations de Maxwell i.e
~ × ~n|∂Ω = 0, B
~ · ~n|∂Ω = 0.
E
(2)
où ~n la normale unitaire sortante à ∂Ω.
On considère également que le problème est z -invariant c'est à dire que le domaine
de calcul Ω, le champ électromagnétique et la densité de courant sont invariants par
rapport à z . En d'autres termes :
Ω = ω × R, où ω ⊂ R2 ,
∂·
=0
∂z
où on suppose que ω est de la forme polygonale : ses sommets ont respectivement
pour coordonnées (0, 0), (1, 0), (1, 21 ), ( 12 , 21 ), ( 12 , 1) et pour nir (0, 1). On notera
1
~ν la normale unitaire sortante à ∂ω , et ~τ le vecteur tel que (~τ , ~ν ) est une base
orthonormale.
~ , ∂t E
~, B
~ , ∂t B
~ et J~ sont à supports bornés et
Mathématiquement, à tout instant, E
2
2
toutes leurs composantes appartiennent à L (R ). On considère également que les
données initiales (E0 , B0 ) sont régulières tel que div(B0 ) = 0 et E0 est à support
compact dans ω .
2
Réduction du système à l'équation des ondes.
1. Montrer que les sytème (1)-(2) peut être réécrit sous la forme de deux systèmes
découplés :
→ le premier en (Ex , Ey , Bz ), appelé mode TE (Transverse Electric) ;
→ le second en (Bx , By , Ez ), appelé mode TM (Transverse Magnetic) ;
Dans la suite, on se concentre sur le mode TM. On adopte la convention B =
Bx~ex + By~ey , et on introduit deux opérateurs rotationnels sur ω :
rot ~u =
∂uy ∂ux ~
∂u
∂u
−
, rot u =
~ex −
~ey .
∂x
∂y
∂y
∂x
2. Vérier que l'on peut reformuler les équations satisfaites par (Bx , By , Ez ) en :
1
∂B
∂Ez
~ Ez = 0 dans ω, t ∈ R+ .
− c2 rot B = − Jz ,
+ rot
∂t
ε0
∂t
Ez (0) = (E0 )z , B(0) = B0 dans ω.
Ez |∂ω = 0, B · ~ν|∂ω = 0, t > 0.
(3)
(4)
(5)
3. Vérier que B satisfait l'équation du second ordre suivante :
∂2B
~ rot B = 1 rot
~ Jz .
+ c2 rot
2
∂t
ε0
(6)
Quelles conditions initiales doit-on ajouter ?
~ = 0, il existe un potentiel vecteur A
~ ∈ (L2 (Ω))3 tel
4. Etant donné que div(B)
que
~
~ = rot
~ A.
B
En déduire que :
(7)
~ en déduire la régularité du potentiel Az ? Le
A partir des hypothèses sur B
potentiel Az est-il unique ? Quelle condition aux limites est satisfaite par Az ?
Déduire de (6)-(7) que Az vérie :
~ Az .
B = rot
~
rot
∂ 2 Az
1
2
−
c
∆A
−
Jz
z
∂t2
ε0
= 0.
On admet que le terme ∂∂tA2z −c2 ∆Az − ε10 Jz satisfait globalement des conditions
aux limites homogènes, ce qui permet de dire que Az satisfait :
2
∂ 2 Az
1
− c2 ∆Az = Jz .
2
∂t
ε0
Quelles sont les conditions initiales vériées par Az ?
2
5. Expliquer pourquoi Ez est solution de l'équation des ondes ci-dessous :
1 ∂Jz
∂ 2 Ez
− c2 ∆Ez = −
.
2
∂t
ε0 ∂t
Etablir qu'à tout instant t, Ez appartient à H01 (ω). Quelles conditions initiales
doit-on ajouter ?
6. Ecrire les formulations variationnelles dont Ez et Az sont respectivement solution.
Dans la suite, on va résoudre numériquement les deux équations des ondes que
vérient Ez et Az , puis on en déduira une approximation numérique du mode TM
(Bx , By , Ez ).
3
Analyse théorique et numérique
1d.
On a vu dans l'étude théorique précédente que dans le cadre d'un problème invariant
dans une direction, les équations de Maxwell en dimension 3 se réduisent à un
système d'équation des ondes pour Az et Ez . Le but de cette partie est de proposer
et d'analyser des schémas numériques pour l'équation des ondes en une dimension
d'espace qui serviront ensuite à résoudre numériquement le problème complet à
savoir la simulation numérique du mode TM (Bx , By , Ez ). An de simplier l'analyse
on suppose uniquement dans cette partie que la charge de courant électrique est
nulle. On souhaite donc étudier
2
∂ 2 Ez
2 ∂ Ez
−
c
= 0.
∂t2
∂x2
(8)
auquel on ajoute les conditions aux limites de dirichlet. Les conditions initiales du
problème seront données ultérieurement. On note ∆x = 1/(N + 1) le pas d'espace et ∆t le pas de temps. On notera également (tn , xj ) = (n∆t, j∆x) avec j ∈
{0, ..., N + 1}.
1. Ecrire le schéma saute mouton pour l'équation précédente (8). Etudier la
consistance et l'erreur de troncature du schéma.
2. En cherchant la solution sous la forme d'une onde plane Ez (j, n) = A exp (i (kj∆x − wn∆t))
où k est le nombre d'onde et w la fréquence angulaire, montrer que
sin2 (w∆t/2) = C 2 sin2 (k∆x/2)
avec C = c∆t/∆x. Etablir une condition de stabilité pour le schéma.
3. Ecrire la relation de dispersion pour l'équation des ondes (8). En déduire la
relation liant k, w, ∆x et ∆t. Que se passe-t-il lorsque C = 1 ?
4. Ecrire l'équation (8) sous la forme d'un système à deux inconnues ainsi que le
schéma de Cranck Nicholson associé. De la même manière que précédemment
montrer que :
tan2 (w∆t/2) = C 2 /4 sin2 (k∆x) .
En déduire que ce schéma est inconditionnellement stable et qu'il ne satisfait
jamais la relation de dispersion exacte.
3
5. Conclure sur les avantages et les inconvénients des deux schémas. L'utilisation
du schéma explicite est-elle intéressante en pratique ?
6. Implémenter les deux schémas pour une donnée initiale Ez|0 = cos(x) exp(−x2 /20)
et une vitesse initiale nulle sur l'intervalle [−12π, 12π]. On suppose que la vitesse du son est normalisée c = 1. On prendra également ∆x = 0.1π ainsi
qu'une constante CFL égale à C = 0.7. On achera les résultats pour les
temps naux t = 50 et t = 100. Le schéma de saute mouton étant à trois
niveaux en temps, pour initialiser le schéma à partir de la donnée initiale en
t0 = 0 il est nécessaire de calculer le champ à l'instant t1 = ∆t par un autre
schéma à deux niveaux en temps seulement. Pour cela on pourra utiliser le
schéma de CN ou le schéma explicite de Lax Wendro. Expliquer pourquoi
l'initialisation à l'aide du schéma de Lax Friedrichs n'est pas conseillé.
4
Discrétisation et mise en ÷uvre numérique en
2d.
Le champ électromagnétique dépend à la fois des variables d'espace (ici, (x, y)) et
de temps (t). Pour approcher ce champ, on choisit dans la suite une approche de
type éléments nis en espace et de type diérences nies en temps. On suppose
cette fois que E0 = B0 = 0 mais que la densité de courant électrique J~ est non nulle.
On semi-discrétise en espace les équations des ondes en Ez et Az à l'aide de l'élément
ni de Lagrange P1 , conforme dans H 1 (ω), sur des maillages triangulaires. On discrétise en temps à l'aide du schéma saute-mouton, avec un pas de temps ∆t uniforme.
1. Donnez un exemple de maillage conforme dans H 1 (ω) et écrire les schémas
résultants sur Ez et Az de sorte qu'ils soient complètement explicite.
2. On note hmin = minT ∈Th hT , hT diamètre du triangle T , et Th la triangulation
courante. Le pas de temps ∆t est choisi de sorte que :
c ∆t ≤
1
hmin ,
2
(9)
A quoi correspond la contrainte (9) ? Au vue des analyses précédentes est-il
normal qu'une telle condition apparaisse ?
3. Pour reconstruire une approximation numérique de B à partir de celle calculée
~ Az dans L2 (ω)2 , équivalente à
pour Az , on part de l'identité B = rot
Z
ω
B · ~λ dω =
Z
~ Az · ~λ dω, ∀~λ ∈ L2 (ω)2 .
rot
(10)
ω
Comment utiliser (10) en pratique ?
4. Réalisez la mise en ÷uvre des schémas numériques précédemment construits
à l'aide de FreeFem++
5. On considère la donnée
ζt
Jz = f (x) sin(ζ t)e− 2 .
La fonction f est égale à la fonction chapeau centrée en x = 1/4, de support
[1/8, 3/8]. La pulsation ζ est associée à la fréquence ν = 4GHz (ζ = 2πν .)
4
On résout les équations de Maxwell en mode TM entre les instants t = 0s et
t = 3 10−9 s.
Réalisez les simulations numériques avec ces données, sur quelques maillages
(respectivement formés de 500, 2.000 ou 8.000 triangles environ.) Analysez les
résultats.
6. Comment améliorer la qualité de la solution calculée, au voisinage du coin
rentrant ?
Réalisez une expérience numérique et comparez-la aux expériences précédentes.
7. Expliquer de quelle manière Ez et Az sont liés. Quel est l'intérêt numérique
d'une telle remarque ? Et en pratique ?
5