Chute aimant dans tube cuivre

Corrigé : Chute aimant dans tube cuivre
Partie II
II 1 Courant induit dans un circuit élémentaire
a) Dans le référentiel d’étude C est fixe , placé dans un champ
B
variable
à cause de la chute
pour zA > z : A se rapproche de C donc la valeur du flux de B décroît (de plus en
plus négatif); le circuit réagit contre la diminution du flux par la création d’un
courant induit qui crée un champ magnétique de flux opposé à celui dû à
l’aimant ,donc un courant induit positif .
b)
A
(M) =
03/2
4 ( ² ( )²)
a
A
m
a z z
e
c) zA dépend du temps donc le potentiel vecteur
A
aussi :
E
m(M)= -
A
AA
v
tz
e
=
05/2
3 ( )
4 ( ² ( )²)
A
A
ma z z v
a z z
e
d) Courant induit dans C : di =
j
.
n
dS =
E
m e dz
e
= Eme dz
di = -
05/2
3 ( )
4 ( ² ( )²)
A
A
e ma z z v dz
a z z
du signe de zA –z
résistance : dr = 2 a/ edz
la fem induite est ei =
c
E
m .
dl
= Em2 a
Loi d’ohm : di = ei/dR = Em e dz
II 2 Force exercée par le tuyau sur l’aimant
a) On utilise
rot(rot(U)) grad(div(U)) U  
qui donne en utilisant les opérateurs en coordonnées
cartésiennes
M1
M. 0
rr
et
3
M 1 1 M.r
div .div(M) M.grad
r r r r
soit
o53
3r.(r.M) M
B.
4rr
et donc Br = (µ0/ 4  ) 2mcos / r3 ; B  = (µ0/ 4  ) m sin / r3 avec r = AM
b) Force de Laplace exercée par le champ
B
de l’aimant sur un élément
dl
du circuit C parcouru par le
courant di
d²
F
’ = di
dl
B
= di dl ( Br
e
- B 
r
e
)
En projection su Oz : d²FZ’ = - di 2 a ( Br sin + B  cos  ) = - 3µ0ma cos  sin  /2 r3
c) sin  = a/r cos  = (z-za) /r r = AM
dF’Z =
0
2 3 2
5
9 ² ( )
8 ( ² ( )²)
A
A
e m a z z v dz
a z z
et puis dFZ = -dF’Z
d) Avec x = (z-zA )/r
( )/
5 7 5 7 5
0/
( )² 1 ² 1 ²
( ² ( )²) (1 ²) (1 ²)
A
A
L L z a
A
za
A
z z dz x dx x dx
a z z a x a x
= 5 /128a7
La fonction à intégrer équivalente pour x grand à 1/ x8 tend rapidement vers zéro.
m
A
B
i
i

L’erreur consiste à remplacer les bornes par ± dès que zA > 0 c’est à dire très vite dès le début de le
chute et tant que zA < L .
e) FZ = -
04
45 ² ²
1024em v a
du type
F
= -   comme une force de frottement fluide s’opposant à la
chute de l’aimant
f) AN :  = 3,7.10-2 kg .s-1
II 3. Mouvement de chute de l’aimant
a) m d /dt = m  -  vl = m/   = vl /g
dv/dt + v/  = g v(t) = vl ( 1- exp(-t/ )) za = vl t – vl ( 1 – exp(-t/))
b) A.N= Vl = 7,75 cm.s-1 ;  = 7,9 ms za( ) = 0,22 mm
la vitesse limite est donc instantanément atteinte
c) Ce qui conduit à z=a  vl t pour t >>  soit tC = L/ vll = 12,9 s en très bon accord avec l’expérience
dans un tube de verre t’C = 0,45 s chute libre
la différence est spectaculaire
d)Les frottements visqueux de l’air apparaissent négligeables par rapport à la force de Laplace égale au
poids en régime permanent.
.