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CoursPCBrizeux
Brizeux Ch. E2 Les équations de Maxwell
16
CHAPITRE E2
LES ÉQUATIONS DE MAXWELL
Ces quatre équations, ajoutées à la loi d'interaction, forment les postulats de base à partir desquels
tout l'électromagnétisme classique peut être construit:
1.
LES EQUATIONS DE MAX WELL
1.1.
1.1.1.
Expression
-
Formes locale et intégrale - interprétation physique
Cette équation est indépendanteEquation
des sources.
duSa
fux
forme
magnétique
intégrale,Mobtenue
en=écrivant
0
:
1 : div B
!
""
B. dS = 0
S
précise sa signifcation : Le fux de
-
! !
B à travers toute surface fermée est nul. C'est une propriété
!
intrinsèque de B qui montre que le champ magnétique ne peut diverger à partir de points d e l'espace,
ou encore qu'il n'existe pas de charges magnétiques. Cette équation est indépendante du temps et
s’impose donc à tout cham magnétique,
en régime permanent comme en régime variable.
!
!
Cette équation est indépendante
Equation
des sources.
de Maxwell-Faraday
Sa forme intégrale
Mest:
2: rot E = -
!
!
"B
"t
!
'
d$
d"
)
B.dS
E. dl = - " &
=
)
dt &
dt
%
(
S
S
C
Cette équation décrit tous les phénomènes d'induction et montre qu'un champ magnétique variable
##
"" "
rotE.dS =
! !
peut créer un champ électrique à circulation non nulle.
!
!
!
- 16 -
!
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ρ
Cette équation relie le champEquation
électriquedeà Maxwell-Gauss
ses sources. Sa forme
M3 : intégrale
div E = est
ε 0:
!
###
"" ###
E. dS =
div E dτ =
S
"
"
Q int
"0
"
dτ =
#0
Ce résultat qui exprime que
!
! !
le
fux
du champ
! à travers !toute surface fermée est égal à la
!
!
! électrique
somme des charges intérieures sur ε0 est connu sous le nom de théorème de Gauss. Il montre que le
champ électrique peut lui diverger à partir de points où se trouvent des charges électriques. Le
« théorème de Gauss », issu d’une équation indépendante du temps est donc vrai en régime permanent
comme
La constante
en régime variable.
ε0, appelée permittivité du vide s’exprime en F.m -1 et vaut : ε 0 =
-
1
F.m -1
36"109
! "E ) intégrale
Cette équation relie leEquation
champ magnétique
de Maxwell-Ampère
à ses sourcesMet4 au
: rot
champ
B= µ
électrique.
0 ( j + ε 0Sa forme
"t
!
!
!
est :
""
rot B. dS =
S
En r
""
"
B. dl = µ0
!
j . dS + µ0ε0
C
S
""
S
"E
. dS
"t
! ! !
! !
!
! !
égime stationnaire, nous retrouvons le théorème
d’Ampère qui
montre que le champ B tourne
!
!
!
!
!
"E
autour des courants. Le terme supplémentaire en
indique qu’un champ électrique variable est
"t
source
La de
constante
champ magnétique.
!
Nous verrons
µ0,par
appelée
la suite
perméabilité
que les constantes
du vide s’exprime en H.m-1 et vaut : µ 0 = 4π. 10-7 H.m-1
!
Rq.1
Ces équations couplent bien
indépendamment
Rq.2
l'un de l'autre.
µ 0 et ε 0 ne sont pas indépendantes ….
E et B qui ne peuvent être, dans le cas général, calculés
"E
En prenant divM 4, on obtient div j + ε0 div(
) = 0 soit, en intervertissant les dérivations
"t
!
!
∂ρ
par rapport au temps et à l'espace, et en utilisant M 3 : div j + ∂t = 0. L’équation de conservation de
la charge est bien satisfaite !
!
!
- 17 !
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1.1.2.
La
Linéarité des équations
linéarité des équations de Maxwell est fondamentale : elle permet d’affrmer que si une
distribution de charges et de courants D 1 crée le champ ( E 1, B 1) et une distribution D 2 le champ
( E 2, B 2), la superposition des distributions D1 et D2crée le champ (( E 1+ E 2, B 1 + B 2).
!
!
!
!
!
2.
!
!
!
CONTINUITES ET DISCONTINUITES DU CHAMP
ELECTROMAGNETIQUE
Le modèle limite des distributions surfaciques de charges et de courants entraîne des discontinuités
des champs E et B à la traversée de telles distributions. Les équations de Maxwell permettent de
déterminer ces discontinuités :
!
!
- 18 -
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