Polynômes de Bernouilli et intégration

IUFM du Limousin 2009-10
PLC1 Mathématiques
S. Vinatier Exercice à rédiger
Polynômes de Bernouilli et intégration
Problème
Le but de cet exercice est l’étude de propriétés liées aux polynômes de Bernouilli.
Pour tout nombre entier naturel ktel que 0≤k≤n, on note n
kle nombre de combi-
naisons de kéléments pris parmi n. On rappelle que n
k=n! k!(n−k)! .
On admet, dans tout cet exercice, qu’il existe une unique suite (bn)n∈Ndéfinie par la
condition initiale b0= 1 et la relation de récurrence n−1
P
k=0 n
kbk= 0, valable pour tout nentier
supérieur ou égal à 2.
On appelle nombres de Bernouilli les nombres réels notés bkainsi définis.
On appelle polynômes de Bernouilli les polynômes Bn(X)définis par : B0(X)=1et
pour tout nombre entier naturel non nul n,Bn(X) = n
P
k=0 n
kbkXn−k.
1. Déterminer b1,b2,b3et b4. Montrer en particulier que b4=−1
30 .
2. Déterminer les polynômes B1(X),B2(X)et B3(X).
3. Vérifier que, pour tout nombre entier nsupérieur ou égal à 2,Bn(0) = Bn(1) = bn.
4. Démontrer que, pour tout nombre entier nsupérieur ou égal à 1,B0
n(X) = nBn−1(X).
5. En déduire que, pour tout nombre entier nsupérieur ou égal à 1,R1
0Bn(t)dt= 0.
6. Établir par récurrence que, pour tout nombre entier nsupérieur ou égal à 1,
Bn(X+ 1) −Bn(X) = nXn−1.
7. En déduire que pour tout nombre entier naturel m, et pour tout nombre entier n≥2, on
a : m
X
k=0
kn=1
n+ 1Bn+1(m+ 1) −Bn+1(0).
Retrouver alors la formule donnant m
P
k=0
k2.
8. On admet dans les questions suivantes que la suite (Bn)est l’unique suite de polynômes
vérifiant les propriétés démontrées aux questions 4et 5et telle que B0(X) = 1.
Pour tout nombre entier naturel n, on pose : An(X) = (−1)nBn(1 −X).
a) Démontrer que la suite (An)est confondue avec la suite (Bn).
b) En déduire que pour tout nombre entier psupérieur ou égal à 1,b2p+1 = 0.
9. Soient net pdeux nombres entiers supérieurs ou égaux à 1. Soit fune fonction de classe
C2p+1 sur l’intervalle [0 ; 1]. Pour tout nombre entier naturel non nul n, on désigne par
f(n)la dérivée d’ordre nde fet on pose par convention f(0) =f.
1

a) Montrer que, pour tout nombre entier nde l’intervalle [2 ; 2p+ 1], on a :
Z1
0
f(n)(t)×Bn(t)dt=bn×f(n−1)(1) −f(n−1)(0)−n×Z1
0
f(n−1)(t)×Bn−1(t)dt .
b) En déduire que, pour tout nombre entier naturel kde l’intervalle [1 ; p], on a :
1
(2k+ 1)! Z1
0
f(2k+1)(t)×B2k+1(t)dt=
=−b2k
(2k)! ×f(2k−1)(1) −f(2k−1)(0)+1 (2k−1)! Z1
0
f(2k−1)(t)B2k−1(t)dt .
c) Montrer alors la première formule d’Euler-Mac Laurin :
Pour tout nombre entier naturel pnon nul,
Z1
0
f(x)dx=
f(0) + f(1)
2−
p
X
k=1
b2k
f(2k−1)(1) −f(2k−1)(0)
(2k)! −1 (2p+ 1)! Z1
0
f(2p+1)(t)B2p+1(t)dt .
Questions subsidiaires
1. Établir l’existence et l’unicité d’une suite de nombres rationnels (un)n∈Nsatisfaisant les
conditions :
u0= 1 et ∀n≥2,
n−1
X
k=0 n
k!uk= 0 .
2. Établir l’existence et l’unicité d’une suite de polynômes à cœfficients rationnels (Un)n∈N
satisfaisant les conditions :
U0(X)=1 et ∀n≥1, U0
n(X) = nUn−1(X),Z1
0
Un(t)dt= 0 .
2