IUFM du Limousin PLC1 Mathématiques S. Vinatier 2009-10 Exercice à rédiger Polynômes de Bernouilli et intégration Problème Le but de cet exercice est l’étude de propriétés liées aux polynômes de Bernouilli. n Pour tout nombre entier naturel k tel que 0 ≤ k ≤ n, on note k le nombre de combi n! naisons de k éléments pris parmi n. On rappelle que nk = k!(n−k)! . On admet, dans tout cet exercice, qu’il existe une unique suite (bn )n∈N définie par la condition initiale b0 = 1 et la relation de récurrence n−1 P k=0 n k bk = 0, valable pour tout n entier supérieur ou égal à 2. On appelle nombres de Bernouilli les nombres réels notés bk ainsi définis. On appelle polynômes de Bernouilli les polynômes Bn (X) définis par : B0 (X) = 1 et pour tout nombre entier naturel non nul n, Bn (X) = n P n k=0 k bk X n−k . 1 1. Déterminer b1 , b2 , b3 et b4 . Montrer en particulier que b4 = − 30 . 2. Déterminer les polynômes B1 (X), B2 (X) et B3 (X). 3. Vérifier que, pour tout nombre entier n supérieur ou égal à 2, Bn (0) = Bn (1) = bn . 4. Démontrer que, pour tout nombre entier n supérieur ou égal à 1, Bn0 (X) = nBn−1 (X). 5. En déduire que, pour tout nombre entier n supérieur ou égal à 1, R1 0 Bn (t) dt = 0. 6. Établir par récurrence que, pour tout nombre entier n supérieur ou égal à 1, Bn (X + 1) − Bn (X) = nX n−1 . 7. En déduire que pour tout nombre entier naturel m, et pour tout nombre entier n ≥ 2, on a: m X 1 kn = Bn+1 (m + 1) − Bn+1 (0) . n+1 k=0 Retrouver alors la formule donnant m P k2. k=0 8. On admet dans les questions suivantes que la suite (Bn ) est l’unique suite de polynômes vérifiant les propriétés démontrées aux questions 4 et 5 et telle que B0 (X) = 1. Pour tout nombre entier naturel n, on pose : An (X) = (−1)n Bn (1 − X). a) Démontrer que la suite (An ) est confondue avec la suite (Bn ). b) En déduire que pour tout nombre entier p supérieur ou égal à 1, b2p+1 = 0. 9. Soient n et p deux nombres entiers supérieurs ou égaux à 1. Soit f une fonction de classe C 2p+1 sur l’intervalle [0 ; 1]. Pour tout nombre entier naturel non nul n, on désigne par f (n) la dérivée d’ordre n de f et on pose par convention f (0) = f . 1 a) Montrer que, pour tout nombre entier n de l’intervalle [2 ; 2p + 1], on a : Z 1 0 f (n) (t) × Bn (t) dt = bn × f (n−1) (1) − f (n−1) (0) − n × Z 1 0 f (n−1) (t) × Bn−1 (t) dt . b) En déduire que, pour tout nombre entier naturel k de l’intervalle [1 ; p], on a : Z 1 1 f (2k+1) (t) × B2k+1 (t) dt = (2k + 1)! 0 Z 1 b2k 1 (2k−1) (2k−1) =− × f (1) − f (0) + f (2k−1) (t)B2k−1 (t) dt . (2k)! (2k − 1)! 0 c) Montrer alors la première formule d’Euler-Mac Laurin : Pour tout nombre entier naturel p non nul, Z 1 f (x) dx = 0 Z 1 p f (2k−1) (1) − f (2k−1) (0) 1 f (0) + f (1) X f (2p+1) (t)B2p+1 (t) dt . − b2k − 2 (2k)! (2p + 1)! 0 k=1 Questions subsidiaires 1. Établir l’existence et l’unicité d’une suite de nombres rationnels (un )n∈N satisfaisant les conditions : ! n−1 X n u0 = 1 et ∀ n ≥ 2 , uk = 0 . k=0 k 2. Établir l’existence et l’unicité d’une suite de polynômes à cœfficients rationnels (Un )n∈N satisfaisant les conditions : U0 (X) = 1 et ∀n ≥ 1, Un0 (X) 2 = nUn−1 (X) , Z 1 0 Un (t) dt = 0 .