ρ ρ ρ ρ α - Cours Diderot

Correction des QCM extraits de concours de Saint-Michel
par Laurent Mesguich
SUJET N°18 : MECANIQUE NEWTONIENNE (CORRECTION)
1.A)
Soit l’équation différentielle : 0=+++ dcXXbXa &&&
Xa && est la composante accélération (
ma
).
cX est la composante « force de rappel » ( kxF
=
).
Xb
&
est la composante « force de frottement fluide » ( bvf
=
).
d est la solution particulière (poids, poussée d’Archimède)
Si le mobile subit des contraintes constantes, alors 0
≠
a et 0
≠
d . En effet b = 0 (aucun frottement
fluide) et c = 0 (aucune force de rappel). L’équation différentielle est du type : 0=+ dXa
&&
Exemples : gx
=
&&
: chute libre (MRUA) ou 0
=
x
&&
: (MRU)
2.F)
Si le mobile subit des contraintes de type « frottements fluides », alors 0
≠
b . Mais on doit avoir
0
≠
a , puisque la vitesse varie en raison de la présence des frottements fluides. Il n’y donc pas de
solutions. L’équation différentielle est du type : 0=+++ dcXXbXa &&& ou du type 0=++ dXbXa &&&
s’il n’y a pas de forces de rappel.
Exemple : 0=++ x
m
k
x
m
x&&&
µ
pour un pendule en translation avec frottement fluide du type xf &
µ
=
.
3.B)
Si le mobile subit des contraintes de type « forces de rappel », sans frottements, alors 0
≠
c et b = 0.
Mais on doit avoir 0
≠
a , puisque l’existence d’une force de rappel implique la variation de vitesse.
L’équation différentielle est du type : 0=++ dcXXa && . Mais on peut avoir d nul. Alors l’équation
différentielle devient du type : 0=+ cXXa && . Exemple : 0=+ x
m
k
x
&&
pour un pendule en translation
sans frottement.
4. A)
En choisissant le choix de l’axe (Oz) vers le bas, la loi fondamentale de la dynamique donne après
projection :
dt
dv
mKvVgmg =−− ²
0
ρ
soit )1(²
0
ρ
ρ
−=+ gv
m
k
dt
dv
Remarque : )1(
0
ρ
ρ
−gest l’intensité de pesanteur apparent, et la solution de l’équation
différentielle ci-dessus est de la forme :
+
−
=1
1
2
2
gt
gt
e
e
vv
α
α
l
où
α
1
== k
mg
v
l
.