ρ ρ ρ ρ α - Cours Diderot

Correction des QCM extraits de concours de Saint-Michel
par Laurent Mesguich
SUJET N°18 : MECANIQUE NEWTONIENNE (CORRECTION)
1.A)
&& + bX& + cX + d = 0
Soit l’équation différentielle : aX
aX&& est la composante accélération ( ma ).
cX est la composante « force de rappel » ( F = kx ).
bX& est la composante « force de frottement fluide » ( f = bv ).
d est la solution particulière (poids, poussée d’Archimède)
Si le mobile subit des contraintes constantes, alors a ≠ 0 et d ≠ 0 . En effet b = 0 (aucun frottement
&& + d = 0
fluide) et c = 0 (aucune force de rappel). L’équation différentielle est du type : aX
Exemples : &x& = g : chute libre (MRUA) ou &x& = 0 : (MRU)
2.F)
Si le mobile subit des contraintes de type « frottements fluides », alors b ≠ 0 . Mais on doit avoir
a ≠ 0 , puisque la vitesse varie en raison de la présence des frottements fluides. Il n’y donc pas de
&& + bX& + cX + d = 0 ou du type aX&& + bX& + d = 0
solutions. L’équation différentielle est du type : aX
s’il n’y a pas de forces de rappel.
Exemple : &x& +
µ
m
x& +
k
x = 0 pour un pendule en translation avec frottement fluide du type f = µx& .
m
3.B)
Si le mobile subit des contraintes de type « forces de rappel », sans frottements, alors c ≠ 0 et b = 0.
Mais on doit avoir a ≠ 0 , puisque l’existence d’une force de rappel implique la variation de vitesse.
&& + cX + d = 0 . Mais on peut avoir d nul. Alors l’équation
L’équation différentielle est du type : aX
différentielle devient du type : aX&& + cX = 0 . Exemple : &x& +
k
x = 0 pour un pendule en translation
m
sans frottement.
4.A)
En choisissant le choix de l’axe (Oz) vers le bas, la loi fondamentale de la dynamique donne après
projection :
ρ
dv k
dv
soit
+ v ² = g (1 − 0 )
mg − ρ 0Vg − Kv ² = m
dt m
ρ
dt
Remarque : g (1 −
ρ0
) est l’intensité de pesanteur apparent, et la solution de l’équation
ρ
 e 2αgt − 1 
mg 1
 où vl =
= .
2αgt
k
α
 e +1
différentielle ci-dessus est de la forme : v = vl 