Devoir surveillé N°2.

PCSI.
Physique.
Devoir surveillé N°2.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une
présentation claire et lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Les questions sont numérotées. Les réponses à ces questions devront être données sous forme
littérale la plus simplifiée possible, encadrées, avant toute application numérique. Toute réponse non
justifiée sera considérée comme fausse.
Toutes les applications numériques seront effectuées dans le système international d’unités. Il ne
sera pas tenu compte des applications numériques ne comportant pas d’indications d’unités.
Il est choisi de représenter les vecteurs en caractères gras, non surmontés de flèches. Ainsi le
vecteur AB sera écrit AB. La valeur du vecteur AB est écrite AB.
Problème 1. Réseau à résistance variable : modélisation de Thévenin.
On considère le montage représenté ci-dessous : les deux générateurs ont même f.é.m E et une
résistance interne négligeable. Une résistance fixe r est intercalée entre C et D. Un curseur C,
mobile sur le conducteur AB de résistance totale R, délimite une fraction xR de la résistance R entre
les points A et C (0 x  1).
1.1. Calculer, en fonction de E, r, R et x, la valeur algébrique du courant i circulant dans la
résistance r (compté positivement dans le sens C vers D) à l’aide du théorème de
Thévenin.
1.2. Calculer, en fonction de E, r, R et x, les intensités des courants i1 et i2 qui traversent
chacun des générateurs.
2. Pour quelle valeur de x, exprimée en fonction de r et R, l’intensité i 2 est-elle minimale?
On donne E = 1,5 V; r = 2  et R = 5  .
3. Calculer le rapport  des puissances consommées dans AC et CB, lorsque l'intensité i 2 est
minimale. Remarque : On ne cherchera pas à exprimer, dans cette question, l’expression
littérale finale de .
Problème 2. Mouvement d'un point matériel sur une courbe hélicoïdale
On considère un cylindre circulaire droit de rayon r et de hauteur 2 r, auquel est lié un repère
orthonormé direct Oxyz : Oz est l'axe vertical du cylindre et Oxy est la base inférieure horizontale. La
face latérale porte un tube mince de forme hélicoïdale HB dans lequel se déplace un petit objet A de
masse m assimilable à un point matériel. La définition paramétrique de la trajectoire de A est:
x = rcos
y = rsin
z = r(2 - ) avec 0 <  < 2 .
Le point H correspond à  = 0 et le point B à  = 2.
Remarque. Le point A subit deux forces de réaction: celle du tube hélicoïdal notée R et celle de la
surface latérale du cylindre circulaire que l’on nomme «réaction d’appui« et notée N.
Le cylindre est maintenu fixe et A glisse sans frottement sous l'action de son poids mg. Il est
abandonné en H sans vitesse initiale.
1) Déterminer la loi s = f(), c'est-à-dire l'abscisse curviligne s() de A sur sa trajectoire en
fonction de l’angle polaire .
2) A partir de sa définition, déterminer les composantes du vecteur tangentiel ut de la base de
Frénet dans la base (i, j, k) du repère Oxyz.
3) Par application de la fondamentale de la dynamique (projetée judicieusement !), montrer
que la loi horaire du mouvement, c'est-à-dire l'abscisse curviligne s(t) de A sur sa
1
trajectoire en fonction du temps s’écrit : s 
gt 2 .
2 2
4) Calculer le temps mis par A pour atteindre le point B et la vitesse en B.
On suppose que le glissement de A se fait maintenant avec frottement. On admet que la valeur de
la force f de frottement est proportionnelle à la valeur de la réaction normale au déplacement, soit :
f =  R  N avec  < 1 facteur de frottement constant. Ceci constitue la loi de Coulomb.
5) Calculer, en fonction de (t) et de ses dérivées, l'accélération de A dans la base (i, j, k) du
repère Oxyz.
6) Déterminer en fonction de r, de (t) et de ses dérivées, l'accélération de A dans la base de
Frénet.
7) Exprimer, dans cette base, les projections des forces qui s’appliquent sur A.
8) Ecrire les équations du mouvement et déduire de la loi de Coulomb l'équation différentielle
vérifiée par .
9) En tenant compte du résultat de la question précédente et, après avoir déterminé
l’expression du rayon de courbure  de la trajectoire, exprimer l’équation différentielle
relative à s(t).
10) Montrer que s (t ) croît et tend vers une limite que l’on déterminera.
Problème 3. Mouvement d'un point matériel guidé sur une droite mobile.
Une masselotte A, de masse m, glisse sans frottement sur une tige qui tourne uniformément
autour d'un axe vertical à la vitesse angulaire  en faisant un angle constant o avec cet axe. La
masselotte est soumise aussi à l'action d'un ressort de constante de raideur K et de longueur à vide
lo. On étudie le mouvement de A par rapport au référentiel non galiléen R’ lié à la tige auquel on a
associé la base cartésienne orthonormée ( er, e, ey’ ) avec er = OA/OA.
K
.
m
2) Déterminer la position d’équilibre re de la masselotte sur la tige en fonction de lo, g, o, 
et o.
3) On pose X = r – re. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par X.
4) Discuter suivant la valeur de o la nature du mouvement de A. On ne demande pas la
résolution des équations différentielles mais seulement un commentaire de la nature des
solutions.
1) Déterminer l’équation différentielle vérifiée par r = OA. On posera  o2 
Problème 4. Réponse à une tension en dent de scie.
On considère le circuit de la figure suivante :
A l'instant initial, les condensateurs C et C' sont déchargés.
On applique aux bornes d'entrée de ce circuit une tension variable ve (t). On appelle vs (t) la
tension de sortie.
1) Etablir l'équation différentielle reliant la tension de sortie vs(t), sa dérivée par rapport au
temps et la dérivée par rapport au temps de la tension d'entrée.
La tension d'entrée ve (t) est une impulsion de durée T telle que :
ve (t) = 0
pour t  0 et t > T
ve (t) = kt pour 0 < t  T où k est une constante.
2) Exprimer vs (t) pour tout temps t. On supposera T >> R (C + C’) = .
3) Représenter la courbe vs (t) pour 0 < t < 2 T, associée à la courbe ve (t) .