SP6 - Partie 2 : Des oscillateurs amortis et forcés Systèmes amortis I

Lycée Jean Perrin - Classe de TSI 1 E. VAN BRACKEL TD de Physique-Chimie
TD
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SP6 - Partie 2 : Des oscillateurs amortis et forcés
Systèmes amortis
I Oscillateur à ressort vertical
Reprendre l’exercice de la partie précédente. On va le rendre plus "réel" en lui
ajoutant des frottements fluides, proportionnels à la vitesse : −→ Ffrotts =−h−→ v, où
h = 8,0×10−3kg.s−1.
1. Etablir la nouvelle équation différentielle vérifiée à z(t) et la mettre sous forme ca-
nonique pour en déduire le facteur de qualité et la pulsation caractéristique.
2. Calculer numériquement Q et conclure quant au régime transitoire attendu.
3. Déterminer la solution z(t) avec les mêmes conditions initiales que dans le TD pré-
cédent. Préciser les expressions de la pseudo-période T et du temps de relaxation
τ.
4. Quel est l’ordre de grandeur du nombre d’oscillations que l’on pourra voir à l’œil nu ?
5. Tracer l’allure de la trajectoire de phase suivie par cet oscillateur, dans le plan de
phase (x,˙x). Ajouter sur le même graphe la trajectoire de phase qu’on aurait obtenu
en l’absence de frottements.
II Circuit RLC parallèle
On considère le circuit ci-contre, avec
C=1µF,L=0,1 mH et R = 1 kΩ.
L’armature supérieure porte la charge
Q(t = 0) = 20 µC. On ferme l’interrupteur
à t=0.
L u(t)
i(t)
C
K
R
iL(t)
iR(t)
1. Quelles sont les valeurs u(0+),i(0+)et iR(0+)des grandeurs juste après la fermeture
de l’interrupteur ?
2. Quelles sont les valeurs de ces grandeurs en régime permanent ?
3. Etablir l’équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur. La
mettre sous forme canonique pour identifier pulsation propre et facteur de qualité.
En déduire la nature du régime.
4. Résoudre l’équation différentielle pour en déduire les expressions de u(t) et i(t) et
tracer les courbes correspondantes.
5. Que se passe-t-il si on augmente ou diminue la valeur de la résistance ?
6. Au bout de combien de temps le régime transitoire peut-il être considéré terminé ?
III Circuit RLC série
On place maintenant les composants R, L et C en série.
1. Comparer l’équation avec celle du RLC parallèle.
2. Comparer la pulsation propre et le facteur d’amortissement.
Systèmes en Régime Sinusoïdal Forcé
IV Circuit RC en régime forcé
On considère un circuit RL série alimenté par une tension sinusoïdale e(t) = E cos(ωt).
1. Ecrire l’équation différentielle vérifiée par le courant traversant le circuit. Est-ce facile
de la résoudre ?
2. On passe en notations complexes. Quand peut-on le faire de manière générale ?
3. A partir de l’équation différentielle, injecter la forme complexe pour obtenir i.
4. A partir d’une méthode faisant intervenir les impédances complexes, retrouver le
résultat.
5. Donner la solution temporelle correspondant à cette solution complexe.
6. Y a-t-il encore un régime transitoire ? Et un régime permanent ? Est-ce utile de
connaître le régime transitoire ?
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TD 11. SP6 - PARTIE 2 : DES OSCILLATEURS AMORTIS ET FORCÉS
V Impédances équivalentes
1. Pour les circuits suivants, déterminer les impédances équivalentes.
2. Pour le circuit de droite, quelle est la condition sur les valeurs des composants de
sorte que le courant parcouru dans R1soit en phase avec la tension aux bornes du
générateur ?
VI Circuit en régime si-
nusoïdal
Considérons le montage ci-contre, ali-
menté par une source de tension sinusoï-
dale de fem e(t) = Emcos(ωt). On note
i(t) = Imcos(ωt + φ)le courant circulant
dans le condensateur de capacité C.
1. Déterminer grâce à l’application des lois des mailles et des noeuds l’expression com-
plexe du courant i.
2. En déduire Imet φ.
Résonances
VII Etude de la suspension d’un véhicule
Dans le cadre d’un modèle simplifié de suspension, on assimile le véhicule à un point maté-
riel M (de masse m), posé sur un ressort dont l’autre extrêmité S peut se déplacer le long
d’une route horizontale ou d’une route ondulée. Le ressort a une constante de raideur k et
une longueur l0au repos. On repère les positions de M et S par leur altitude zMet zSselon
un axe vertical Oz tel que zS= 0 lorsque la route est horizontale. Enfin, on simule l’effet
de l’amortisseur par un frottement fluide entre les points M et S dont la force résultante
sur la masse m est −→
Fd=−α( ˙zM−˙zS)−→ ez
1. Lorsque le véhicule se déplace sur la route horizontale, déterminer xM,eq en fonction
de m, g, k et l0.
2. Le véhicule se déplace à présent sur une route ondulée. On pose
X(t) = xM−xM,eq. Montrer que X(t) vérifie une équation différentielle de la forme
m¨ X + α˙ X + kX = F(t) où F(t) dépend de xSet de ses dérivées temporelles.
3. Le profil de la route est tel que F(t) est une fonction sinusoïdale d’amplitude Fmet
de pulsation ω.
(a) Calculer l’amplitude vmde la vitesse d’oscillation du véhicule en régime sinu-
soïdal forcé.
(b) En notations complexes, on pose H = XM
xS
. On note ω0=rk
m,Q = α
2√mk
et x = ω
ω0
. Exprimer Hen fonction de x et Q.
(c) Représenter l’allure du graphe de |H|pour Q=0.2. Quelle est la signification
physique de |H|?
(d) Commenter qualitativement la situation particulière où le ressort du système
est très raide.
2E. VAN BRACKEL