Exercice : équation de charge d`un condensateur dans un

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Exercice : équation de charge d’un condensateur dans un circuit résistif
2h
Soit le montage ci dessous.
On prend comme origine du temps l’instant de fermeture de l’interrupteur.
Le condensateur est initialement déchargé. sE est constant.
Le condensateur obéit à la relation fondamentale suivante :
iC duc soit le courant est la dérivée de la tension en fonction du temps fois la capacité du
dt
condensateur.
1. Ecrire la loi des mailles du circuit.
2. Remplacer le courant par son expression en fonction de uc.
Présenter l’équation obtenue sous la forme d’une équation différentielle
uc’ + A.uc = B et donner les expressions de A et B en fonction de E, R et C.
3. En comparant la dimension de uc’ avec les autres termes de l’équation différentielle,
donner la dimension du produit R.C.
4. Donner la solution de cette équation différentielle. C’est-à-dire, exprimer uc en
fonction de E, R, C et du temps.
5. Application numérique (cette partie peut-être réalisée dans Excel)
E = 4.5 V
R = 1 k
C = 0,68 F
Calculer la constante de temps  = RC
Compléter le tableau et tracer le graphique (2 cm pour 1 V et 1 cm pour 0.2 ms)
t (ms)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.3
1.6
1.9
2.2
2.5
2.8
uc (V)
6. On définit ttr la durée du régime transitoire le temps au bout duquel la tension a atteind
90% de son maximum.
Relever graphiquement cette durée.
Quel est le rapport numérique entre  et ttr ?
7. Tracer l’asymptote à l’infinie. Quelle est sa valeur ?
8. Tracer la tangente à l’origine. A quel instant rencontre-t-elle l’asymptote ?
9. A quel instant la tension uc atteint-elle 63% de son maximum ?
10. Relever l’intervalle de temps mis par uc pour passer de 10% à 90% de sont maximum
puis exprimer le rapport entre cet intervalle et la constante de temps .
©Claude Divoux, 2003
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