Chute aimant dans tube cuivre

Corrigé : Chute aimant dans tube cuivre
Partie II
II 1 Courant induit dans un circuit élémentaire

a) Dans le référentiel d’étude C est fixe , placé dans un champ B variable
à cause de la chute
pour zA > z : A se rapproche de C donc la valeur du flux de B décroît (de plus en
plus négatif); le circuit réagit contre la diminution du flux par la création d’un
courant induit qui crée un champ magnétique de flux opposé à celui dû à
l’aimant ,donc un courant induit positif .

b) A (M) =


m A Bi
i

0
ma
e
3/ 2
4 (a ²  ( z  z A )²)
c) zA dépend du temps donc le potentiel vecteur A aussi :

E m(M)= - 
30 ma( z  z A )v
A
A 

v e = 
t
z A
4 (a ²  ( z  z A )²)5/ 2

 

e

d) Courant induit dans C : di = j . n dS =  E m e dz e  =  Eme dz
3 e0 ma( z  z A )v
dz
4 (a ²  ( z  z A )²)5/ 2
résistance : dr = 2 a/  edz
di = - 
la fem induite est ei =


du signe de zA –z

E m . dl = Em2 a
c
Loi d’ohm : di = ei/dR = Em  e dz
II 2 Force exercée par le tuyau sur l’aimant
On utilise rot (rot (U))  grad(div(U))  U qui donne en utilisant les opérateurs en coordonnées
a)
M
M 1
M.r
1
1
et
soit
    M.    0
div    .div(M)  M.grad     3
r
r
r
r
r
r




 
 
  3r.(r.M) M 
B  o .
 3  et donc Br = (µ0/ 4  ) 2mcos / r3 ; B  = (µ0/ 4  ) m sin / r3 avec r = AM
4  r 5
r 
cartésiennes


b) Force de Laplace exercée par le champ B de l’aimant sur un élément dl du circuit C parcouru par le
courant di






d² F ’ = di dl
B = di dl ( Br e  - B  e r )
En projection su Oz : d²FZ’ = - di 2 a ( Br sin + B  cos  ) = - 3µ0ma cos  sin  /2 r3
c) sin  = a/r cos  = (z-za) /r r = AM
dF’Z = 
9 e 02 m² a 3 ( z  z A ) 2 v
8 (a ²  ( z  z A )²)5
d) Avec x = (z-zA )/r

L
0
dz et puis dFZ = -dF’Z
( z  z A )² dz
1
 7
5
(a ²  ( z  z A )²)
a

( L zA ) / a
 zA / a
x ² dx
1
 7
5
(1  x ²)
a

x ² dx
= 5 /128a7
 (1  x ²) 5

La fonction à intégrer équivalente pour x grand à 1/ x8 tend rapidement vers zéro.
L’erreur consiste à remplacer les bornes par
chute et tant que zA < L .
e) FZ = - 
450 ² em ²v
1024a 4
±  dès que zA > 0 c’est à dire très vite dès le début de le

du type F = -   comme une force de frottement fluide s’opposant à la
chute de l’aimant
f) AN :  = 3,7.10-2 kg .s-1
II 3. Mouvement de chute de l’aimant
a) m d /dt = m  -  vl = m/ 
 = vl /g
dv/dt + v/  = g v(t) = vl ( 1- exp(-t/ )) za = vl t – vl ( 1 – exp(-t/))
b) A.N= Vl = 7,75 cm.s-1 ;  = 7,9 ms za( ) = 0,22 mm
la vitesse limite est donc instantanément atteinte
c) Ce qui conduit à z=a  vl t pour t >>  soit tC = L/ vll = 12,9 s en très bon accord avec l’expérience
dans un tube de verre t’C = 0,45 s chute libre
la différence est spectaculaire
d)Les frottements visqueux de l’air apparaissent négligeables par rapport à la force de Laplace égale au
poids en régime permanent.
.