Cinématique

Cinématique
I Cadre de la mécanique classique
A) Système mécanique – masse
On assimile le système à un point matériel ( V  0 , pas de rotation, structure
interne homogène) caractérisé par sa position M dans l’espace, sa masse, sa charge…
Masse :
 Masse inerte : mesure de la répugnance d’un corps à voir son mouvement
modifié par une action extérieure.
Relation Fondamentale
de la Dynamique :



 F
F  mi a  a 
mi
Lorsque mi est élevé, a est plus faible (moins de modification du mouvement)
 Masse gravitationnelle : sensibilité d’un corps à l’interaction gravitationnelle.

Gmg m g ' 
Fgrav  
u
r2
mg ' mg

Principe d’équivalence : mi  m g , établi par Einstein et vérifié avec une
précision de 10-10 (Eötvös).
B) Espace et temps

Espace euclidien à 3 dimensions (somme des angles d’un triangle = 180°,
  
théorème de Pythagore…), repère cartésien (O, i , j , k ) . La définition d’un
1
s
mètre correspond à la distance parcourue par la lumière pendant
299792458

Le temps : paramètre réel qui s’écoule uniformément, mesuré par une horloge
(système physique périodique). 1s = 9192631770 périodes d’une transition
atomique de 133Cs

En réalité :
- Relativité restreinte  pas de temps absolu, il dépend du référentiel
considéré
- Relativité générale  espace non euclidien (espace courbe)
- Mécanique quantique  structure à petite échelle non continue (longueur
de Planck).
C) Référentiel
Notion de mouvement dépendant de l’observateur du mouvement ou du référentiel
Référentiel : ensemble d’observateurs, qui mesurent la position et le temps,
observateurs qui sont fixes les uns par rapport aux autres. C’est ainsi la donnée d’un
  
repère fixe (et éventuellement d’une horloge en relativité restreinte) (O, i , j , k )
Les observateurs auront une position fixe dans le temps.
Exemple : référentiel terrestre, référentiel du laboratoire, géocentrique…
II Système de coordonnées usuelles
A) Coordonnées cartésiennes
  
Espace rapporté à un repère (cartésien) triorthonormé direct R  (O, i , j , k )

      

  
( i  j , j  k , k  i , i  j  k  1, i  j  k )
Un point M de l’espace est repéré par ses coordonnées cartésiennes, où x
représente l’abscisse, y l’ordonnée, z la côte.

 
OM  xi  yj  zk
x
M ( x, y, z ) : OM y
z
M ( x, y, z)  OM est une fonction vectorielle des variables x, y, z.
d OM  OM '  OM où M ( x, y, z ), M ' ( x  dx, y  dy, z  dz )



d OM  dxi  dyj  dzk
B) Coordonnées cylindriques
  
On considère R  (O, i , j , k ) triorthonormal direct. Soit M un point de l’espace
repéré par ses coordonnées cylindriques.
Soit N le projeté orthogonal de M sur le plan xOy .
Soit H le projeté orthogonal de M sur l’axe (Oz .

ON
On pose   ON  HM distance de M à (Oz et e  


On pose   (i , ON )  [0;2 [ angle polaire
z  OH  NM côte de M.
Ainsi, M a pour coordonnées dans la base polaire (  ,  , z ) .
  

On pose e tel que (e , e , k ) soit triorthonormé direct.
z
H
M
 
k
O j
i
y
 

k
e
N 
x
e

 
(e , e , k ) est une base locale (elle dépend de M à cause de  et  )
Relation de passage :
 x   sin 

 y   cos 

        
e   ( e   i )i  ( e   j ) j  (e   k ) k
*

 


 cos   i  sin   j  0  cos   i  sin   j

        
e  (e  i )i  (e  j ) j  (e  k )k
*


  sin   i  cos   j


OM  ON  NM    e   z  k
Pour un déplacement infinitésimal :
 méthode géométrique


de  = Variation infinitésimale de e  pour un déplacement de M (  ,  , z ) à
M ' (   d ,   d , z  dz )




 e  ( M ' )  e  ( M )  e  (  d )  e  ( )


Donc de  appartient au plan polaire ( xOy ), et est perpendiculaire à e  :
 
 




e   e   1  d (e   e  )  0  2e   de   0  e   de 


 
Donc de  // e ; de   d  e
 

de  e ( M ' )  e ( M )

// e

de  d


de  d  e 

III
méthode analytique





de  d (cos   i )  d (sin   j )  d (cos  )  i  d (sin  )  j





  sin   d  i  cos   d  j  d ( sin   i  cos   j )  d  e






de  d ( sin  )  i  d (cos  )  j   cos   d  i  sin   d  j  d  e








d OM  d (   e  zk )  d  e    de  dz  k  d  e    d  e  dz  k
Les coordonnées sphériques seront vues dans la partie électrostatique (Chapitre 3)
Cinématique classique
A) Position et trajectoire
  
On se place dans un référentiel R  (O, i , j , k )
Soit un point matériel repéré par sa position M (t ) à l’instant t
Vecteur position OM (t ) (O est fixe)



OM (t )  x(t )  i  y(t )  j  z(t )  k . Les coordonnées x,y,z de M dépendent de t.


Ou OM (t )   (t )  e  (t )  z (t )  k
Définition : trajectoire = M (t ), t  R (elle dépend du référentiel)
B) Vitesse
M(t)
Trajectoire de M
M(t’)
Vitesse moyenne de M entre t et t’ dans (R) :

MM '
v moy 
t 't

Si t  t 't  0 , vmoy tend vers une limite, vitesse instantanée de M dans (R) à t :

M (t ) M (t  dt ) OM (t  dt )  OM (t ) d OM
v M /( R ) (t ) 


dt
dt
dt
( R)
Expression du vecteur vitesse :



* d OM (t )  dx(t )  i  dy(t )  j  dz(t )  k

 dy
 dz

d OM
dx
Donc vM /( R ) (t ) 
(t )  (t )  i  (t )  j  (t )  k
dt
dt
dt
dt




v M /( R ) (t )  x (t )  i  y (t )  j  z(t )  k



* d OM (t )  d  e     d  e  dz  k




Donc vM /( R ) (t )    e      e  z  k
Hodographe du mouvement :

Pour tout t, on définit un point P(t) tel que v M /( R ) (t )  OP (t )
Alors : hodographe = P(t ), t  R
C) Accélération

a M /( R ) (t )  lim


v M /( R ) (t  t )  v M /( R ) (t )
t
t t '  t 0

Donc a M /( R ) (t ) 

dv M /( R ) (t )


dv M /( R ) (t )
dt
( R)
d 2 OM

dt 2
( R)



 x(t )  i  y(t )  j  z(t )  k
dt
( R)







Ou a M /( R ) (t )    e      e      e      e        e  z  k




aM /( R ) (t )  (      2 )  e  (2      )  e  z k
IV Applications
A) Mouvements rectilignes
M se déplace sur une droite  fixe dans (R).
1) Grandeurs cinématiques


i
O


O et i sont fixes dans (R), (O, i ) est un repère cartésien sur  .





OM (t )  x(t )  i ; v M /( R ) (t )  x (t )  i ; a M /( R ) (t )  x(t )  i
2) Mouvements rectilignes uniformes
Un mouvement est dit rectiligne uniforme lorsque v x  cte



Ainsi, v M /( R ) (t )  v x  i  cte . Donc a M /( R ) (t )  0
t
x(t )  x(0)   v x dt '  v x  t . Donc x(t )  v x  t  x(0)
0
3) Mouvement rectiligne uniformément varié
Un mouvement est dit rectiligne uniformément varié lorsque a x  x est
indépendant du temps.
t
Ainsi, v x (t )  v x (0)   a x dt '  a x  t . Soit v x (t )  a x  t  v x (0)
0
t
t
t
0
0
0
Donc x(t )  x(0)   v x (t ' )dt '  a x  t ' dt '   v x (0)dt ' 
ax 2
t  v x (0)  t
2
ax 2
t  v x (0)  t  x(0)
2
Le mouvement est accéléré ou ralenti suivant la monotonie de la fonction


f  v : si f est croissante, le mouvement est accéléré ( v augmente), si f est

décroissante, le mouvement est décéléré ( v diminue).

 
2
v a le même sens de variation que v ou v  v
 


 
dv  v
dv
2
 v  2v  a
dt
dt ( R )
 
  
Si v  a  0 , le mouvement est accéléré ( (v , a )  )
2
 
  
Si v  a  0 , le mouvement est retardé ( (v , a )  )
2
Donc x(t ) 
4) Mouvement rectiligne sinusoïdal
Cas où x(t )  X cos(  t   ) , où X est l’amplitude,  la pulsation et  la
phase à l’origine. On a alors :
x (t )   X sin(   t   )
x(t )   X 2 cos(  t   )   2  x(t )


Donc a   2 OM  0
B) Mouvements circulaires
M se déplace sur un cercle, fixe dans (R)
1) Grandeurs cinématiques

e
y

i
O 
j


e
M (t )

O est le centre du cercle
  R  OM

  (i , OM )

On a : OM  R  e  (t )


Donc v M /( R ) (t )  R    e , le vecteur vitesse est tangent au cercle.



Et aM /(R) (t )  R    e  R   2  e
x
2) Mouvement circulaire uniforme
C’est un mouvement pour lequel v  R  cte , soit   cte
On pose    , vitesse angulaire de rotation


Ou     k , vecteur vitesse angulaire.

v  R   R   cte




  e  R 2  e   R 2  e
aM /( R )  R

0
Donc l’accélération est non nulle, et dirigée vers le centre du cercle
 
(centripète). a  v

 

 
v  cte  a  0 ; v  cte  v  a  0