CoursPCBrizeux Brizeux Ch. E2 Les équations de Maxwell 16 CHAPITRE E2 LES ÉQUATIONS DE MAXWELL Ces quatre équations, ajoutées à la loi d'interaction, forment les postulats de base à partir desquels tout l'électromagnétisme classique peut être construit: 1. LES EQUATIONS DE MAX WELL 1.1. 1.1.1. Expression - Formes locale et intégrale - interprétation physique Cette équation est indépendanteEquation des sources. duSa fux forme magnétique intégrale,Mobtenue en=écrivant 0 : 1 : div B ! "" B. dS = 0 S précise sa signifcation : Le fux de - ! ! B à travers toute surface fermée est nul. C'est une propriété ! intrinsèque de B qui montre que le champ magnétique ne peut diverger à partir de points d e l'espace, ou encore qu'il n'existe pas de charges magnétiques. Cette équation est indépendante du temps et s’impose donc à tout cham magnétique, en régime permanent comme en régime variable. ! ! Cette équation est indépendante Equation des sources. de Maxwell-Faraday Sa forme intégrale Mest: 2: rot E = - ! ! "B "t ! ' d$ d" ) B.dS E. dl = - " & = ) dt & dt % ( S S C Cette équation décrit tous les phénomènes d'induction et montre qu'un champ magnétique variable ## "" " rotE.dS = ! ! peut créer un champ électrique à circulation non nulle. ! ! ! - 16 - ! CoursPCBrizeux Brizeux Ch. E2 Les équations de Maxwell 17 ρ Cette équation relie le champEquation électriquedeà Maxwell-Gauss ses sources. Sa forme M3 : intégrale div E = est ε 0: ! ### "" ### E. dS = div E dτ = S " " Q int "0 " dτ = #0 Ce résultat qui exprime que ! ! ! le fux du champ ! à travers !toute surface fermée est égal à la ! ! ! électrique somme des charges intérieures sur ε0 est connu sous le nom de théorème de Gauss. Il montre que le champ électrique peut lui diverger à partir de points où se trouvent des charges électriques. Le « théorème de Gauss », issu d’une équation indépendante du temps est donc vrai en régime permanent comme La constante en régime variable. ε0, appelée permittivité du vide s’exprime en F.m -1 et vaut : ε 0 = - 1 F.m -1 36"109 ! "E ) intégrale Cette équation relie leEquation champ magnétique de Maxwell-Ampère à ses sourcesMet4 au : rot champ B= µ électrique. 0 ( j + ε 0Sa forme "t ! ! ! est : "" rot B. dS = S En r "" " B. dl = µ0 ! j . dS + µ0ε0 C S "" S "E . dS "t ! ! ! ! ! ! ! ! égime stationnaire, nous retrouvons le théorème d’Ampère qui montre que le champ B tourne ! ! ! ! ! "E autour des courants. Le terme supplémentaire en indique qu’un champ électrique variable est "t source La de constante champ magnétique. ! Nous verrons µ0,par appelée la suite perméabilité que les constantes du vide s’exprime en H.m-1 et vaut : µ 0 = 4π. 10-7 H.m-1 ! Rq.1 Ces équations couplent bien indépendamment Rq.2 l'un de l'autre. µ 0 et ε 0 ne sont pas indépendantes …. E et B qui ne peuvent être, dans le cas général, calculés "E En prenant divM 4, on obtient div j + ε0 div( ) = 0 soit, en intervertissant les dérivations "t ! ! ∂ρ par rapport au temps et à l'espace, et en utilisant M 3 : div j + ∂t = 0. L’équation de conservation de la charge est bien satisfaite ! ! ! - 17 ! CoursPCBrizeux Brizeux Ch. E2 Les équations de Maxwell 18 1.1.2. La Linéarité des équations linéarité des équations de Maxwell est fondamentale : elle permet d’affrmer que si une distribution de charges et de courants D 1 crée le champ ( E 1, B 1) et une distribution D 2 le champ ( E 2, B 2), la superposition des distributions D1 et D2crée le champ (( E 1+ E 2, B 1 + B 2). ! ! ! ! ! 2. ! ! ! CONTINUITES ET DISCONTINUITES DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE Le modèle limite des distributions surfaciques de charges et de courants entraîne des discontinuités des champs E et B à la traversée de telles distributions. Les équations de Maxwell permettent de déterminer ces discontinuités : ! ! - 18 -