Cinématique

I Cadre de la mécanique classique
A) Système mécanique – masse
On assimile le système à un point matériel (
0V
, pas de rotation, structure
interne homogène) caractérisé par sa position M dans l’espace, sa masse, sa charge…
Masse :
 Masse inerte : mesure de la répugnance d’un corps à voir son mouvement
modifié par une action extérieure.
Relation Fondamentale de la Dynamique :
i
im
F
aamF
Lorsque
i
m
est élevé, a est plus faible (moins de modification du mouvement)
 Masse gravitationnelle : sensibilité d’un corps à l’interaction gravitationnelle.
u
r
mGm
Fgg
mm
grav
gg
2
'
'
 Principe d’équivalence :
gi mm 
, établi par Einstein et vérifié avec une
précision de 10-10 (Eötvös).
B) Espace et temps
 Espace euclidien à 3 dimensions (somme des angles d’un triangle = 180°,
théorème de Pythagore…), repère cartésien
),,,( kjiO 
. La définition d’un
mètre correspond à la distance parcourue par la lumière pendant
s
299792458
1
 Le temps : paramètre réel qui s’écoule uniformément, mesuré par une horloge
(système physique périodique). 1s = 9192631770 périodes d’une transition
atomique de 133Cs
 En réalité :
- Relativité restreinte  pas de temps absolu, il dépend du référentiel
considéré
- Relativité générale  espace non euclidien (espace courbe)
- Mécanique quantique  structure à petite échelle non continue (longueur
de Planck).
C) Référentiel
Notion de mouvement dépendant de l’observateur du mouvement ou du référentiel
Référentiel : ensemble d’observateurs, qui mesurent la position et le temps,
observateurs qui sont fixes les uns par rapport aux autres. C’est ainsi la donnée d’un
repère fixe (et éventuellement d’une horloge en relativité restreinte)
),,,( kjiO 
Les observateurs auront une position fixe dans le temps.
Exemple : référentiel terrestre, référentiel du laboratoire, géocentrique…
Cinématique

II Système de coordonnées usuelles
A) Coordonnées cartésiennes
Espace rapporté à un repère (cartésien) triorthonormé direct
),,,( kjiOR 
(
kjikjiikkjji 
  ,1,,,
)
Un point M de l’espace est repéré par ses coordonnées cartésiennes, où x
représente l’abscisse, y l’ordonnée, z la côte.
z
y
x
OMzyxM
kzjyixOM
:),,(
OMzyxM ),,(
est une fonction vectorielle des variables x, y, z.
OMOMOMd '
où
),,('),,,( dzzdyydxxMzyxM 
kdzjdyidxOMd
B) Coordonnées cylindriques
On considère
),,,( kjiOR 
triorthonormal direct. Soit M un point de l’espace
repéré par ses coordonnées cylindriques.
Soit N le projeté orthogonal de M sur le plan
xOy
.
Soit H le projeté orthogonal de M sur l’axe
Oz(
.
On pose
HMON 
distance de M à
Oz(
et
ON
e
On pose
[2;0[),(  ONi
angle polaire
NMOHz
côte de M.
Ainsi, M a pour coordonnées dans la base polaire
),,( z
.
On pose
e
tel que
),,( kee 
soit triorthonormé direct.
z
y
x
M
O
e
e
N
H
k
k
i
j
),,( kee 
est une base locale (elle dépend de M à cause de et )
Relation de passage :
cos
sin
y
x
*
jiji
kkejjeiiee 
sincos0sincos
)()()(

*
ji
kkejjeiiee 
cossin
)()()(
kzeNMONOM 
Pour un déplacement infinitésimal :
 méthode géométrique
ed
= Variation infinitésimale de
e
pour un déplacement de
),,( zM
à
),,(' dzzddM 
)()()()'( edeMeMe  
Donc
ed
appartient au plan polaire (
xOy
), et est perpendiculaire à
e
:
edeedeeedee   020)(1
Donc
eed  //
;
eded  
e
MeMeed 
//
)()'( 
ded 
eded  
 méthode analytique
kdzededkdzededkzedOMd
edjdidjdided
edjidjdid
jdidjdided
)(
sincos)(cos)sin(
)cossin(cossin
)(sin)(cos)(sin)(cos
Les coordonnées sphériques seront vues dans la partie électrostatique (Chapitre 3)
III Cinématique classique
A) Position et trajectoire
On se place dans un référentiel
),,,( kjiOR 
Soit un point matériel repéré par sa position
)(tM
à l’instant t
Vecteur position
)(tOM
(O est fixe)
ktzjtyitxtOM 
  )()()()(
. Les coordonnées x,y,z de M dépendent de t.
Ou
ktztettOM 
 )()()()(
Définition : trajectoire =
RttM ),(
(elle dépend du référentiel)
B) Vitesse
Trajectoire de M
M(t)
M(t’)
Vitesse moyenne de M entre t et t’ dans (R) :
tt
MM
vmoy  ''
Si
0'  ttt
,
moy
v
tend vers une limite, vitesse instantanée de M dans (R) à t :
)(
)/( )()()()(
)(
R
RM dt
OMd
dt tOMdttOM dt dttMtM
tv 

Expression du vecteur vitesse :
*
ktdzjtdyitdxtOMd
  )()()()(
kt
dt
dz
jt
dt
dy
it
dt
dx
t
dt
OMd
tv RM
 )()()()()(Donc )/(
ktzjtyitxtv RM
 )()()()(
)/(
*
kdzededtOMd )(
Donc
kzeetv RM )(
)/(
Hodographe du mouvement :
Pour tout t, on définit un point P(t) tel que
)()(
)/( tOPtv RM 
Alors : hodographe =
RttP ),(
C) Accélération
)(
2
2
)(
)/()/()/(
0'
)/(
)()()(
lim)(
R
R
RMRMRM
ttt
RM dt
OMd
dt
tvd
t
tvttv
ta 
Donc
ktzjtyitx
dt
tvd
ta
R
RM
RM
 )()()(
)(
)(
)(
)/(
)/(
Ou
kzeeeeeta RM )(
)/(
kzeeta RM )2()()( 2
)/(
IV Applications
A) Mouvements rectilignes
M se déplace sur une droite fixe dans (R).
1) Grandeurs cinématiques
O
i
O et
i
sont fixes dans (R),
),( iO 
est un repère cartésien sur .
itxtaitxtvitxtOM RMRM
 )()(;)()(;)()( )/()/(
2) Mouvements rectilignes uniformes
Un mouvement est dit rectiligne uniforme lorsque
cte
x
v
Ainsi,
cte)(
)/(  ivtv xRM
. Donc
0)(
)/( ta RM
tvdtvxtx x
t
x 
0
')0()(
. Donc
)0()( xtvtx x
3) Mouvement rectiligne uniformément varié
Un mouvement est dit rectiligne uniformément varié lorsque
xax
est
indépendant du temps.

Ainsi,
tadtavtv x
t
xxx  
0
')0()(
. Soit
)0()( xxx vtatv 
Donc
tvt
a
dtvdttadttvxtx x
x
t
x
t
x
t
x  )0(
2
')0(''')'()0()( 2
000
Donc
)0()0(
2
)( 2xtvt
a
tx x
x
Le mouvement est accéléré ou ralenti suivant la monotonie de la fonction
vf 
: si f est croissante, le mouvement est accéléré (
v
augmente), si f est
décroissante, le mouvement est décéléré (
v
diminue).
v
a le même sens de variation que
2
v
ou
vv  
avv
dt
vd
dtvvd
R
22
)(
Si
0av 
, le mouvement est accéléré (
2
),( av 
)
Si
0av 
, le mouvement est retardé (
2
),( av 
)
4) Mouvement rectiligne sinusoïdal
Cas où
)cos()(  tXtx
, où X est l’amplitude, la pulsation et la
phase à l’origine. On a alors :
)()cos()(
)sin()(
22 txtXtx
tXtx
Donc
0
2
 OMa
B) Mouvements circulaires
M se déplace sur un cercle, fixe dans (R)
1) Grandeurs cinématiques
O est le centre du cercle
OMR
),( OMi
On a :
)(teROM
Donc
eRtv RM
)(
)/(
, le vecteur vitesse est tangent au cercle.
Et
eReRta RM
 2
)/( )(
2) Mouvement circulaire uniforme
C’est un mouvement pour lequel
cte Rv
, soit
cte
On pose , vitesse angulaire de rotation
Ou
k
, vecteur vitesse angulaire.
cte RRv 
x
y
O
i
j
)(tM
e
e