Mathématiques 1 - Concours Centrale

MATHÉMATIQUES I
Filière PC
Partie I - Nombres de Bernoulli
Les polynômes que l’on considère sont à coefficients réels. On identifiera un
polynôme et la fonction polynomiale associée.
I.A - Suite des polynômes de Bernoulli
I.A.1)
Montrer qu’il existe une et une seule suite ( B n ) n ∈ IN de polynômes
vérifiant B 0 = 1 puis pour tout entier n ≥ 1 ,
B' n = nB n – 1 et
1
∫0 Bn(t) dt
= 0.
I.A.2)
Montrer que chaque B n est un polynôme unitaire de degré n . Déterminer B 1 , B 2 , B 3 .
I.A.3)
On définit pour tout n ∈ IN et pour tout t ∈ IR , C n ( t ) = ( – 1 ) n B n ( 1 – t ) .
Montrer que, pour tout entier naturel n , C n = B n .
I.B - Nombres de Bernoulli
On pose, pour tout n ∈ IN , b n = B n ( 0 ) .
I.B.1)
Montrer que
1
B 0 ( 1 ) = B 0 ( 0 ) = 1 , B 1 ( 1 ) = – B 1 ( 0 ) = -- ,
2
et pour tout n ≥ 2 , B n ( 1 ) = B n ( 0 ) .
I.B.2)
Montrer que, pour tout entier p ≥ 1 , b 2 p + 1 = 0 .
Partie II - Fonction génératrice des polynômes de Bernoulli
II.A - Montrer que la fonction u définie sur IR∗ par :
x
x a u ( x ) = -------------ex – 1
admet un prolongement de classe C ∞ sur IR . (On pourra considérer la fonction
2
1 ⁄ u ). En déduire que la fonction φ définie sur IR par :
xe tx
φ ( x, t ) = -------------- si x ≠ 0
ex – 1
et
φ ( 0, t ) = 1
k
est de classe C sur IR2 pour tout entier k ≥ 0 .
II.B II.B.1) Déterminer, pour t réel fixé, le développement limité à l’ordre 3 en 0
de : x a φ ( x, t ) .
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MATHÉMATIQUES I
II.B.2)
Filière PC
Expliciter
∂
φ( x, t)
∂t
en fonction de φ ( x, t ) , puis montrer pour n ≥ 1 que
n
n
n–1
∂ ∂
∂
∂
φ( x, t) = x
φ( x, t) + n n – 1 φ( x, t) .
∂t ∂ xn
∂ xn
∂x
II.B.3)
La fonction a n est définie pour tout réel t par :
n
n
∂ φ
∂
a n(t) = --------n-(0, t) c’est-à-dire a n(t) =
φ( x, t)
∂x
∂ xn
.
x=0
Vérifier que a 0 = 1 , puis pour tout entier n ≥ 1 , que a n′ = na n – 1 et
1
∫0 an ( t ) dt
= 0.
1
1
(Pour le calcul de ∫ a n ( t ) dt on pourra déterminer ∫ φ ( x, t ) dt ).
0
0
En déduire que la fonction a n est polynomiale et que, pour tout n ∈ IN , a n = B n .
II.B.4) Déterminer de deux manières, pour n entier supérieur à 1 et t réel
fixé, le développement limité à l’ordre n en 0 de :
ex – 1
x a -------------- φ ( x, t ) .
x
En déduire :
1
B n ( t ) = t n – ------------n+1
n–1
∑ Cn + 1 Bk ( t ) .
k
k=0
II.C - Donner une relation permettant de calculer les nombres de Bernoulli b n .
Écrire un algorithme permettant d’obtenir la valeur de b 2n ( n ≥ 1 ) , puis donner
la valeur (exacte ou approchée) de b 10 .
Partie III - Formule d’Euler Mac-Laurin
III.A - Dans cette question, f est une fonction de [ 0, 1 ] dans IR de classe C 2 p où
p est un entier supérieur à 1 . On pose pour tout k entier compris entre 0 et p :
Rk =
1 f ( 2k )(t)B 2k(t)
- dt
∫0 ---------------------------------( 2k )!
( 2k )
où f
désigne la dérivée 2k -ième de f .
III.A.1) Exprimer R 0 en fonction de R 1 , puis pour tout entier k ≥ 1 , R k en fonction de R k + 1 .
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III.A.2) En déduire :
f (0) + f (1)
-–
∫0 f (t) dt = ---------------------------2
1
p
b2 j
-[ f
∑ -----------( 2 j )!
(2 j – 1)
(1) – f
(2 j – 1)
(0)] + R p .
j=1
III.B - Dans cette question, a et b sont deux réels tels que a < b , g est une fonction de [ a, b ] dans IR de classe C 2 p où p est un entier supérieur à 1 , n est un
entier naturel supérieur où égal à 1 . On pose
b–a
h = -----------n
et l’on considère la subdivision ( a k ) 0 ≤ k ≤ n de l’intervalle [ a, b ] définie par :
a k = a + kh , 0 ≤ k ≤ n . Pour tout réel x on considère ⟨ x⟩ = x – E( x) où E( x) désigne la partie entière du réel x .
III.B.1) Montrer que
b
u–a 
-⟩ du =
∫a g ( 2 p )(u)B2 p  ⟨ -----------h 
n–1
ak + 1
∑ ∫a
k=0
k
u – ak
g ( 2 p )(u)B 2 p  --------------- du .
 h 
III.B.2) Montrer que
b
∫a g(t) dt
est égale à l’expression suivante :
g(a)
h ------------ +
2
n–1
∑
k=1
g(b)
g ( a + kh ) + ------------ –
2
p
b2 j
-h
∑ -----------( 2 j )!
2j
[g
(2 j – 1)
(b) – g
(2 j – 1)
( a ) ] + r p ,n ,
j=1
où r p ,n est défini par :
h2 p b
u–a
r p, n = -------------- ∫ g ( 2 p )(u)B 2 p  ⟨ -------------⟩ du .
 h 
( 2 p )! a
C’est la formule sommatoire d’Euler Mac-Laurin.
Partie IV - Application
α est un réel donné, α ∈ ] 0,1 [ . On se propose dans cette partie de déterminer
un équivalent de :
n
Sn =
∑ e ik
α
.
k=1
( i nombre complexe de carré – 1 ).
IV.A - À l’aide de la fonction g : t a e it α , exprimer S n en fonction de
n+1
∫1
g(t) dt
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et de dérivées successives de la fonction g .
IV.B IV.B.1)
Montrer que, lorsque n → ∞ , l’intégrale
In =
n
∫1
α
 --1- – 1
ix  α 
e x
dx
est équivalente à – ie in α n ( 1 – α ) . On pourra utiliser la technique d’intégration par
parties.
IV.B.2) En déduire un équivalent de
n
∫
e it α dt .
1
IV.C - Montrer que, pour tout entier naturel j ≥ 1 ,
g
( j)
(n) = O(n j(α – 1) )
( O désigne la relation de domination lorsque n → ∞ ).
IV.D IV.D.1)


Déterminer un entier naturel p tel que la suite
n+1
∫
1
g ( 2 p )(t)B 2 p( ⟨ t – 1⟩ ) dt
 n ∈ IN
soit bornée ; on pourra poser M 2 p = sup ( B 2 p ( t ) , 0 ≤ t ≤ 1 ) .
IV.D.2) En déduire un équivalent de S n quand n tend vers l’infini.
••• FIN •••
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