Mathématiques 1 - Concours Centrale

MATHÉMATIQUES I Filière PC
Concours Centrale-Supélec 1999
Partie I - Nombres de Bernoulli
Les polynômes que l’on considère sont à coefficients réels. On identifiera un
polynôme et la fonction polynomiale associée.
I.A - Suite des polynômes de Bernoulli
I.A.1) Montrer qu’il existe une et une seule suite de polynômes
vérifiant puis pour tout entier ,
et .
I.A.2) Montrer que chaque est un polynôme unitaire de degré . Déter-
miner , , .
I.A.3) On définit pour tout et pour tout , .
Montrer que, pour tout entier naturel , .
I.B - Nombres de Bernoulli
On pose, pour tout , .
I.B.1) Montrer que
, ,
et pour tout , .
I.B.2) Montrer que, pour tout entier , .
Partie II - Fonction génératrice des polynômes de Bernoulli
II.A - Montrer que la fonction définie sur par :
admet un prolongement de classe sur . (On pourra considérer la fonction
). En déduire que la fonction définie sur par :
si
et
est de classe sur pour tout entier .
II.B -
II.B.1) Déterminer, pour réel fixé, le développement limité à l’ordre en
de : .
B
n
()
nIN∈
B
01=
n
1≥
B
'n
nB
n1–
=Bnt() td
0
1
∫0=
B
n
n
B
1
B
2
B
3
nIN
∈
tIR
∈Cnt() 1–()
n
Bn1t–()=
n
C
n
B
n
=
nIN
∈
b
n
B
n0()=
B
01()
B
00() 1==B11() B10()–1
2
--
==
n
2≥
B
n1()
B
n0()=
p
1≥
b
2p1+ 0=
u
IR∗
xux()a
x
ex1–
--------------
=
C∞
IR
1
u
⁄φIR2
φxt,() xe
tx
ex1–
--------------
=
x
0≠
φ0
t
,()1=
C
k
IR2
k
0≥
t
30
x
φ
xt
,()a

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II.B.2) Expliciter
en fonction de , puis montrer pour que
.
II.B.3) La fonction est définie pour tout réel par :
c’est-à-dire .
Vérifier que , puis pour tout entier , que et
.
(Pour le calcul de on pourra déterminer ).
En déduire que la fonction est polynomiale et que, pour tout , .
II.B.4) Déterminer de deux manières, pour entier supérieur à et réel
fixé, le développement limité à l’ordre en de :
.
En déduire :
.
II.C - Donner une relation permettant de calculer les nombres de Bernoulli .
Écrire un algorithme permettant d’obtenir la valeur de , puis donner
la valeur (exacte ou approchée) de .
Partie III - Formule d’Euler Mac-Laurin
III.A - Dans cette question, est une fonction de dans de classe où
est un entier supérieur à . On pose pour tout entier compris entre et :
où désigne la dérivée -ième de .
III.A.1) Exprimer en fonction de , puis pour tout entier , en fonc-
tion de .
t∂
∂ φxt,()
φ
xt
,()
n
1≥
t∂
∂xn
n
∂∂ φxt,()x xn
n
∂∂ φxt,()nxn1–
n
1–
∂∂ φxt,()+=
a
n
t
ant() ∂
n
φ
∂xn
--------- 0t,()=ant() xn
n
∂∂ φxt,()
x0=
=
a
01=
n
1≥
a
n
′
na
n1–
=
ant()td
0
1
∫0=
ant()td
0
1
∫φxt,()td
0
1
∫
a
n
nIN
∈
a
n
B
n
=
n
1
t
n
0
xe
x
1–
x
-------------- aφxt,()
Bnt() tn1
n1+
-------------Cn1+
kBkt()
k0=
n
1–
∑
–=
b
n
b
2n
n
1≥()
b
10
f
01,[]
IR
C2
p
p
1
k
0
p
Rkf2
k
()
t()B2kt()
2k()!
-----------------------------------td
0
1
∫
=
f2
k
() 2
k
f
R
0
R
1
k
1≥
R
k
R
k1+

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III.A.2) En déduire :
.
III.B - Dans cette question, et sont deux réels tels que , est une fonc-
tion de dans de classe où est un entier supérieur à , est un
entier naturel supérieur où égal à . On pose
et l’on considère la subdivision de l’intervalle définie par :
, . Pour tout réel on considère où dési-
gne la partie entière du réel .
III.B.1) Montrer que
.
III.B.2) Montrer que
est égale à l’expression suivante :
,
où est défini par :
.
C’est la formule sommatoire d’Euler Mac-Laurin.
Partie IV - Application
est un réel donné, . On se propose dans cette partie de déterminer
un équivalent de :
.
( nombre complexe de carré ).
IV.A - À l’aide de la fonction : , exprimer en fonction de
ft() td
0
1
∫f0() f1()+
2
-----------------------------b2j
2j()!
-------------f2j1–()
1() f2j1–() 0()–[]Rp +
j1=
p
∑
–=
a
b
ab
<
g
ab
,[]
IR
C2
p
p
1
n
1
h
ba
–
n
------------
=
a
k
()
0kn≤≤
ab
,[]
akakh+=
0
kn
≤≤
x
x
〈〉
xEx
()–=
Ex
()
x
g2p() u()B2pua–
h
-------------
〈〉
ud
a
b
∫g2p()
u()B2pua
k
–
h
---------------
ud
ak
ak1+
∫
k0=
n
1–
∑
=
gt() td
a
b
∫
hga()
2
------------ga kh+()
gb()
2
------------
+
k1=
n
1–
∑
+b2j
2j()!
-------------h2jg2j1–()
b() g2j1–() a()–[]rpn, +
j1=
p
∑
–
r
pn,
rpn,h2
p
2p()!
--------------g2p()
u()B2pua–
h
-------------
〈〉
ud
a
b
∫
=
αα] 0,1 [∈
Sneikα
k1=
n
∑
=
i
1–
g
te
itα
a
S
n
gt() td
1
n
1+
∫

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et de dérivées successives de la fonction .
IV.B -
IV.B.1) Montrer que, lorsque , l’intégrale
est équivalente à . On pourra utiliser la technique d’intégration par
parties.
IV.B.2) En déduire un équivalent de
.
IV.C - Montrer que, pour tout entier naturel ,
( désigne la relation de domination lorsque ).
IV.D -
IV.D.1) Déterminer un entier naturel tel que la suite
soit bornée ; on pourra poser .
IV.D.2) En déduire un équivalent de quand tend vers l’infini.
••• FIN •••
g
n
∞→
Ineixx
1
α
--- 1–
xd
1
nα
∫
=
ieinαn1α–()
–
eitαtd
1
n
∫
j
1≥
g
j
()n() O=njα1–()
()
O
n
∞→
p
g2p() t()B2pt1–〈〉()td
1
n
1+
∫
nIN∈
M
2psup
B
2p
t
() 0
t
1≤≤,()=
S
n
n