DS N° 1

Année universitaire 2011-2012
S5 - Électromagnétisme dans la matière
Devoir Surveillé numéro 1, mardi 8 novembre 2011, durée 2 heures
Documents non autorisés - calculatrices autorisées mais non nécessaires.
Les raisonnements et les résultats seront justifiés en au moins une phrase ou deux. Une suite de
calculs et d’équations non accompagnée d’explications ne constitue pas une réponse valable.
1. Questions de cours
1. Donner les expressions des quatre équations de Maxwell auxquelles obéissent les champs électrique
~
Eet magnétique ~ B, étant données les densités volumiques de charge ρet de courant ~ j. Sont-elles
valides dans tout milieu matériel ?
2. Rappeler les relations permettant d’exprimer le flux d’un champ de vecteurs à travers une surface
fermée comme une intégrale volumique, ainsi que la circulation d’un champ de vecteurs le long d’un
chemin fermé comme un flux à travers une surface.
3. Pour chacune des équations de Mawell, donner sa forme intégrale (en utilisant les réponses au (2)),
et décrire en une ou deux lignes le phénomène ou la propriété physique qu’elle décrit.
4. Rappeler la loi de conservation de la charge électrique reliant ρet ~ j. Expliquer en quelques mots
comment on la dérive. Montrer qu’on peut la déduire des équations de Maxwell.
5. Rappeler les expressions du potentiel scalaire Vet vectoriel ~ A. De quelles équations de Maxwell
sont elles la conséquence ?
6. Rappeler la condition à laquelle satisfont le potentiel scalaire Vet le potentiel vecteur ~ Adans la jauge
de Lorenz.
7. Établir les équations de propagation auxquelles obéissent les potentiels scalaire et vectoriel dans la
jauge de Lorenz.
2. Champ électrique à l’intérieur d’une sphère chargée On veut calculer le champ électrique à
l’intérieur d’une sphère de centre Oet de rayon Ret portant une charge totale Qrépartie uniformément
dans le volume.
a) Quelle est la densité volumique de charge ρà l’intérieur de la sphère ?
b) Montrer que pour des raisons de symétrie, le champ en un point Mest de la forme ~ E=f(r)~r où
~r =~ OM. On pourra par exemple considérer des rotations autour de la droite OM .
c) En utilisant le théorème de Gauss, montrer qu’en un point intérieur à la sphère, on a ~ E= (Q/4π0R3)~r.
Bien détailler le raisonnement.
d) Par la même méthode, établir l’expression du champ électrique en un point extérieur à la sphère.
Pouvait-on s’attendre au résultat ?
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3. Propagation d’ondes électromagnétiques dans un milieu conducteur On s’intéresse à la prop-
agation d’ondes électromagnétiques dans un conducteur vérifiant la loi d’Ohm ~ j=γ~ E, où ~ jest la densité
volumique de courant, ~ Ele champ électrique et γla conductivité du milieu. La loi d’Ohm couplée aux
équations de Maxwell permet de déterminer le comportement électromagnétique du conducteur.
a) Montrer que la conservation de la charge électrique combinée à la loi d’Ohm implique que la densité
volumique de charge ρ, si elle est initialement non nulle, tend vers 0 en chaque point du conducteur.
Donner l’échelle de temps caractéristique τravec laquelle cette relaxation s’effectue. Dans la suite, on
supposera ρ= 0.
b) En utilisant les équations de Maxwell et la loi d’Ohm, établir l’équation de propagation à laquelle obéit
le champ électrique ~ E.
c) On considère des ondes planes progressives monochromatiques de la forme ~ E=~ E0ei(~
k.~r−ωt), sur
lesquelles l’action des opérateurs de différentiation spatiale et temporelle est rappelée en annexe. Com-
ment les équations de Maxwell s’écrivent-elles pour une telle onde ? En déduire l’expression du champ
magnétique ~ B. Que peut-on dire des champs électrique ~ Eet magnétique ~ Bpar rapport au vecteur
d’onde ~ k.
d) Montrer que le champ électrique considéré au c) est solution de l’équation de propagation obtenue au b)
et établir la relation de dispersion reliant le nombre d’onde k=||~ k|| à la pulsation ω. Comment cette
relation se simplifie-t-elle dans la limite γ/(0ω)1, dite du “bon conducteur”.
e) Montrer que dans cette limite, les ondes électromagnétiques voient leur amplitude décroître exponen-
tiellement avec la distance de propagation. Donner l’expression de “l’épaisseur de peau” δ, distance sur
laquelle l’amplitude est divisée par e.
f) Montrer que les calculs effectués au c) auraient également permis de retrouver la relation de dispersion
établie au d).
4. Potentiel vecteur en mécanique quantique On considère un solenoïde (une bobine) infini tel qu’il
existe un champ magnétique uniforme ~ Bà l’intérieur et aucun champ à l’extérieur. On se placera par la
suite dans un plan perpendiculaire à l’axe du solénoïde.
1. Montrer en utilisant le théorème d’Ampère, que bien que le champ magnétique soit identiquement
nul en dehors du solénoïde, le potentiel vecteur ne peut être nul.
2. On considère une expérience où des électrons passent de part et d’autre du solenoïde. On montre
en mécanique quantique que le déphasage introduit entre les fonctions d’onde associées au deux
trajets est donné par ∆φ=−e
¯hc HΓ~
A.d~ loù Γest un chemin fermé tournant autour du solénoïde
(correspondant au premier trajet en sens direct suivi du deuxième trajet en sens inverse). On pourrait
craindre que cette expression de φdépende du choix de jauge, puisque ~ Aest en partie indéterminé.
Expliquer pourquoi il n’en est rien.
Rappels
div ~ rot ~ V= 0,~ rot ~ grad F= 0,~ rot ~ rot ~ V=~ grad div ~ V−∆~ V
4F=∂2F/∂x2+∂2F/∂y2+∂2F/∂z2
Volume Vet surface Sd’une sphère de rayon R : V=4
3πR3,S= 4πR2.
Soit une onde plane monochromatique progressive ~ E=~ E0ei(~
k.~r−ωt). Les opérateurs différentiels usuels
agissent de la manière suivante : div ~ E=i~ k. ~ E,~ rot ~ E=i~ k∧~ E,∆~ E=−k2~ E,∂~ E/∂t =−iω ~ E.
~
A∧(~ B∧~ C) = ~ B(~ A. ~ C)−~ C(~ A. ~ B)
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