SP6 - Partie 2 : Des oscillateurs amortis et

Lycée Jean Perrin - Classe de TSI 1 - E. VAN BRACKEL TD de Physique-Chimie
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SP6 - Partie 2 : Des oscillateurs amortis et forcés
Systèmes amortis
1 Oscillateur à ressort vertical
Reprendre l’exercice de la partie précédente. On va le rendre plus "réel" en lui
ajoutant des frottements fluides, proportionnels à la vitesse : −→ Ffrotts =−h−→ v, où
h = 8,0×10−3kg.s−1.
1. Etablir la nouvelle équation différentielle vérifiée à z(t) et la mettre sous forme ca-
nonique pour en déduire le facteur de qualité et la pulsation caractéristique.
2. Déterminer la solution z(t) avec les mêmes conditions initiales que dans le TD pré-
cédent. Préciser les expressions de la pseudo-période T et du temps de relaxation
τ.
3. Calculer numériquement ces deux temps caractéristiques. Quel est l’ordre de grandeur
du nombre d’oscillations que l’on pourra voir à l’œil nu ?
2 Oscillateur à deux ressorts (suite)
Reprendre l’exercice du TD précédent, dans lequel on ajoute des frottements fluides de la
forme −→ Ffrotts =−µ−→ v.
1. Etablir l’équation différentielle dont x(t) est solution.
2. A quelle condition sur µle mouvement est oscillatoire amorti ?
3. Sous cette condition, donner l’expression de x(t) en tenant compte des conditions
initiales et exprimer la pseudo-période en fonction de ω0et h = µ
m.
4. Tracer l’allure de la trajectoire de phase suivie par cet oscillateur, dans le plan de
phase (x,˙x). Ajouter sur le même graphe la trajectoire de phase qu’on aurait obtenu
en l’absence de frottements.
3 Portrait de phase
Soit un système dont le portrait de phase
est tracé ci-contre.
1. Existe-t-il des positions d’équilibre ?
2. Que dire de leur stabilité ?
4 Circuit RLC parallèle
On considère le circuit ci-contre, avec
C=1µF,L = 0,1 mH et R = 1 kΩ.
L’armature supérieure porte la charge
Q(t = 0) = 20 µC. On ferme l’interrupteur
à t=0.
1. Quelles sont les valeurs u(0+),i(0+)et iR(0+)des grandeurs juste après la fermeture
de l’interrupteur ?
2. Quelles sont les valeurs de ces grandeurs en régime permanent ?
3. Etablir l’équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur. La
mettre sous forme canonique pour identifier pulsation propre et facteur de qualité.
En déduire la nature du régime.
4. Résoudre l’équation différentielle pour en déduire les expressions de u(t) et i(t) et
tracer les courbes correspondantes.
5. Que se passe-t-il si on augmente ou diminue la valeur de la résistance ?
6. Au bout de combien de temps le régime transitoire peut-il être considéré terminé ?
5 Circuit RLC série
On place maintenant les composants R, L et C en série.
1. Comparer l’équation avec celle du RLC parallèle.
2. Comparer la pulsation propre et le facteur d’amortissement.
Systèmes en Régime Sinusoïdal Forcé
6 Circuit RC en régime forcé
On considère un circuit RC série alimenté par une tension sinusoïdale e(t) = E cos(ωt).
1. Ecrire l’équation différentielle vérifiée par la tension uCaux bornes du condensateur.
Est-ce facile de la résoudre ?
2. On passe en notations complexes. Quand peut-on le faire de manière générale ?
3. A partir de l’équation différentielle, injecter la forme complexe pour obtenir uC.
4. A partir d’une méthode faisant intervenir les impédances complexes, retrouver le
résultat.
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TD 9. SP6 - PARTIE 2 : DES OSCILLATEURS AMORTIS ET FORCÉS
5. Donner la solution temporelle correspondant à cette solution complexe.
6. Y a-t-il encore un régime transitoire ? Et un régime permanent ? Est-ce utile de
connaître le régime transitoire ?
7 Impédances équivalentes
1. Pour les circuits suivants, déterminer les impédances équivalentes.
2. Pour le circuit de droite, quelle est la condition sur les valeurs des composants de
sorte que le courant parcouru dans R1soit en phase avec la tension aux bornes du
générateur ?
8 Circuit en régime sinusoïdal
Considérons le montage ci-contre, ali-
menté par une source de tension sinusoï-
dale de fem e(t) = Emcos(ωt). On note
i(t) = Imcos(ωt + φ)le courant circulant
dans le condensateur de capacité C.
1. Déterminer grâce à l’application des lois des mailles et des noeuds l’expression com-
plexe du courant i.
2. En déduire Imet φ.
Résonances
9 Quelques résonances (d’après Centrale TSI 2003)
1. Résonance série
(a) Ecrire l’impédance Zd’un circuit composé d’une résistance R, d’une inductance
L et d’une capacité C placées en série.
(b) Exprimer le module de l’impédance en fonction de ω0=1
√LC et de Q = Lω0
R.
(c) Déterminer le retard de phase φde l’intensité parcourant ce circuit lorsqu’on
l’alimente par une tension sinusoïdale d’amplitude E et de pulsation ω.
(d) Tracer en le justifiant le rapport Z
Ren fonction de x = ω ω0
.
(e) En déduire que le module de l’intensité I passe par un maximum Imax dont on
donnera la valeur. Pour quelle valeur de x est-elle atteinte ? Quelle est alors la
valeur de φ? Quel est le phénomène mis en jeu ?
2. Résonance parallèle
(a) Ecrire l’impédance Z0d’un circuit composé d’une résistance R et d’une induc-
tance L montées en parallèle d’une capacité C.
(b) En déduire l’expression de Z0en fonction de R, C, ω,ω0, Q et Z.
(c) Montrer que, lorsque Q1et Qx 1,Z0peut se mettre sous la forme ap-
prochée Z0=Q2R2
Z.
(d) Que vaut Z0pour la pulsation ω0? Comment se comporte alors le circuit ?
(e) On suppose x=1. Déterminer les valeurs approximatives des intensités iLet
iCqui traversent respectivement L et C, en fonction de R, Q, ω, t et E.
10 Etude de la suspension d’un véhicule
Dans le cadre d’un modèle simplifié de suspension, on assimile le véhicule à un point maté-
riel M (de masse m), posé sur un ressort dont l’autre extrêmité S peut se déplacer le long
d’une route horizontale ou d’une route ondulée. Le ressort a une constante de raideur k et
une longueur l0au repos. On repère les positions de M et S par leur altitude zMet zSselon
un axe vertical Oz tel que zS= 0 lorsque la route est horizontale. Enfin, on simule l’effet
de l’amortisseur par un frottement fluide entre les points M et S dont la force résultante
sur la masse m est −→
fd=−α( ˙zM−˙zS)−→ ez
1. Lorsque le véhicule se déplace sur la route horizontale, déterminer xM,eq en fonction
de m, g, k et l0.
2. Le véhicule se déplace à présent sur une route ondulée. On pose
XM(t) = xM−xM,eq. Montrer que X(t) vérifie une équation différentielle de la
forme m¨ X + α˙ X + kX = F(t) où F dépend de xSet de ses dérivées temporelles.
3. Le profil de la route est tel que F(t) est une fonction sinusoïdale d’amplitude Fmet
de pulsation ω.
(a) Calculer l’amplitude vmde la vitesse d’oscillation du véhicule en régime sinu-
soïdal forcé.
(b) En notations complexes, on pose H = XM
xS
. On note ω0=rk
m,Q = α
2√mk
et x = ω
ω0
. Exprimer Hen fonction de x et Q.
(c) Représenter l’allure du graphe de |H|pour Q=0.2. Quelle est la signification
physique de |H|?
(d) Commenter qualitativement la situation particulière où le ressort du système
est très raide.
2E. VAN BRACKEL