Physique. Devoir surveillé N°1.

PCSI. 01/02. Durée 3 heures. CALCULATRICE INTERDITE.
Physique.
Devoir surveillé N°1.
m
o
c
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire
et lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
.
b
e
w
a
l
o
Exercice 1. Mouvement d'un point matériel sur une spirale tracée sur un cône
Soit C la courbe d'équations paramétriques, en coordonnées cartésiennes :
 x  ro e cos 


 y  ro e sin  où ro , a sont des constantes positives


 z  aro e
 représente l'angle entre l'axe (Ox) et le vecteur OH , où H est la projection de M sur le plan (Oxy).
Un point M se déplace sur C.
1. Déterminer les composantes cartésiennes des vecteurs vitesse et accélération ( pour cette
question seulement on considérera que la vitesse angulaire est constante ).
En déduire l’expression du module de ces vecteurs.
2. Déterminer la position du point M en coordonnées cylindriques d'axe (Oz).
3. Déterminer l'abscisse curviligne s() . On choisira s( = 0) = 0 et on orientera la courbe dans
le sens des  croissants.
4. Déterminer le vecteur unitaire tangent T en un point M de la courbe. Ce vecteur sera orienté
dans le sens des  croissants et il sera exprimé dans la base des coordonnées cylindriques.
5. Montrer que le vecteur N du trièdre de Frenet ( T , N , B ) en un point M de la courbe a pour
1
expression : N 
(e  er ) .
2
Déterminer l’expression du vecteur B .
En déduire le rayon de courbure Rc de C en M .
6. On suppose que le mouvement de M sur C est uniforme et que (0) = 0 .
w
w
w
h
.k
On pose v = v > 0. Déterminer la loi du mouvement  (t) .
Exercice 2. Modèle mésoscopique de la conduction.
Un métal, de masse volumique , de résistivité et de masse atomique Mest en équilibre thermique.
Les électrons libres ont une vitesse moyenne d’agitation thermique qui ne sera pas considérée dans ce
qui suit.
Placés dans un champ E o , ces électrons acquièrent une vitesse d’ensemble ou de dérive v à travers le
mv
.

1. A la date t = 0, un champ E o est appliqué. Le mouvement d’un électron de masse m et de
charge –e est décrit dans le cadre de la mécanique classique, dans un référentiel galiléen
Oxyz, de base ( u x , u y , u z ), dans lequel E o  Eo u x . On néglige l'action de la pesanteur.
Ecrire l'équation différentielle du mouvement de l'électron.
Donner la dimension de la constante .
2. Vérifier que l’expression suivante est solution de l’équation différentielle :
t

e
v   (1  e  ) E o .
m
Montrer que la vitesse tend vers une limite v , que l'on exprimera.
Exprimer en fonction de  le temps au bout duquel l'électron atteint cette vitesse à 99 % près.
métal qui exerce sur eux une action équivalente à une force de frottement fluide F  
3. Le milieu est constitué par un fil cylindrique homogène de section s et de longueur l. La d.d.p.
appliquée à ses bornes est constante et égale à U.
Déterminer l’expression de l’intensité I qui traverse ce fil sachant que la concentration
volumique des électrons est n*.
4. Déterminer l’expression de la résistance R du fil et celle de la conductivité  du métal.
5. Déterminer l’expression de . Faire l’application numérique.
-8
3
m
o
c
-3
-31
 m ;  kg.m ; M = 63,5 g/mol ; m = 
-19
23
-1
e = 1,6.10 C ; Nombre d'Avogadro : Na = 6,02.10 mol .
Données :
.
b
e
w
a
l
o
kg
Exercice 3. Composition de deux mouvements circulaires.
Un point A se déplace sur un cercle C de rayon r, de centre O : C est vertical et tourne autour d'un de
ses diamètres (Oz) à la vitesse angulaire constante  . Soit :
  = Oz, OA ;
  l'angle entre un plan vertical fixe (xOz) et le plan du cercle ;
 R le référentiel fixe (Oxyz)
 R' le référentiel (Ox’y’z’) lié au cercle.


w
w
w
h
.k
Tous les vecteurs seront exprimés dans la base ( ex ', e y ', ez ' ) liée au référentiel tournant R’ sauf indication contraire.
1. Exprimer le vecteur position OA . En déduire par le calcul direct les vecteurs vitesse et
accélération de A dans R exprimés dans la base de R’.
2. Exprimer en fonction de  les vecteurs vitesse et accélération de A par rapport à R' dans la
base de la base des coordonnées polaires sur le cercle, puis dans la base de R’.
3. Déterminer la trajectoire du point coïncident A* de A dans le référentiel R . Exprimer alors la
vitesse d'entraînement et les accélérations d'entraînement et de Coriolis du point A.
4. En déduire, en appliquant les lois de composition des vitesses et des accélérations, les vecteurs vitesse et accélération de A par rapport à R, exprimés dans la base de R'. Montrer que
l'on retrouve bien le résultat de la question 1.
PCSI. 01/02. Durée 4 heures. CALCULATRICE INTERDITE.
Physique.
Devoir surveillé N°2.
m
o
c
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire et
lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
.
b
e
w
a
l
o
Problème 1. Analyse d’un réseau linéaire par le théorème de Thévenin.
On dispose de deux générateurs de tension de f.é.m E1 et E2 , de deux résistances r, et de trois résistances
R. Avec ces éléments on réalise le montage suivant :
w
w
w
h
.k
En utilisant le théorème de Thévenin, on se propose de déterminer le courant i circulant dans R entre les
points A et B.
1) Déterminer la résistance équivalente Req entre A et B.
2) Déterminer la f.é.m équivalente Eeq du générateur de Thévenin pour le circuit ouvert entre A et
B. Pour déterminer cette grandeur on demande d'appliquer le théorème de Millman.
3) Déterminer l'expression du courant i.
On fixe les résistances r, et on fait varier R.
4) Pour quelle valeur de R, le courant i est-il maximum ? Quel est alors son expression imax ?
Problème 2. Mouvement d'un point matériel sur une courbe hélicoïdale
On considère un cylindre circulaire droit de rayon r et de hauteur 2 r, auquel est lié un repère
orthonormé direct Oxyz : Oz est l'axe vertical du cylindre et Oxy est la base inférieure horizontale. La face
latérale porte un tube mince de forme hélicoïdale HB dans lequel se déplace un petit objet A de masse m
assimilable à un point matériel. La définition paramétrique de la trajectoire de A est:
x = rcos
y = rsin
z = r(2 - ) avec 0 <  < 2 .
Le point H correspond à  = 0 et le point B à  = 2.
m
o
c
h
.k
.
b
e
w
a
l
o

Remarque. Le point A subit deux forces de réaction: celle du tube hélicoïdal notée R et celle de la

surface latérale du cylindre circulaire que l’on nomme « réaction d’appui » et notée N .

Le cylindre est maintenu fixe et A glisse sans frottement sous l'action de son poids m g . Il est abandonné
en H sans vitesse initiale.
w
w
w
1) Déterminer la loi s = f(), c'est-à-dire l'abscisse curviligne s() de A sur sa trajectoire en
fonction de l’angle polaire .

2) A partir de sa définition, déterminer les composantes du vecteur tangentiel ut de la base de
 
Frenet dans la base ( i, j , k ) du repère Oxyz.
3) Par application de la fondamentale de la dynamique (projetée judicieusement !), montrer que la
loi horaire du mouvement, c'est-à-dire l'abscisse curviligne s(t) de A sur sa trajectoire en
1
fonction du temps s’écrit : s 
gt 2 .
2 2
4) Calculer le temps mis par A pour atteindre le point B et la vitesse en B.
On suppose que le glissement de A se fait maintenant avec frottement. On admet que la valeur de la force

f de frottement est proportionnelle à la valeur de la réaction normale au déplacement, soit :
 
f   R  N avec  < 1 facteur de frottement constant. Ceci constitue la loi de Coulomb.
 
5) Calculer, en fonction de (t) et de ses dérivées, l'accélération de A dans la base ( i, j , k ) du
repère Oxyz.
6) Déterminer en fonction de r, de (t) et de ses dérivées, l'accélération de A dans la base de
Frenet.
7) Exprimer, dans cette base, les projections des forces qui s’appliquent sur A.
8) Ecrire les équations du mouvement et déduire de la loi de Coulomb l'équation différentielle
vérifiée par .
9) En tenant compte du résultat de la question précédente et, après avoir déterminé l’expression du
rayon de courbure  de la trajectoire, exprimer l’équation différentielle relative à s(t).
10) Montrer que s(t ) croît et tend vers une limite que l’on déterminera.
Problème 3. Recherche de positions d’équilibre stables.
A. Pendule simple.
On considère un point matériel P de masse m, attaché à l'extrémité d'un fil inextensible et sans masse, de
longueur OP = a, accroché en un point fixe O du repère terrestre. On considère le référentiel terrestre


galiléen. On considère le champ de pesanteur uniforme: g = g uz . Oz désigne la verticale descendante.
Soit A le point de Oz de cote z = a. Les mouvements de P sont considérés plans et repérés au cours du
 
temps par l'angle  = ( OA, OP ).
m
o
c
1.
w
3.
h
.k
En négligeant les frottements et en appliquant le théorème du moment cinétique en O, établir
l'équation du mouvement en  : équation (1).
En notant o la valeur de  dans une position d'équilibre possible, écrire l'équation (2) qui
définit ces positions. Montrer que o peut prendre deux valeurs différentes 1 et 2 que l’on
calculera.
Exprimer en fonction de g et a la pulsation o des petites oscillations de P autour de sa position
d'équilibre stable.
w
w
2.
.
b
e
w
a
l
o
B. Pendule simple soumis a une force supplémentaire.

Un dispositif approprié fait que le point B situé sur l'axe Oz à la cote b > a exerce sur P une force F
k
centrale de centre B, répulsive, de norme 2 où k est une constante positive et r la distance entre B et P.
r
Le fil reste tendu et inextensible de longueur a.
4.
5.
6.
7.
kb
. Quelle est l’unité de  ?
mg
Exprimer la distance r en fonction de a, b, et .
Calculer le moment en O de la force F en fonction de k, a, b,  , r, et des vecteurs de la base
  
( u x , u y , u z ).
On pose  3 
Déterminer la nouvelle équation du mouvement en . On l'exprimera sous la forme :
   o2 . f ( ) . Déterminer f() en fonction de ,  et r. Cette équation est appelée (1’).
8.
9.
Ecrire les équations (2') qui déterminent les valeurs o de  qui correspondent à d'éventuelles
positions d'équilibre. Montrer que, en plus des deux valeurs o = 1 et o = 2 indépendantes
de , il peut exister une troisième position d'équilibre o = 3().
Déterminer les conditions sur  pour que o = 3 existe. Faire apparaître les trois domaines:
domaine  :  < 1
domaine  : 1<  < 2
domaine  :  > 2,
1 et 2 étant des valeurs qu’on déterminera en fonction de a et b.

Dans quel domaine se situe la situation du 1: absence de F ? En déduire, pour ce domaine, la
stabilité ou instabilité des différentes positions d'équilibre existantes.
w
w
w
m
o
c
h
.k
.
b
e
w
a
l
o
PCSI. 01/02. Durée 4 heures.
Physique.
Devoir surveillé N°3.
m
o
c
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire et
lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
.
b
e
w
a
l
o
Exercice 1. Régime de vent dans l’atmosphère.
On définit le repère Oxyz associé au référentiel terrestre RT :
w
w
h
.k
O est un point de la surface de la Terre (de centre T). L'axe Ox est porté par un parallèle et orienté dans le
sens Ouest-Est. L'axe Oy est porté par un méridien et orienté dans le sens Sud-Nord. L'axe Oz est porté
par le rayon (TO) et orienté de T vers O.
Le référentiel terrestre n'est pas considéré galiléen ; par contre on supposera confondue la verticale en O
avec le rayon (TO).
Une particule fluide de l'atmosphère, de masse m, est étudiée dans le référentiel terrestre RT.




La particule fluide est soumise à des forces de pression F  Fx ex  Fy e y  Fz ez .


On note v( x, y , z ) et a ( 
x, 
y, 
z ) respectivement la vitesse et l'accélération de la particule dans RT.
Des observations sont réalisées pendant une durée T = 24 h jusqu'à l'altitude de la troposphère ( c'est-àdire 10000 m ) sur une région d'environ 1000 km de diamètre au sol et située à des latitudes voisines de 

= 45°. Ces observations montrent que les composantes horizontales de la vitesse v de la particule fluide :
x et y , sont de l'ordre de U = 10 m/s et que la composante verticale est de l'ordre de W = 1 cm/s. De
plus si on néglige les « coups de vent » (effets turbulents de courte durée), pour ne retenir qu'un vent
moyen, les composantes

U
W
de l'accélération a ne dépassent pas
pour x et y (respectivement
pour z ).
T
T
w
  

1. Etablir la relation entre a, v, F , m , le champ de pesanteur g et le vecteur rotation de la Terre sur

elle-même T (on donne T  7, 29.105 rad/s et g = 9,81 m/s2 )
2. Projeter cette relation sur le repère Oxyz.
Montrer que l'on peut procéder à un certain nombre de simplifications. On pourra effectuer des
applications numériques pour faciliter les comparaisons. Donner le nouveau système
d’équations différentielles.
En déduire que la vitesse horizontale de la particule est orthogonale au champ de force

horizontal F horizontal .
Quelle relation a-t-on entre vhorizontal et Fhorizontal ?
3. En mécanique des fluides on démontre que les forces de pression s'exerçant sur un petit volume

m 
de fluide de masse m sont équivalentes à F   grad p ( p est la pression atmosphérique au

point M où se trouve la particule fluide et  sa masse volumique). Montrer que Fhorizontal est
orthogonale aux courbes isobares, obtenues par intersection entre une surface isobare et un plan
horizontal, et orientée des zones de hautes pressions (anticycloniques) vers les zones de basses
pressions (dépressionnaires). En déduire la direction et le sens des vents dans le cas de la figure
ci-après établie dans l’hémisphère Nord.
m
o
c
4.
h
.k
.
b
e
w
a
l
o
Estimer la vitesse moyenne des vents dans le cas de la figure ci-après.
(on prendra  = 1,3 kg.m-3 pour la masse volumique de l'air)
w
w
Exercice 2 . Equilibre et petits mouvements d’une perle solidaire d’un cerceau et liée
à un ressort.
w
Une petite perle M, de masse m, est solidaire d'une rigole semi-circulaire (de centre O, de rayon a et
contenue dans un plan vertical fixe Oxy) sur laquelle elle peut glisser sans frottement. La perle M est
liée à un ressort de raideur k de longueur à vide lo  a 2 et de masse négligeable, dont l'autre
extrémité est fixée en O’ (O’O = a et O’ appartient à la verticale Ox).
 


L’ensemble perle M-ressort est repéré, par l'angle  = O ' x, O ' M , avec     .
4
4
1. Déterminer la distance O’M en fonction de a et cos.
2. Déterminer l'expression de l'énergie potentielle totale Ep( ) du système perle-ressort, en
fonction de g, k, lo, m, a et cos.
3. Montrer que le système admet trois positions d'équilibre  qu'on déterminera à l'aide des
données.
2a
3mg
4. On choisit les caractéristiques du ressort : lo 
et k 
; dans ces conditions déterminer
a
3
les positions d’équilibre et préciser leur stabilité.
5. Déterminer l’équation différentielle du second ordre vérifiée par (t).
On donne a = 20 cm et g = 9,8 m/s2


Exercice 3. Amplificateur différentiel. Soustracteur pondéré de tensions.
On supposera les amplificateurs opérationnels idéaux et en fonctionnement linéaire.
On considère le montage suivant :
m
o
c
.
b
e
w
a
l
o
1. Montrer que ce dispositif qui est un amplificateur différentiel délivre à la sortie la tension :
vs  A  v2  v1  .
Exprimer le gain différentiel A en fonction du coefficient k sans dimension.
w
w
h
.k
On considère maintenant l’opérateur soustracteur pondéré, représenté ci-dessous.
w
2. Exprimer la tension de sortie vs en fonction des tensions d’entrée v1 , v2 et des coefficients k1 et
k2 .
3. Quelle relation doit lier k1 et k2 pour obtenir un amplificateur différentiel dont on déterminera le
gain différentiel en fonction de k1 .
4. Déterminer les résistances d’entrée de chacune des voies 1 et 2.
Exercice 4. Réponse d’un circuit RLC à deux mailles à un échelon de tension.
Dans le réseau représenté ci-dessous, le condensateur est déchargé à l’instant t = 0 où on ferme
l’interrupteur K.
1.
2.
Déterminer l’équation différentielle vérifiée par i2 (t ) .
Donner ensuite son expression numérique.
L = 1 H, r = 100, R = 1000 , C = 10 F et E = 200 V.
Déterminer la solution i2 (t ) .
w
w
w
.
b
e
w
a
l
o
h
.k
m
o
c
PCSI. 01/02. Durée 4 heures.
Physique
Devoir surveillé N°4.
m
o
c
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation
claire et lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Les questions sont numérotées. Les réponses à ces questions devront être données sous forme
littérale la plus simplifiée possible, encadrées, avant toute application numérique. Toute réponse
non justifiée sera considérée comme fausse.
.
b
e
w
a
l
o
Problème 1. Etude d’un dispositif filtrant.
Les parties A et B sont indépendantes.
A. Réponse du circuit à un échelon de tension.
On considère un circuit électrique constitué d’un générateur G, d'un interrupteur K, d’une
résistance R puis d'un condensateur de capacité C et d’une bobine d’inductance L montés en
parallèle entre les points A et B. Le générateur fournit une tension continue E positive; on
considère la résistance de la bobine comme négligeable.
w
w
w
h
.k
Soient i, il et i2 les intensités, en fonction du temps, des courants relatifs aux différentes branches
du circuit et q2 la charge du condensateur.
1. A un instant donné que l'on prendra comme origine des temps, le circuit est fermé:
sachant que le condensateur a été déchargé au préalable, indiquer les expressions de
i(o), i1(o), i2(o) et q2(o). Comment se comporte ce circuit juste après la fermeture?
Au bout d’un temps considéré comme infini, déterminer i(), i1() et i2().
Comment se comporte alors le circuit ?
2. Etablir que i est solution d’une équation différentielle du second ordre à coefficients
constants de la forme:
d 2i
di
a 2  b  i  cE
dt
dt
et donner les expressions des paramètres a, b et c.
3. On suppose réalisée la condition: L < 4R2C ; démontrer que la solution de
l’équation différentielle précédente est donnée par :
E
i   e t ( A cos t  B sin t )
R
Expliciter les paramètres  et  en fonction des données du problème.
4. Sachant que les conditions initiales comprennent en particulier q2(o) = 0 et i1(o) = 0,
déterminer les constantes A et B. En déduire les expressions, en fonction du temps, de i,
i1 et i2 (on donnera les résultats en fonction de E, R, ,  et t).
5. Exprimer la charge du condensateur en fonction du temps. Donner les valeurs de q2(o)
et q2().
B. Dispositif filtrant.
On étudie maintenant le dispositif filtrant suivant :
m
o
c
.
b
e
w
a
l
o
Pour en déterminer les propriétés on applique entre ses bornes d'entrée E1 et E2 une différence
de potentiel sinusoïdale de pulsation   0, notée : e = Ecos(t).
On mesure alors entre les bornes de sortie S1 et S2, une différence de potentiel notée : s = Scos(t
+  ).
Par convention, on choisit VS1 = VE1 = 0.
On considère le circuit de la figure ci-dessous, où R, L et C désignant respectivement une
résistance, une inductance pure, une capacité.
1
L

On pose 2o 
, Q = o et x =
.
LC
R
o
s
6. Déterminer la fonction de transfert H(jx )  du montage.
e
7. Déterminer le comportement asymptotique du gain GdB du montage.
Tracer le(s) diagramme(s) asymptotique(s) en fonction de X = log x.
Tracer le(s) graphe(s) GdB = f(X).
8. Déterminer la bande passante du filtre ainsi constitué. L’exprimer en fonction de R et
C.
9. Déterminer et tracer la courbe  = f(X) où  est le déphasage de la tension s par rapport
à la tension e.
w
w
w
h
.k
Problème 2. Exemple de bifurcation en mécanique.
Un point matériel A, de masse m, évolue sans frottement sur un guide circulaire C, vertical, de
centre O et de rayon r. Le contact se maintient au cours du mouvement: concrètement, A peut
être représenté par une perle enfilée sur C. Ce guide tourne uniformément, à la vitesse


angulaire  =  e z , (  > 0), autour de son diamètre BH. Ce dernier est dirigé suivant l'axe
vertical ascendant Oz d'un référentiel terrestre R supposé galiléen.
 
On caractérise la position de A sur C par le paramètre angulaire  = ( OB, OA ). En outre, on note

g le champ de pesanteur terrestre.
m
o
c
h
.k
.
b
e
w
a
l
o
1. Exprimer, en fonction de , l'énergie cinétique de A, par rapport au référentiel tournant
lié au guide R' = Ox'y'z.
2. Trouver l'énergie potentielle de pesanteur en fonction de . On prendra comme origine
la valeur à  = /2.
3. Montrer que la force d'inertie d'entraînement dérive d'une énergie potentielle. En
prenant, là aussi, comme origine la valeur à  = /2, donner l'expression de cette
énergie potentielle en fonction de .
g
4. On pose  c2  . Déduire de ce qui précède que l'énergie potentielle totale peut se
r
mettre sous la forme :



Ep   mgr cos  1  cos  
2


où  est une grandeur non dimensionnée que l’on déterminera en fonction de  et c.
5. Etablir l'équation différentielle à laquelle satisfait  en fonction de , c,  et des
dérivées temporelles adéquates de .
6. Trouver les positions d'équilibre de A dans R'.
7. Que peut-on dire de la stabilité de ces positions d'équilibre? On basera l’étude sur
l’énergie potentielle du système.
8. Tracer le graphe donnant la position d'équilibre stable e  0 en fonction de . On
précisera les valeurs de la pente de/d pour  = c et  >> c. Le point
correspondant à  = c, est appelé point de "bifurcation".
w
w
w
Quelles sont les positions d'équilibre stable pour  = c/ 2 et pour  = c 2 .
Problème 3. Mouvement d'un proton dans un liquide.
On étudie le mouvement horizontal d'un proton dans un liquide sursaturant (des bulles de gaz se
créent au passage du proton et matérialisent sa trajectoire).
Un proton de masse m et de charge e, considéré comme un point matériel, a une vitesse initiale

Vo en un point fixe O; il est dans une région de l'espace où règne un champ magnétique



uniforme et constant B ; le liquide exerce sur ce proton une force de frottement fluide f = - K V

où K est une constante positive et V est la vitesse du proton à l'instant de date t.
eB
m
Par la suite, on posera :  =
et  =
.
m
k
1. Faire le bilan des forces exercées sur le proton se déplaçant dans le liquide (on négligera
le poids du proton).
2. Etablir l'équation différentielle du mouvement du proton.
m
o
c
.
b
e
w
a
l
o
  
On désigne par Oxyz un trièdre orthogonal direct lié au référentiel galiléen et par ( u x , u y , u z ) la
base de vecteurs unitaires qui lui est associée.




On choisit : B = B u z et Vo = Vo u x .
3. Si la force de frottement était négligeable, quelle serait la variation d'énergie cinétique
du proton ?
Rappeler, avec un minimum de calculs, quelle serait alors la trajectoire du proton (on
donnera les caractéristiques de cette trajectoire).
4. Qualitativement, quelles sont les modifications apportées par la force de frottement
fluide sur cette trajectoire ?
5. Montrer que l’équation différentielle de la question 2. peut se mettre sous la forme de
deux équations différentielles :
dVx
= aVY – bVX (1)
dt
dVy
= - aVX – bVY (2)
dt
Déterminer a et b.
w
w
w
h
.k
On pose j le nombre complexe tel que j2 = - 1 pour résoudre le système d'équations différentielles,
on introduit le complexe : V = VX + jVY.
6. Montrer que les équations (1) et (2) sont équivalentes à une équation différentielle dont
la solution est :
V = Vo exp - (b + ja)t
En déduire VX et VY.
7. Déduire de V l'expression de X = x(t) + j y(t) en fonction de a, b, Vo et t.
8. Déterminer la limite, notée X , de X lorsque t tend vers l'infini.
9. En déduire la position limite M  (x , y ) en fonction de a, b,  et  .
10. Donner l'allure de la trajectoire.
PCSI. 01/02. Durée 4 heures.
Physique. Devoir surveillé
N°5.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire et
lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Les questions sont numérotées. Les réponses à ces questions devront être données sous forme littérale la
plus simplifiée possible, encadrées, avant toute application numérique. Toute réponse non justifiée sera
considérée comme fausse.
m
o
c
.
b
e
w
a
l
o
Problème 1. Modélisation d'un sismomètre, réponse fréquentielle
Le principe d'un sismomètre est schématisé sur la fig.1. Un ressort (1) de masse négligeable, dont la
réponse en élongation, linéaire, est caractérisée par une raideur k, est suspendu à un boîtier rigide. Un
solide (2), de masse m, est accroché à l'autre extrémité de ce ressort. Une partie de ce solide est solidaire


d'un amortisseur (3) exerçant sur (2) la force de frottement fluide f   hv , où h est une constante,
 dx 

v  u x la vitesse de translation de (2) par rapport au boîtier et ux le vecteur unitaire porté par l'axe Ox,
dt
vertical, orienté vers le haut, et fixe par rapport au boîtier. L'origine O de cet axe correspond au point
d'attache de (2) dans sa position d'équilibre lorsque le boîtier est immobile sur le sol, ce dernier formant
un repère galiléen. On définit aussi un axe O'X vertical et fixe dans un référentiel galiléen (celui du sol
par exemple). On étudie la variable x(t) lorsque le boîtier reçoit une onde sismique, supposée verticale et
produisant un mouvement de boîtier repéré par X(t) : l'onde sismique est ainsi caractérisée par X(t) et la
réponse du sismomètre est caractérisée par x(t).
w
w
w
h
.k
1. Justifier soigneusement l'établissement, dans le référentiel lié au boîtier de l'équation
k
d2x
2 dx
d2X
2
différentielle liant les variables x(t) et X(t) : 2 
  0 x   2 , où  0 
est la
dt
 dt
dt
m
m
pulsation propre du sismomètre et, par définition,   2
la constante de temps relative à
h
l'amortissement.
2. On considère une onde sismique sinusoïdale et de pulsation . En régime forcé, la fonction x(t)
est sinusoïdale elle aussi, et de même pulsation. Établir l'expression de la fonction de transfert

 ( j )  xm . On suppose désormais que    1 ; déterminer alors l’expression de
mécanique H
0

Xm
 ( j ) en fonction de la pulsation réduite u   .
H
0
3. Tracer l'allure des diagrammes de Bode, en amplitude et en phase, de cette fonction de transfert
en fonction de log u ; préciser les équations des asymptotes. Quel type d'opérateur électronique
possède une réponse fréquentielle semblable ? Quel est son comportement suivant les deux cas :
   0 ou    0 ?
4. La pulsation propre du sismomètre étant  0 =20 rad/s, cet appareil détecte une onde sismique
sous la forme de la fonction périodique x(t) reproduite en fig. 2 ; l'amplitude est en unité
arbitraire.
m
o
c
h
.k
.
b
e
w
a
l
o
L'application d'un algorithme de transformée de Fourier à x(t) fournit les spectres de pulsations
significatives, en amplitude et en phase, tracés en figure 3.
w
w
w
À partir de cette figure, exprimer le développement en série de Fourier sous forme d'une somme
finie de cosinus : x(t )  c0   cn cos(n t   n ) .
 ( j ) , déduire le développement en série de Fourier de
5. En utilisant la fonction de transfert H
l'excitation X (t )  c0'   cn' cos(n t   n' ) . Le résultat sera présenté en complétant le tableau 1
jusqu'à n= 5. Les angles  n' seront exprimés en radian.
Pensez-vous que ce résultat puisse représenter une onde sismique réelle ?
6. Comment devrait-on modifier les caractéristiques du sismomètre afin que l'enregistrement de
x(t) permette de déduire directement X(t) ?
7. En considérant ce que serait l'allure du diagramme de Bode en amplitude de la fonction de
transfert pour  0  1 , expliquer pourquoi ce choix (  0  1 ) doit être évité.
Problème 2. Filtre du second ordre. Facteur de qualité.
On étudie le filtre à AO, supposé idéal et en fonctionnement linéaire.
h
.k
.
b
e
w
a
l
o
m
o
c

 ( j )  Vsm de ce filtre en régime harmonique
1. Déterminer la fonction de transfert complexe H

Ve
w
w
m
de pulsation en fonction de , R, Co et C, puis en fonction des paramètres n 
C
et
Co
x = RC
2. Déterminer la pulsation  0 du signal d’entrée pour laquelle le gain est maximal. Quel est alors
le déphasage de la tension de sortie par rapport à la tension d’entrée ?
3. Déterminer, en fonction de R, C, Co le gain maximal Hmax, la bande passante f de ce filtre et
son facteur de qualité Q.
4. Tracer le diagramme de Bode en gain en fonction de log x dans le cas où n > 1.
w
Problème 3. Réponse d’un circuit RLC à deux mailles à un échelon de tension.
Dans le montage qui suit, le condensateur est déchargé à l’instant t = 0 où on ferme l’interrupteur K. La
résistance du générateur de tension de f.é.m E constante est négligeable.
L
1
On a :   RC  et  o2 
.
R
LC
1.
2.
3.
Déterminer en fonction de  et o l’équation différentielle vérifiée par le courant i2(t).
Déterminer l’expression de i2(t) en fonction de E, R,  et o dans le cas d’un faible
amortissement.
Faire les applications numériques dans le cas où :
L = 1,0 H ; C = 10 F ; R = 1,0 k et E = 200 V.
Déterminer la valeur du courant i2min et la tension Umax aux bornes du condensateur.
Problème 4. Bille dans un tube.
On envisage la situation d'une bille B, de masse m, quasi-ponctuelle, soumise à la pesanteur et susceptible
de déplacements à l'intérieur d'un tube cylindrique mince T, de longueur 2l, effectuant des mouvements
caractérisés par une vitesse angulaire  autour d'un axe contenant son centre O. L’accélération de la

pesanteur est g , de module g constant, et dirigée selon la verticale descendante.
 
On note r  OP le rayon vecteur de la position de B dans T à l'instant t, et r = OP la distance OP.
Les grandeurs ro et ro caractérisent la position et la vitesse radiale de B à l'instant initial t = 0.
m
o
c
.
b
e
w
a
l
o
Le tube T est dans le plan horizontal ( x , y ) et tourne autour de l'axe Oz à la vitesse angulaire 
constante.
w
w
h
.k
A. Les mouvements de la bille B ont lieu sans frottements.
1. Etablir l'équation différentielle en r du mouvement de B.
2. Intégrer cette équation pour les conditions initiales ro et ro .
w
3.
4.
Etablir l'expression du temps  que mettra B pour sortir de T.
Application numérique : Calculer  pour l = 0,1 m ; ro = 0,01 m ; ro = 0 ;  = 2 radians.s-1.
B. Les mouvements de la bille B sont soumis à une force de frottement solide de coefficient . On a
alors, lorsqu’il y a mouvement, la relation suivante :

RT =  RN où RN est la composante normale à la tige de la réaction R et RT la composante tangentielle.
5.
6.
7.
8.
Etablir l'équation différentielle en r du mouvement de B.
En déduire la loi r  f (r ) liant la vitesse radiale et la position de B pour la condition suivante
r(r  0) = ro .
On posera que g >> 2v pour résoudre l’équation différentielle obtenue qui n’est pas linéaire.
On constate que B s'arrête à la cote r = r1.
Cette constatation expérimentale permet-elle de justifier l’approximation effectuée en 6 ?
En déduire l'expression du coefficient de frottement  en fonction de g, , vo et r1.
Application numérique: Calculer  pour que B s'arrête au bout du tube, avec g = 9,81 m.s-2,
l = 0,1 m, ro = 0,5 m.s-1,  = 2 radians.s-1.
Physique. Devoir surveillé N°6.
PCSI. 01/02. Durée 4 heures.
Ce devoir est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser la
feuille intitulée Grille des réponses. Renseigner dès maintenant sur cette feuille votre nom.
Chaque question comporte au plus deux réponses exactes. Lorsque vous jugez que la question comporte
une bonne réponse vous devez mettre une croix dans l’une des cases a, b, c, d.
Chaque bonne réponse est comptée +2, chaque mauvaise réponse est comptée –1.
L’abstention ne rapporte ni ne retire de point. Il est fortement déconseillé de répondre au
hasard.
Toute rature ou surcharge entraîne l’annulation à la question. Pas de réponse au crayon à papier.
m
o
c
.
b
e
w
a
l
o
Le circuit de la figure ci-dessous est alimenté entre ses bornes "d'entrée" A et B par un générateur qui
délivre à l'instant t la tension ue (t ) . Cette tension, sinusoïdale, a pour amplitude complexe U e , et pour
pulsation  .
w
w
h
.k
"En sortie", entre les bornes A1 et B1, est placé un dipôle D d'impédance complexe Z .
w
1. Calculer en fonction de L, C,  et Z l'impédance complexe Z e du circuit vue entre les bornes A et B
(impédance d'entrée). j est le nombre complexe tel que j 2  1 .
a) Z e 
LC 2  j (1 LC 2)
C (2 LC 212 j Z C)
LC[1  j (1 LC 2)] j Z C
1 LC 2  j Z C
2
b) Z e 
(1 LC 2 ) Z  j L2 2 (12 LC 2)
c) Z e 
Z (1 LC 2  2 j Z C)
2
d) Z e 
ZC (1 LC 2) j(2LC 2 1)
C (1  LC 2  jZC)
2. En déduire la valeur de Z pour laquelle Z e Z (appelée alors impédance itérative).
a) Z  L ( j 
1 )
1 LC 2
b) Z 2  2 L  21
C
C
2
c) Z   j 
C
2 L
2LC 21
d) Z 2 
L2 2
LC 2 1
3. Compte tenu du résultat de la question précédente, indiquer le domaine des pulsations pour lesquelles
Z a un comportement résistif, quelle que soit la pulsation. On donne L = 1mH et C = 0, 2  F.
Dans toutes les questions suivantes, on prend comme valeur de Z celle qui correspond à l'expression de
la question précédente pour les très hautes fréquences (  ). Donner la valeur numérique de la
résistance R ainsi obtenue.
a)   5.10 4 rad .s 1 b)   10 8 rad .s 1
c) Z  R 100 
d) Z  R  2000 
4. Examiner le comportement du circuit pour  = 0 et  . Indiquer dans ces conditions si le circuit
constitue un filtre :
a) passe haut
b) passe bas
c) passe tout
d) passe bande
Dans le plan horizontal (xOy) d'un référentiel galiléen R, un mobile modélisé par un point matériel P de
masse m est astreint à se déplacer sur le cercle de centre O et de rayon b. L'équation horaire du
mouvement est : s  arc(AP )  b ln(1 t) où:
• ω est une constante positive,
• A est le point du cercle situé sur le demi-axe positif Ox,
m
o
c
.
b
e
w
a
l
o
5. Calculer la vitesse v de P à la date t en fonction de la seule variable s .
En déduire la vitesse initiale v0 v(t 0) .
a) v  2b b) v  b es / b c) v0  2b d) v0 b
1 s / b
6. Calculer en fonction de s et des seuls paramètres b et vo les composantes tangentielles at et normale an
du vecteur accélération de P par rapport à R exprimées dans la base de Frenet.
v2
v2
vo2
vo2
1
1
a) at   o exp(2s / b) b) at   o
c)
a

d)
a

exp( 2 s / b)
n
n
b
b (1  s / b)3
b (1  s / b)2
b
w
w
w
h
.k
7. Indiquer si le mouvement est :
a) uniformément décéléré b) uniformément accéléré c) accéléré
d) décéléré
8. L'hodographe du mouvement de pôle O est l'ensemble des points N tels que : ON  v ( P / R ) où
v ( P / R ) est le vecteur vitesse de P par rapport à R. Soient r et  les coordonnées polaires de N.
Déterminer l'équation polaire de l'hodographe ; identifier celui-ci.

a) r  vo exp((  )) b) r  vo sin c) spirale logarithmique d) cercle centré sur l'axe Oy
2
9. Donner l'expression en fonction de v de F  F , si F est la résultante des forces appliquées à P .
a) F 
mv 2
b 2
b) F 
mv 2 2
c) F 
b
mv 2
2b
e
 v / v0
d) F 
mv 2
2b
ln(1 
v
)
v0
10. Calculer en fonction de s et des paramètres b et v0 le travail W de F pendant l'intervalle
de temps [0, t].
1
s
a) W   mv 02 (1  e  2 s / b )
b) W  mv02 ln(1  )
2
b
2 s / b
1 e
1
c) W  mv02
d) W  mv 02 (1  e  s / b )
2s / b
2
1 e
11. En déduire le travail total WT de F au cours du mouvement.
1
a) WT  mv02
2
1
b) WT   mv02
2
c) WT  
d) WT  mv02
Un moteur  équivalent à un résistor de résistance R associé en série avec une bobine de coefficient
d'auto-inductance L est alimenté en courant alternatif sinusoïdal de fréquence 50 Hz. Le moteur
consomme une puissance moyenne PM  4, 4 kW et son facteur de puissance est égal à 0,6. On mesure
entre ses bornes A et B une tension de valeur efficace U  220 V .
m
o
c
12.Calculer le courant efficace I circulant dans la ligne.
a) I = 12,5A
b) I = 27,2 A c) I = 42,6 A
d) I = 33,3 A
13.Calculer R.
a) R  4 
b) R  8 
14. Calculer L.
a) L = 7 mH
.
b
e
w
a
l
o
c) R  2 
b) L = 12 mH
d) R  12 
c) L = 17 mH
d) L = 52 mH
15. Pour relever le facteur de puissance de l'installation, on connecte entre les bornes A et B un
condensateur de capacité C. La tension mesurée aux bornes du moteur a toujours la valeur U = 220 V.
Calculer la plus petite valeur de C pour que le nouveau facteur de puissance soit égal à 1.
a) C = 246 F
b) C = 381 F
c) C = 192 F
d) C = 53 F
h
.k
Une particule chargée M de masse m et de charge q est lancée à l'origine O d'un repère d'espace  (Oxyz )




avec une vitesse initiale v0 contenue dans le plan zOx : v0  v0 x ex  v0 z ez . Cette particule est soumise à


l'action d'un champ magnétique B  Bez uniforme et constant, dirigé suivant l'axe Oz et qui règne dans
tout l'espace. On désigne par H la projection orthogonale de M sur le plan xOy.
On considère un second repère d'espace  (Oxyz ) , de même origine O et de même axe Oz que  . Ce


repère est animé d'un mouvement de rotation autour de l'axe Oz avec une vitesse angulaire   ez
constante.
w
w
w

16. On désigne par v la vitesse de la particule dans  . Donner l'expression de la force magnétique de

Lorentz FL qui s'exerce sur elle dans  .



 

 
 
 
F

2
qv

B
F


qv
F

qB

v
F

qv

B
L
0
L
0 B
a) L
b) L
c)
d)

17. Exprimer la vitesse initiale v0 de la particule dans   .
 




 


v


v
v


v
v
0
0
a) 0
b) 0
c) 0  0
d) v0  v0

18. On étudie le mouvement de la particule dans   . Montrer que la force d'inertie d'entraînement Fie
peut s'écrire :








2
2
2
2
F

m

HM
F


m

HM
F


m

OH
F

m

OH
a) ie
b) ie
c) ie
d) ie
19. Un pendule simple est constitué d'un point matériel M de masse m = 10 g, suspendu à un point A situé
sur l'axe Ox d'un repère galiléen R(Oxyz) par un fil sans masse de longueur l.
m
o
c
.
b
e
w
a
l
o
On note  l'angle que fait le fil que l'on suppose constamment tendu avec la verticale Oy de R(Oxyz).
Initialement, le point A reste fixe et confondu avec l'origine O du repère R.
Calculer la longueur l du fil pour que la période des petits mouvements du pendule soit To = 1 s. On
prendra pour norme de l'accélération de la pesanteur la valeur g = 9, 81 m.s-2 .
h
.k
a) l = 0, 196 m
b) l = 0, 248 m
c) l = 0, 333 m
d) l = 1, 225 m
20. Le point de suspension A est maintenant animé d'un mouvement de translation rectiligne sinusoïdal
suivant l'axe Ox de R(Oxyz), d'amplitude xo et de pulsation . On note xA =xosint l'abscisse instantanée
w
w
de A. On désigne par RA(A, x',y',z'), le repère d'origine A dont les axes Ax', Ay' et Az' restent
respectivement parallèles aux axes Ox, Oy et Oz de R(Oxyz).
Calculer le moment MA(Fie) par rapport au point A de la force d'inertie d'entraînement qui s'exerce sur
w
M dans RA.
21. Calculer le moment MA (Fic) par rapport au point A de la force d'inertie de Coriolis qui s'exerce sur M
dans RA.
22. En appliquant le théorème du moment cinétique à la masse m au point A dans RA et en se limitant à
l'étude des mouvements de faibles amplitudes, l'équation différentielle à laquelle obéit l'angle  s'écrit :
 d 
23. A l'instant t = 0, (0) = 0 et 
  0 . On pose o= 2/To. Montrer que la valeur instantanée de
 dt  t 0
l'angle  est donnée par la relation :
Le circuit suivant est soumis à un échelon de courant délivré par un générateur de courant idéal :
 I (t )  0 pour t  0

I (t )  Io  Cte pour t  0
w
w
w
h
.k
m
o
c
.
b
e
w
a
l
o
24. L'équation différentielle vérifié par le courant i est :
di R
R
di R  R '
R
a)
 i  Io
b)

i  Io
dt L
L
dt
L
L
di R  R '
R'
di R  R '
R  R'
c)

i  Io
d)

i
Io
dt
L
L
dt
L
L
25. L'intensité i vérifie l'équation suivante :
R
R R'
R
R  R'
a) i   Io
exp(
t)
b) i  Io
(1  exp( 
t ))
R  R'
L
R  R'
L
R
R  R'
R'
R  R'
c) i  Io
(1  exp(
t )) d) i  Io
(1  exp( 
t ))
R  R'
L
R  R'
L
26. L'intensité i' a pour expression :
R
R'
R  R'
R
R
R  R'
a) i '  Io
(1- exp(
t )) b) i '  Io
(1  exp(
t ))
R  R' R
L
R R'
R'
L
R R'
R'
R'
c) i '  Io(1  exp(
t ))
d) i '  Io
(1  exp( t ))
L
R  R'
L
27.La tension u s'écrit :
RR ' R'
R R'
R'R
R'
R  R'
a) u  Io
(1- exp(
t )) b) u  Io
(1  exp(
t ))
R'
R
L
R  R'
R
L
R R'
R '2
R'
c) u  R ' Io(1  exp(
t ))
d) u  Io
(1  exp(  t ))
L
R  R'
L
28. Sous l'action d'une force centrale constamment dirigée vers un point fixe O, une particule de masse m
décrit une spirale dont l'équation en coordonnées polaires est r = roexp(-a ) où a est une constante
positive. Elle est sollicité par une force F(r) de valeur :
Cte
Cte
Cte
a) F (r )  3 b) F (r )  2 c) F (r ) 
d) F (r )  Cte
r
r
r
29. On considère le circuit suivant :
Toutes les impédances sont complexes.L'impédance Z équivalente de ce réseau vue des points A et B est :
Z ( Z  2Z P )  ZC ( ZC  Z P )
ZS ZP
a) Z  S C
b) Z 
ZC  Z S  Z P
ZC  Z S  Z P
c) Z 
Z S ( Z S  2Z P )  ZC ( Z S  Z P )
ZC  Z S  Z P
d) Z 
Z P ( Z C  2 Z S )  Z C ( ZC  Z P )
ZC  Z S  Z P
30. Dans le réseau étudié à la question précédente, ZS est une bobine d'inductance L, ZP un condensateur
de capacité C.
L(2  LC 2 )
C
On pose :  
et  
.
2
1  LC
1  LC 2
L'impédance Z peut alors se mettre sous la forme :
Z 
Z  j
Z  j
Z  j
a) Z  C
b) Z  C
c) Z  C
d) Z  C
1  j Z C
1  j ZC
1   ZC
1  ZC
m
o
c
31. On considère le circuit représenté sur la figure suivante :
h
.k
.
b
e
w
a
l
o
Le générateur de Thévénin pour les points A et B a les caractéristiques suivantes :
ER
ER
RR
ER
ER
a) E  1 1  2 2
R 1 2
b) E  1 1  2 2
R1  r1 R2  r2
R1  R2
R1  r1 R2  r2
w
w
c) E 
w
E1 R2
ER
 2 1
R1  r1 R2  r2
R
R1r1
Rr
 22
R1  r1 R2  r2
d) E 
E1 R1
ER
 2 21
R1  r1 R2  r2
R
R1 r1
Rr
 22
R1  r1 R2  r2
R
R1 r1  R2 r2
R1  r1  R2  r2
32. Le dipôle de bornes A et B représenté est alimenté par deux générateurs idéaux de courant continu
délivrant le même courant électromoteur d'intensité Io.
Déterminer la résistance RN du générateur de Norton équivalent au dipôle.
33.Déterminer l'intensité IN du courant électromoteur du générateur de Norton équivalent au dipôle de la
figure 3 orienté de B vers A.
34.A l'aide d'un fil métallique homogène de section constante, on réalise un circuit constitué de deux
conducteurs : l’un a la forme d'un cercle de centre O ; l’autre est un diamètre AB du cercle.
m
o
c
.
b
e
w
a
l
o
Le conducteur diamétral possède une résistance 2r. Dans toute la suite, on conservera le nombre  dans
les expressions des différents courants et résistances à calculer. Calculer la résistance équivalente RAB
entre A et B.
w
w
h
.k
35. On ajoute sur le conducteur circulaire AB un générateur de tension continue de f.é.m. E et de
résistance interne négligeable devant celle du conducteur. Calculer l'intensité IAB du courant qui circule
dans le conducteur diamétral AB.
w
36. La résistance équivalente du réseau dipolaire entre A et B est égale à :
a) 3R
b) R/3
c) 2R
d) 3R/2
37.L'axe Oy du référentiel galiléen R(Oxyz) est la verticale ascendante ; on appelle g l'accélération de la
pesanteur supposée uniforme. Un mobile assimilable à un point matériel P de masse m est astreint à se
déplacer sans frottement dans le plan (xOy) à l'intérieur d'un guide parabolique qui a pour équation
x2
cartésienne : y 
avec p constante positive. A l'instant t = 0, P se trouve au point A d'abscisse p et
2p
possède le vecteur vitesse vo tangent au guide, situé dans le plan de figure et orienté vers le haut (figure
12).
Outre son poids, le mobile est soumis à la réaction N du support, perpendiculaire à son déplacement.
Déterminer l'expression de x 2 en fonction de la seule variable x (il est commode de faire appel à des
considérations énergétiques).
.
b
e
w
a
l
o
p(vo2  gp )  gx 2
p (vo2  gp )  gx2
2
a) x  p
b) x  p
p2  x2
p2  x2
2
m
o
c
p2 vo2  gpx2
p2 vo2  2 gpx2
2
c) x 
d ) x 
2
p2  2 px
 p  x
2
38.Le plan (xOz) symbolisant le sol, calculer l'altitude maximale y1 atteinte par P.
w
w
w
h
.k
39.Déduire de la question 10 l'expression en fonction de la seule variable x de la composante x selon Ox
du vecteur accélération de P.
vo2  gp
vo2  2 gp
vo2  gp
pvo2  gpx
2
2
a) 
x  2 x 2
b) 
x  p x 2
c) 
x p 2
d ) 
xx
2
p  x2
( p  x 2 )2
p  x2
 p 2  2 px 
40.Déterminer dans ces conditions l'expression en fonction de la seule variable x de la composante
y selon Oy du vecteur accélération de P.
41.Déterminer l'expression en fonction de la seule variable x de la composante Nx selon Ox de la réaction
N.
m
o
c
.
b
e
w
a
l
o
42.Déterminer l'expression en fonction de la seule variable x de la composante Ny selon Oy de la réaction
N.
w
w
h
.k

mC 2 
43.Une particule de masse m est soumise à une force centrale, dirigée vers le point fixe O, F  
er
pr 2
où C est la constante des aires et p une constante. L’équation de la trajectoire en coordonnées polaires
peut se mettre sous la forme :
w
a)
1
1 1  e cos(   )
 1  e cos(   ) b)

r
r
p
c) r  1  e cos(   ) d ) r 
1  e cos(   )
p
44. On considère un circuit RLC série alimenté par une tension alternative sinusoïdale de pulsation  . Le
L o
1

signal de sortie est pris aux bornes du condensateur. On pose o 
,Q 
et x 
.
R
o
LC
La fonction de transfert du montage s’écrit :
1
1
1
1
a) H 
b) H 
b) H 
d) H 
Q
x
Q
x
1 x2  j
1 x2  j
1 x2  j
1 x2  j
x
Q
x
Q
45. Le montage étudié est :
a) un passe bas b) un passe bande c) un coupe bande d) un passe haut
46. Il y a résonance si :
a ) Q  1 2 b) Q  1
2
c) Q  1 2
d) Q  1
47. La bande passante du montage est :
a) x = 1/Q b) x = Q/2 c) x = 2/Q
2
d) x = Q
PCSI. 01/02.
Concours Blanc 1.
Problème 1. Schéma de principe d’un oscillateur à fréquence modulée.
m
o
c
.
b
e
w
a
l
o
1. Etude d’un oscillateur.
1.1. On considère le quadripôle représenté sur la figure 1 ci-dessous :
h
.k
Dans ce montage, C1 et C2 sont les capacités des deux condensateurs ; v(t) et v2(t) sont les valeurs
instantanées des tensions d’entrée et de sortie du quadripôle.
On suppose que le régime de fonctionnement du quadripôle est sinusoïdal de pulsation .
Pour la suite du problème, on utilisera la notation complexe ; l’amplitude complexe de la grandeur
instantanée sinusoïdale v(t) est notée V .
w
w
w
V2
en fonction de C1 et C2.
V
Quelle relation existe-t-il entre les phases de v2(t) et de v(t) ?
1.1.2. On considère maintenant le quadripôle représenté sur la figure 2 ci-dessous :
1.1.1. Exprimer le rapport
On reconnaît, en partie dans cette représentation, le quadripôle de la figure 1.
Dans ce montage, R est la valeur de la résistance, L celle de l’inductance de la bobine ; v1(t) est la
tension d’entrée du nouveau quadripôle.
 l’impédance complexe de l’ensemble formé par la bobine d’inductance L et les
On convient de noter Z
deux condensateurs C1 et C2.
 en fonction de L, C1, C2 et .
Etablir l’expression de Z
1.1.3. Exprimer le rapport
V
 , puis en fonction de R, L, C1, C2 et .
en fonction de R et Z
V
1

 ( j )  V2 que l’on mettra sous la forme:
1.1.4. En déduire l’expression de la fonction de transfert H
V1

1
 ( j )  V2 
H

V1 a  1  dj
bj
m
o
c
 en fonction de R, L, C1 et C2.
Expliciter les coefficients a, b et d de la fonction de transfert H
Quelles sont les dimensions des coefficients a, b et d?
1.2.
.
b
e
w
a
l
o
On envisage maintenant l’utilisation d’un amplificateur opérationnel, supposé idéal, en régime
de fonctionnement linéaire. Dans ces conditions, on a v+ = v- = 0 et i+ = i- = 0. (Fig3).
w
w
h
.k
L’amplificateur opérationnel est inséré dans le montage représenté sur la figure 4 ci-dessous. R1 et R2
sont deux résistances. On remarquera la présence du quadripôle de la figure 2 dans ce montage.
w
1.2.1. On envisage, pour ce montage, un régime de fonctionnement sinusoïdal permanent.
Exprimer l’amplitude complexe, V de deux manières différentes, tout d’abord :
 , Vs
 , R1 et R2 puis
en fonction de Ve
 et Vs.
en fonction de H
 et Vs
 faisant intervenir H
 , R1 et R2.
En déduire une relation entre Ve
1.2.2
On relie maintenant R1 directement à la masse, ce qui revient à annuler la tension d’entrée
(ve = 0 ).
Montrer que, sous certaines conditions, on peut malgré tout avoir vs(t) différent de zéro.
Dans cette situation, vs(t) peut être une fonction sinusoïdale du temps. Exprimer la condition
d’oscillation par une relation simple entre R1, R2, C1 et C2.
On pose C’ = C1 C2/( C1 + C2). Exprimer la pulsation des oscillations en fonction de L et C’.
2. Etude d'un oscillateur a fréquence modulée.
2.1. Pour réaliser un oscillateur à fréquence modulée, on branche une diode à capacité variable (ou
“varicap”) en parallèle avec la bobine d’inductance L.
Une varicap peut être assimilée à un condensateur dont la capacité C(s) est fonction d’une grandeur s,
susceptible de varier avec le temps.
La capacité C(s) varie avec s selon la loi : C(s) = Asn où A et n sont des constantes positives.
Le quadripôle représenté sur la figure 2 est alors modifié. Son nouveau schéma est reporté sur la
figure 5 :
m
o
c
.
b
e
w
a
l
o
h
.k
'( j ) de ce nouveau quadripôle peut s’écrire:
La fonction de transfert H
1
'( j ) 
H
1
a '
 d ' j
b ' j
Expliciter les coefficients a’, b’ et d’ en fonction de C(s), R, L, C1 et C2, en remarquant qu’il suffit de
remplacer l’impédance complexe de la bobine par celle de l’ensemble bobine et “varicap” en parallèle.
w
w
w
2.2. On reprend le montage de la figure 4, dans lequel ve = 0, en y introduisant la “varicap”.
On obtient le montage de la figure 6.
On fixe s à la valeur constante So, pour laquelle C(So) = Co.
Exprimer la pulsation  de l’oscillateur, en fonction de Co, L, C1 et C2.
2.3.
On impose maintenant s(t) = So + cos(t), où  et  sont des constantes positives.
2.3.1. Sachant que  << So, établir l’expression approchée au premier ordre de C(t).
2.3.2. En déduire l’expression de la pulsation instantanée (t) de l’oscillateur. On convient de poser:

(t) = o (1 cos t ).
o
Etablir les expressions de  et du taux de modulation  = /o.
On parle, en langage courant, de “porteuse” et de “signal modulant”. Quelles sont les pulsations
de ces deux signaux ? Quels sont leurs rôles respectifs?
Problème 2. Un système mécanique au comportement surprenant.
On propose, dans cette partie, d’étudier l’expérience suivante. Deux objets ponctuels M et M’ de
masses respectives m et m’, sont reliés entre eux par un fil sans masse et inextensible de longueur lo. On
fait passer le fil autour d’une tige cylindrique fixe et l’on tient entre ses doigts M de telle sorte que le fil
fasse avec la verticale un petit angle 
m
o
c
.
b
e
w
a
l
o
h
.k

L’expérience a été réalisée avec m’ >> m. A l’instant t = 0 on lâche l’objet M. Durant tout le problème,
le diamètre de la tige sera négligé ainsi que les effets de toutes les forces de frottements. Curieusement,
pour un rapport de masse  = m’/m >> 1, l’objet M’ ne tombe pas sur le sol et la masse M s’enroule
autour du corps cylindrique du support. Si on effectue un grand nombre de fois cette expérience, on
constate que le nombre de tours effectués par M est sensiblement constant et ne dépend que de . Afin
d’étudier plus en détail cette expérience, on simule à l’aide d’un ordinateur le mouvement de M avec 
>> 1 et les conditions initiales suivantes :
z (0)  0 ; z '(0)  0 ; z (0)  lo ;  (0)    1
On pose OM = r et toute l’étude se fera dans le référentiel R galiléen attaché au sol. Dans tout le
problème on admettra que M’ effectue un mouvement de translation suivant Oz et que M se déplace
dans le plan fixe xOz. Les courbes obtenues par simulations informatiques sont données ci-après :
w
w
w
1. On propose dans cette question de montrer que pour  > 1 le mouvement de M est borné.
1.1.
Etablir l’expression de l’énergie mécanique Eméca du système en fonction de  , r , r, ,, g , m et
d’une constante Ei qui ne dépend que du choix de l’origine des énergies potentielles.
E  Ei
1.2.
Donner l’expression de eo  méca
et préciser son unité.
m
1.3.
Qu’appelle-t-on système conservatif? Le dispositif étudié présente-t-il cette propriété ?
2.1.
A partir de l’expression de e0 , montrer que si  > 1 le mouvement est borné, c’est-à-dire que M
eo
évolue dans une zone limité du plan (r, ) avec : r  rmax 
.
g (   1)
A partir du bilan des actions mécaniques s’exerçant sun M, établir les équations différentielles
suivantes :

r  F (r , ,, g ,  )
(1)
  G (r , r, ,, g )
(2)
2.2.
En utilisant la courbe 2, proposer une valeur approximative de (t ) pour t  t1 . Quelle forme
simple (équation 1’) prend alors l’équation différentielle (1) ?
1.4.
m
o
c
.
b
e
w
a
l
o
2.3.1. Intégrer cette équation différentielle et établir la fonction r(t) pour t  t1 .
2.3.2. Quelle est alors la nature du mouvement de M’ ?
2.3.3. Exprimer r(t) en fonction de g, t et lo (pour  >> 1 ).
2.4.
w
w
2.4.1.
w
2.4.2.
2.4.3.
2.4.4.
2.4.5.
h
.k
On appelle durée d’inversion, l’intervalle de temps compris entre t1 et t3 pendant lequel (t)
varie fortement.
Simplifier l’équation (1) en considérant que  >> 1 et que durant la zone d’inversion
r 2
 g .

On admet que, pendant cette durée, la tension exercée par le fil sur M est très grande devant le
poids de M. Quelle est alors la direction de la résultante des forces qui s’appliquent sur M ?
Quelle est la nature du mouvement de M ?
Comment appelle-t-on alors le produit r 2  C et quelle est sa particularité ?
d 2u
1
Exprimer
en fonction de  et de u  .
2
d
r
En déduire l’expression de r() (notée équation (3)) en fonction de r2,  et 2 où r2 désigne la
valeur minimale de r et 2 l’angle correspondant.
On admettra que l’équation (3) reste valable pour les valeurs de r() très supérieures à r2, c’està-dire même en dehors de l’intervalle de temps (t1 ; t3 ).
2.5.1. Vers quelles valeurs les expressions de et 3 -2 tendent-elles si et  sont les angles
pour lesquels r est très supérieur à r2 ?
2.5.2. En déduire l’expression de  = 3 -2 en fonction de  . Combien de tours la masse M a-telle effectué pendant l’inversion ? Application numérique :  = 50.
2.5.
2.6.1. A partir de l’expression de la constante des aires montrer que l’intégration de l’expression de r
établie en 2.4.1. conduit à :
 C 2  r 2  r22
r 2  
 2 2 où r2 est la valeur minimum prise par r durant cette phase.
   r r2
2.6.2. Exprimer r12 en fonction de C,  , r1 , r2.
2.6.3. Le modèle établi dans les questions 2.1 à 2.3 rend compte de l’expérience pour t  t1 . Le
modèle que nous venons de développer rend compte de l’expérience pour t1  t  t3 . Pour t = t1 ,
en r = r1 la courbe r(t) présente un point d’inflexion, en déduire la relation liant , r1 ,  et g.
1
On rappelle que  >> 1.
2.6.4. r prend la valeur r1 à l’instant t1 = 0, 45s. Calculer numériquement r2. On donne  = 50,
g = 9.8m/s2 et r(0) = 1,0 m.
m
o
c
3. Dans cette partie, on se propose d’étudier un comportement du dispositif dans le cas µ < 1 c’est-àdire si m > m’. Le mouvement de M n’est pas borné. On peut cependant l’analyser et obtenir des
informations sur son comportement asymptotique. Dans cette partie on étudie le mouvement de M
durant une phase où l’angle (t) reste petit devant l’unité.
3.1.1. Dans la limite des petits angles, développer l’expression de r au premier ordre en . On pourra
considérer (t ) comme un infiniment petit du premier ordre.
3.1.2. En déduire l’expression de r(t ) avec les conditions initiales suivantes (0) = 0, (0)    0 ,
1 
r(0)  0 et r(0) = 0. On pourra poser a = g/ avec  

1 
3.2.
On pose  = ln(t/t0) avec to = 1 s et t  0. Déduire de l’équation (2), l’équation différentielle en 
d 2
d
suivante : 2  3
 2  0
d
d
3.3.1. Justifier rapidement que le mouvement n’est pas oscillant pour µ < 1/17.
3.3.2. Etablir l’expression de (t) pour 1/17 < µ < 1 en fonction de t,   8  9 et des constantes
d’intégration i et  i 
w
w
w
.
b
e
w
a
l
o
h
.k
4. On se propose, dans cette partie, d'étudier le comportement de M lorsque M’ se déplace très
lentement.
4.1.
Donner l’expression de l'énergie mécanique Em de M en choisissant l’origine de l’énergie
potentielle de pesanteur en z = 0.
4.2.
4.2.1.
4.2.2.
4.2.3.
4.2.4.
Dans cette question r est supposé constant.
En se limitant aux petits angles, établir l'équation différentielle vérifiée par 
Intégrer cette équation avec les conditions initiales  (t = 0) = max et (t  0)  0 .
Ca1cu1er <Em> la moyenne temporelle de l'énergie mécanique au deuxième ordre en max.
Calculer de même <T> la moyenne temporelle de la norme de la tension qui s’exerce sur M, au
deuxième ordre en max .
MPSI 1. 01/02.
Concours Blanc 1.
Problème 1. Recherche de positions d’équilibre stables.
m
o
c
A. Pendule simple.
On considère un point matériel P de masse m, attaché à l'extrémité d'un fil inextensible et sans
masse, de longueur OP = a, accroché en un point fixe O du repère terrestre. On considère le


référentiel terrestre galiléen. On considère le champ de pesanteur uniforme: g = g uz . Oz désigne
la verticale descendante. Soit A le point de Oz de cote z = a. Les mouvements de P sont considérés
 
plans et repérés au cours du temps par l'angle  = ( OA, OP ).
w
w
1.
w
2.
3.
h
.k
.
b
e
w
a
l
o
Attention axe Oz vers le bas !!!
En négligeant les frottements et en appliquant le théorème du moment cinétique en O,
établir l'équation du mouvement en  : équation (1).
En notant o la valeur de  dans une position d'équilibre possible, écrire l'équation (2) qui
définit ces positions. Montrer que o peut prendre deux valeurs différentes 1 et 2 que
l’on calculera.
Exprimer en fonction de g et a la pulsation o des petites oscillations de P autour de sa
position d'équilibre stable.
B. Pendule simple soumis a une force supplémentaire.
Un dispositif approprié fait que le point B situé sur l'axe Oz à la cote b > a exerce sur P une force

k
F centrale de centre B, répulsive, de norme 2 où k est une constante positive et r la distance
r
entre B et P. Le fil reste tendu et inextensible de longueur a.
4.
5.
Il est à noter que le triangle OPB est non rectangle.
kb
On pose  3 
. Quelle est l’unité de  ?
mg
Exprimer la distance r en fonction de a, b, et .
6.
7.
8.
9.

Calculer le moment en O de la force F en fonction de k, a, b,  , r, et des vecteurs de la
  
base ( u x , u y , u z ).
Déterminer la nouvelle équation du mouvement en . On l'exprimera sous la forme :
   o2 . f ( ) . Déterminer f() en fonction de ,  et r. Cette équation est appelée (1’).
Ecrire les équations (2') qui déterminent les valeurs o de  qui correspondent à
d'éventuelles positions d'équilibre. Montrer que, en plus des deux valeurs o = 1 et
o = 2 indépendantes de , il peut exister une troisième position d'équilibre o = 3().
Déterminer les conditions sur  pour que o = 3 existe. Faire apparaître les trois
domaines:
domaine  :  < 1
domaine  : 1<  < 2
domaine  :  > 2,
1 et 2 étant des valeurs qu’on déterminera en fonction de a et b.

Dans quel domaine se situe la situation du 1: absence de F ? En déduire, pour ce
domaine, la stabilité ou instabilité des différentes des différentes positions d’équilibre
existantes.
m
o
c
h
.k
.
b
e
w
a
l
o
Problème 2. Etude d’un montage réjecteur.
w
w
On considère le montage suivant :
w
1.
2.
Montrer que la fonction de transfert du montage s’écrit en fonction de x = RC :
s
1
H  
. On utilisera pour cela le théorème de Millman aux points A, B et S.
e 1  4 jx
1  x2
Déterminer l’expression du gain en décibel GdB.
Déterminer le comportement asymptotique de GdB. On posera X = log x.
3. Déterminer les limites de la bande de réjection. La bande réjection est constituée de
H
~
l’ensemble des fréquences pour les quelles on a : H ( jx)  max .
2
4. Tracer la courbe de réponse en gain en fonction de X = 20 log x. On fera un schéma soigné
en précisant des valeurs remarquables.
5. Etudier les variations de l'argument de la fonction de transfert en fonction de X = 20 log x.
Tracer la courbe de réponse en phase.
Problème 3. Réponse du circuit à un échelon de tension.
On considère un circuit électrique constitué d’un générateur G, d'un interrupteur K, d’une résistance
R puis d'un condensateur de capacité C et d’une bobine d’inductance L montés en parallèle entre les
points A et B. Le générateur fournit une tension continue E positive; on considère la résistance de la
bobine comme négligeable.
m
o
c
.
b
e
w
a
l
o
Soient i, il et i2 les intensités, en fonction du temps, des courants relatifs aux différentes branches du
circuit et q2 la charge du condensateur.
1. A un instant donné que l'on prendra comme origine des temps, le circuit est fermé:
sachant que le condensateur a été déchargé au préalable, indiquer les expressions de i(o),
i1(o), i2(o) et q2(o). Comment se comporte ce circuit juste après la fermeture?
Au bout d’un temps considéré comme infini, déterminer i(), i1() et i2().
Comment se comporte alors le circuit ?
2. Etablir que i est solution d’une équation différentielle du second ordre à coefficients
constants de la forme:
d 2i
di
a 2  b  i  cE
dt
dt
et donner les expressions des paramètres a, b et c.
3. On suppose réalisée la condition: L < 4R2C ; démontrer que la solution de
l’équation différentielle précédente est donnée par :
E
i   e t ( A cos t  B sin t )
R
Expliciter les paramètres  et  en fonction des données du problème.
4. Sachant que les conditions initiales comprennent en particulier q2(o) = 0 et i1(o) = 0,
déterminer les constantes A et B. En déduire les expressions, en fonction du temps, de i,
i1 et i2 (on donnera les résultats en fonction de E, R, ,  et t).
Exprimer la charge du condensateur en fonction du temps. Donner les valeurs de q2(o) et
q2().
w
w
w
h
.k
PCSI. 01/02. Durée 2 heures.
Physique. Devoir surveillé N°8.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire et
lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Les questions sont numérotées. Les réponses à ces questions devront être données sous forme littérale la plus
simplifiée possible, encadrées, avant toute application numérique. Toute réponse non justifiée sera considérée
comme fausse.
m
o
c
.
b
e
w
a
l
o
Cycles moteurs de Carnot, Beau de Rochas et Stirling
Après une étude graphique des machines dithermes, à l'aide du diagramme de Raveau, et une vérification
expérimentale de l'expression de l'entropie d'un gaz parfait, on compare les efficacités des cycles moteurs de
Carnot, Beau de Rochas et Stirling. Ce dernier cycle présente des caractéristiques intéressantes, notamment un
faible niveau de pollution, une durée de vie élevée et une excellente efficacité.
1. Machine ditherme
Une masse m de gaz, constituée principalement d'air, subit un cycle moteur entre deux sources thermiques,
l'une la source froide à la température Tf = 290 K, l'autre la source chaude à la température
Tc = 1450 K.
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1.1.Exprimer les bilans d'énergie et d'entropie au cours d'un cycle réel. On introduira les quantités
algébriques suivantes, relatives à un cycle : W, Qf , Qc , Sp ; W est le travail reçu (algébriquement) par
le fluide (si W > 0, il est effectivement reçu par le fluide, si W < 0, il est effectivement fourni par le
fluide). De même Qf est la chaleur reçue par le fluide de la part de la source froide ; Qc est la chaleur
reçue par le fluide de la part de la source chaude.
Dans l'écriture de Sp , qui désigne l'entropie produite, p est un indice et non un exposant.
1.2.Représenter, sur un même graphe, donnant Qc en fonction de Qf , appelé diagramme de Raveau, les
deux équations précédentes, W et Sp étant des quantités déterminées. En déduire la position du point
de fonctionnement sur le diagramme, compte tenu des signes de W et Sp, ainsi que le sens des
échanges thermiques (signes de Qc et Qf ).
1.3.Etablir l'expression de l'efficacité  du moteur, appelée aussi rendement, en fonction de Tc, Tf , Qc et
Sp .
1.4.Que devient cette efficacité lorsque la machine ditherme fonctionne selon un cycle de Carnot ?
Calculer sa valeur c . Ce résultat, sensiblement inférieur à 1, doit-il être attribué à une imperfection
de la machine (frottements divers) ou provient-il d' une limitation fondamentale ? Dans ce dernier cas,
préciser la nature de cette limitation.
1.5.On définit le degré d' irréversibilité du cycle à l'aide du rapport r =  / c. Sachant que r = 0,94 et que
le moteur fournit un travail de 15 kJ par cycle, trouver Qc , Qf et Sp . Porter avec soin ces résultats sur
un graphe, donnant Qc en fonction de Qf dans lequel 1 cm représente 5 kJ.
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2. Entropie d'un gaz parfait.
2.1.Le rapport  des capacités thermiques isobare et isochore d'un gaz parfait est 1,67 pour un gaz
monoatomique, tel que l'argon, et 1,4 pour un gaz diatomique, tel que l'air. Justifier ces valeurs à
l'aide de considérations simples issues de la théorie cinétique des gaz ?
2.2.Etablir l'expression de la variation élémentaire de l'entropie d'un gaz parfait monoatomique en
fonction de sa température T et de sa pression p. Montrer que l' entropie du gaz peut s'écrire :
S =  ( -ln p +  ln T + Cte)
 étant un coefficient que l' on exprimera, en fonction du nombre n de moles et de la constante R des
gaz parfaits, et  un facteur que l'on déterminera. La constante Cte qui apparaît dans la formule
précédente a pu être déterminée expérimentalement à l' aide du graphe Cp(T) donnant la capacité
thermique molaire de l'argon gazeux, sous 1 bar, en fonction de la température. Comment accède-t-on
à l'entropie à partir de Cp(T) ?
2.3.Dans le cas d'un gaz parfait diatomique,  = 7/2. En déduire la relation entre la pression et la
température d'un gaz parfait diatomique au cours d'une évolution isentropique.
3. Cycle de Beau de Rochas et Otto.
Dans un moteur à explosion, le fluide, de masse m = 2,9 g , assimilé à un gaz parfait diatomique, de masse
molaire M = 29 g, suit une évolution cyclique réversible ABCD, constituée de deux portions isentropiques, AB
et CD, .séparées par deux portions isochores, BC et DA. Le cycle n'est plus ditherme : il y a mise en contact du
fluide avec une succession de sources chaudes et froides.
Les températures et les pressions aux points A et C sont. respectivement :
TA = 290 K pA = 1 bar TC = 1450K pC = 40 bar
En outre, le taux de compression v =VA / VC est égal à 8.
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3.1.Quelle équation relie la pression et le volume le long des courbes AB et CD ? Calculer les pressions,
en bar, pB et pD en B et D respectivement, ainsi que les volumes en litre en ces points.
3.2.Représenter avec soin le cycle ABCD dans le diagramme de Clapeyron (p,V). Justifier le sens de
description du cycle.
3.3.Calculer, en kJ, le travail et la chaleur reçus (algébriquement) par le gaz sur chaque portion du cycle.
Vérifier l'existence d'une relation simple entre toutes les grandeurs calculées.
3.4.Quelle est l'efficacité BO de ce cycle moteur, c'est-à-dire le rapport du travail fourni au milieu
extérieur sur la chaleur reçue de la part des sources chaudes représentées sur la portion BC du
diagramme ? Comparer BO à l'efficacité C d'un cycle moteur ditherme fonctionnant entre les
températures TA et TC. Commenter.
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4. Cycle de Stirling
Dans un cycle de Stirling, une même masse d' air (m = 2,9 g) suit une évolution cyclique réversible A' B' C' D' ,
constituée de deux portions isothermes A' B' et C' D' séparées par deux portions isochores B'C' et D'A'. Les
températures et les pressions aux points A' et C' sont les mêmes qu' aux points A et C respectivement. Le taux
de compression (v = VA / VC) est aussi le même que précédemment.
4.1.Quelle équation relie la pression et le volume le long des courbes A' B' et C' D' ? En déduire les
pressions pB' et pD' , en B' et D', respectivement.
4.2.Représenter avec soin le cycle A'B'C'D' dans le diagramme de Clapeyron. Comparer ce diagramme au
précédent.
4.3.Calculer le travail et la chaleur reçus (algébriquement) par le gaz sur chaque portion du cycle.
4.4.Les échanges thermiques au cours des évolutions isochores se font à l'aide d'un régénérateur interne à la
machine. Les seuls échanges thermiques avec l'extérieur ont lieu pendant les phases isothermes. Quelle est
l'efficacité S de ce cycle moteur, c'est-à-dire le rapport du travail fourni au milieu extérieur sur la chaleur
reçue de la part des sources chaudes représentées sur la portion C'D' du diagramme ? Comparer S à BO et
C .
PCSI. 01/02. Durée 2 heures.
Physique. Devoir surveillé N°8.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire et
lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Les questions sont numérotées. Les réponses à ces questions devront être données sous forme littérale la
plus simplifiée possible, encadrées, avant toute application numérique. Toute réponse non justifiée sera
considérée comme fausse.
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Cycles moteurs de Carnot, Beau de Rochas et Stirling
Après une étude graphique des machines dithermes, à l'aide du diagramme de Raveau, et une vérification
expérimentale de l'expression de l'entropie d'un gaz parfait, on compare les efficacités des cycles moteurs
de Carnot, Beau de Rochas et Stirling. Ce dernier cycle présente des caractéristiques intéressantes,
notamment un faible niveau de pollution, une durée de vie élevée et une excellente efficacité.
1. Machine ditherme
Une masse m de gaz, constituée principalement d'air, subit un cycle moteur entre deux sources
thermiques, l'une la source froide à la température Tf = 290 K, l'autre la source chaude à la température
Tc = 1450 K.
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1.1.Exprimer les bilans d'énergie et d'entropie au cours d'un cycle réel. On introduira les quantités
algébriques suivantes, relatives à un cycle : W, Qf , Qc , Sp ; W est le travail reçu
(algébriquement) par le fluide (si W > 0, il est effectivement reçu par le fluide, si W < 0, il est
effectivement fourni par le fluide). De même Qf est la chaleur reçue par le fluide de la part de la
source froide ; Qc est la chaleur reçue par le fluide de la part de la source chaude.
Dans l'écriture de Sp , qui désigne l'entropie produite, p est un indice et non un exposant.
1.2.Représenter, sur un même graphe, donnant Qc en fonction de Qf , appelé diagramme de Raveau,
les deux équations précédentes, W et Sp étant des quantités déterminées. En déduire la position
du point de fonctionnement sur le diagramme, compte tenu des signes de W et Sp, ainsi que le
sens des échanges thermiques (signes de Qc et Qf ).
1.3.Etablir l'expression de l'efficacité  du moteur, appelée aussi rendement, en fonction de Tc, Tf ,
Qc et Sp.
1.4.Que devient cette efficacité lorsque la machine ditherme fonctionne selon un cycle de Carnot ?
Calculer sa valeur c . Ce résultat, sensiblement inférieur à 1, doit-il être attribué à une
imperfection de la machine (frottements divers) ou provient-il d' une limitation fondamentale ?
Dans ce dernier cas, préciser la nature de cette limitation.
1.5.On définit le degré d' irréversibilité du cycle à l'aide du rapport r =  / c. Sachant que r = 0,94
et que le moteur fournit un travail de 15 kJ par cycle, trouver Qc , Qf et Sp . Porter avec soin ces
résultats sur un graphe, donnant Qc en fonction de Qf dans lequel 1 cm représente 5 kJ.
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2. Entropie d'un gaz parfait.
2.1.Etablir l'expression de la variation élémentaire de l'entropie d'un gaz parfait monoatomique en
fonction de sa température T et de sa pression p. Montrer que l' entropie du gaz peut s'écrire :
S =  ( -ln p +  ln T + Cte)
 étant un coefficient que l' on exprimera, en fonction du nombre n de moles et de la constante
R des gaz parfaits, et  un facteur que l'on déterminera. La constante Cte qui apparaît dans la
formule précédente a pu être déterminée expérimentalement à l' aide du graphe Cp(T) donnant la
capacité thermique molaire de l'argon gazeux, sous 1 bar, en fonction de la température.
2.2.Dans le cas d'un gaz parfait diatomique,  = 7/2. En déduire la relation entre la pression et la
température d'un gaz parfait diatomique au cours d'une évolution isentropique.
3. Cycle de Beau de Rochas et Otto.
Dans un moteur à explosion, le fluide, de masse m = 2,9 g , assimilé à un gaz parfait diatomique, de
masse molaire M = 29 g, suit une évolution cyclique réversible ABCD, constituée de deux portions
isentropiques, AB et CD, .séparées par deux portions isochores, BC et DA. Le cycle n'est plus ditherme :
il y a mise en contact du fluide avec une succession de sources chaudes et froides.
Les températures et les pressions aux points A et C sont. respectivement :
TA = 290 K pA = 1 bar TC = 1450K pC = 40 bar
En outre, le taux de compression v =VA / VC est égal à 8.
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3.1.Quelle équation relie la pression et le volume le long des courbes AB et CD ? Calculer les
pressions, en bar, pB et pD en B et D respectivement, ainsi que les volumes en litre en ces points.
3.2.Représenter avec soin le cycle ABCD dans le diagramme de (p,V). Justifier le sens de
description du cycle.
3.3.Calculer, en kJ, le travail et la chaleur reçus (algébriquement) par le gaz sur chaque portion du
cycle. Vérifier l'existence d'une relation simple entre toutes les grandeurs calculées.
3.4.Quelle est l'efficacité BO de ce cycle moteur, c'est-à-dire le rapport du travail fourni au milieu
extérieur sur la chaleur reçue de la part des sources chaudes représentées sur la portion BC du
diagramme ? Comparer BO à l'efficacité C d'un cycle moteur ditherme fonctionnant entre les
températures TA et TC. Commenter.
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4. Cycle de Stirling
Dans un cycle de Stirling, une même masse d' air (m = 2,9 g) suit une évolution cyclique réversible A' B'
C' D' , constituée de deux portions isothermes A' B' et C' D' séparées par deux portions isochores B'C' et
D'A'. Les températures et les pressions aux points A' et C' sont les mêmes qu' aux points A et C
respectivement. Le taux de compression (v = VA / VC) est aussi le même que précédemment.
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4.1.Quelle équation relie la pression et le volume le long des courbes A' B' et C' D' ? En déduire les
pressions pB' et pD' , en B' et D', respectivement.
4.2.Représenter avec soin le cycle A'B'C'D' dans le diagramme (p,V). Comparer ce diagramme au
précédent.
4.3.Calculer le travail et la chaleur reçus (algébriquement) par le gaz sur chaque portion du cycle.
4.4.Les échanges thermiques au cours des évolutions isochores se font à l'aide d'un régénérateur interne à
la machine. Les seuls échanges thermiques avec l'extérieur ont lieu pendant les phases isothermes.
Quelle est l'efficacité S de ce cycle moteur, c'est-à-dire le rapport du travail fourni au milieu
extérieur sur la chaleur reçue de la part des sources chaudes représentées sur la portion C'D' du
diagramme ? Comparer S à BO et C .
Problème 2. Mouvement d'un point matériel sur une courbe hélicoïdale
On considère un cylindre circulaire droit de rayon r et de hauteur 2 r, auquel est lié un repère
orthonormé direct Oxyz : Oz est l'axe vertical du cylindre et Oxy est la base inférieure horizontale. La
face latérale porte un tube mince de forme hélicoïdale HB dans lequel se déplace un petit objet A de
masse m assimilable à un point matériel. La définition paramétrique de la trajectoire de A est:
x = rcos
y = rsin
z = r(2 - ) avec 0 <  < 2 .
Le point H correspond à  = 0 et le point B à  = 2.
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Remarque. Le point A subit deux forces de réaction: celle du tube hélicoïdal notée et celle de la surface
latérale du cylindre circulaire que l’on nomme «réaction d’appui« et notée N.
Le cylindre est maintenu fixe et A glisse sans frottement sous l'action de son poids mg. Il est abandonné
en H sans vitesse initiale.
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1) Déterminer la loi s = f(), c'est-à-dire l'abscisse curviligne s() de A sur sa trajectoire en
fonction de l’angle polaire .
2) A partir de sa définition, déterminer les composantes du vecteur tangentiel ut de la base de
Frénet dans la base (i, j, k) du repère Oxyz.
3) Par application de la fondamentale de la dynamique (projetée judicieusement !), montrer que la
loi horaire du mouvement, c'est-à-dire l'abscisse curviligne s(t) de A sur sa trajectoire en
1
fonction du temps s’écrit : s 
gt 2 .
2 2
4) Calculer le temps mis par A pour atteindre le point B et la vitesse en B.
On suppose que le glissement de A se fait maintenant avec frottement. On admet que la valeur de la force
f de frottement est proportionnelle à la valeur de la réaction normale au déplacement, soit :
f=
R  N avec  < 1 facteur de frottement constant. Ceci constitue la loi de Coulomb.
5) Calculer, en fonction de (t) et de ses dérivées, l'accélération de A dans la base (i, j, k) du
repère Oxyz.
6) Déterminer en fonction de r, de (t) et de ses dérivées, l'accélération de A dans la base de
Frénet.
7) Exprimer, dans cette base, les projections des forces qui s’appliquent sur A.
8) Ecrire les équations du mouvement et déduire de la loi de Coulomb l'équation différentielle
vérifiée par .
9) En tenant compte du résultat de la question précédente et, après avoir déterminé l’expression du
rayon de courbure  de la trajectoire, exprimer l’équation différentielle relative à s(t).
10) Montrer que s (t ) croît et tend vers une limite que l’on déterminera.
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