SP6 - Partie 2 : Des oscillateurs amortis et

Lycée Jean Perrin - Classe de TSI 1 - E. VAN BRACKEL
TD de Physique-Chimie
TD
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SP6 - Partie 2 : Des oscillateurs amortis et forcés
Systèmes amortis
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Circuit RLC parallèle
On considère le circuit ci-contre, avec
C = 1 µF, L = 0, 1 mH et R = 1 kΩ.
Reprendre l’exercice de la partie précédente. On va le rendre plus "réel" en lui L’armature supérieure porte la charge
→
−
−
ajoutant des frottements fluides, proportionnels à la vitesse : F frotts = −h→
v , où Q(t = 0) = 20 µC. On ferme l’interrupteur
h = 8, 0 × 10−3 kg.s−1 .
à t=0.
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Oscillateur à ressort vertical
1. Etablir la nouvelle équation différentielle vérifiée à z(t) et la mettre sous forme canonique pour en déduire le facteur de qualité et la pulsation caractéristique.
1. Quelles sont les valeurs u(0+ ), i(0+ ) et iR (0+ ) des grandeurs juste après la fermeture
de l’interrupteur ?
2. Déterminer la solution z(t) avec les mêmes conditions initiales que dans le TD précédent. Préciser les expressions de la pseudo-période T et du temps de relaxation
τ.
2. Quelles sont les valeurs de ces grandeurs en régime permanent ?
3. Etablir l’équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur. La
mettre sous forme canonique pour identifier pulsation propre et facteur de qualité.
En déduire la nature du régime.
3. Calculer numériquement ces deux temps caractéristiques. Quel est l’ordre de grandeur
du nombre d’oscillations que l’on pourra voir à l’œil nu ?
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4. Résoudre l’équation différentielle pour en déduire les expressions de u(t) et i(t) et
tracer les courbes correspondantes.
Oscillateur à deux ressorts (suite)
5. Que se passe-t-il si on augmente ou diminue la valeur de la résistance ?
Reprendre l’exercice du TD précédent, dans lequel on ajoute des frottements fluides de la
→
−
−
forme F frotts = −µ→
v.
6. Au bout de combien de temps le régime transitoire peut-il être considéré terminé ?
1. Etablir l’équation différentielle dont x(t) est solution.
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2. A quelle condition sur µ le mouvement est oscillatoire amorti ?
On place maintenant les composants R, L et C en série.
3. Sous cette condition, donner l’expression de x(t) en tenant compte des conditions
µ
initiales et exprimer la pseudo-période en fonction de ω0 et h = .
m
4. Tracer l’allure de la trajectoire de phase suivie par cet oscillateur, dans le plan de
phase (x, ẋ). Ajouter sur le même graphe la trajectoire de phase qu’on aurait obtenu
en l’absence de frottements.
3
Circuit RLC série
1. Comparer l’équation avec celle du RLC parallèle.
2. Comparer la pulsation propre et le facteur d’amortissement.
Systèmes en Régime Sinusoïdal Forcé
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Circuit RC en régime forcé
On considère un circuit RC série alimenté par une tension sinusoïdale e(t) = E cos(ωt).
Portrait de phase
1. Ecrire l’équation différentielle vérifiée par la tension uC aux bornes du condensateur.
Est-ce facile de la résoudre ?
Soit un système dont le portrait de phase
est tracé ci-contre.
1. Existe-t-il des positions d’équilibre ?
2. On passe en notations complexes. Quand peut-on le faire de manière générale ?
3. A partir de l’équation différentielle, injecter la forme complexe pour obtenir uC .
2. Que dire de leur stabilité ?
4. A partir d’une méthode faisant intervenir les impédances complexes, retrouver le
résultat.
1
TD 9. SP6 - PARTIE 2 : DES OSCILLATEURS AMORTIS ET FORCÉS
5. Donner la solution temporelle correspondant à cette solution complexe.
6. Y a-t-il encore un régime transitoire ? Et un régime permanent ? Est-ce utile de
connaître le régime transitoire ?
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(e) En déduire que le module de l’intensité I passe par un maximum Imax dont on
donnera la valeur. Pour quelle valeur de x est-elle atteinte ? Quelle est alors la
valeur de φ ? Quel est le phénomène mis en jeu ?
2. Résonance parallèle
(a) Ecrire l’impédance Z0 d’un circuit composé d’une résistance R et d’une inductance L montées en parallèle d’une capacité C.
(b) En déduire l’expression de Z0 en fonction de R, C, ω, ω0 , Q et Z.
(c) Montrer que, lorsque Q 1 et Qx 1, Z0 peut se mettre sous la forme apQ2 R2
prochée Z0 =
.
Z
(d) Que vaut Z0 pour la pulsation ω0 ? Comment se comporte alors le circuit ?
(e) On suppose x = 1. Déterminer les valeurs approximatives des intensités iL et
iC qui traversent respectivement L et C, en fonction de R, Q, ω, t et E.
Impédances équivalentes
1. Pour les circuits suivants, déterminer les impédances équivalentes.
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Etude de la suspension d’un véhicule
2. Pour le circuit de droite, quelle est la condition sur les valeurs des composants de
sorte que le courant parcouru dans R1 soit en phase avec la tension aux bornes du Dans le cadre d’un modèle simplifié de suspension, on assimile le véhicule à un point matériel M (de masse m), posé sur un ressort dont l’autre extrêmité S peut se déplacer le long
générateur ?
d’une route horizontale ou d’une route ondulée. Le ressort a une constante de raideur k et
une longueur l0 au repos. On repère les positions de M et S par leur altitude zM et zS selon
8 Circuit en régime sinusoïdal
un axe vertical Oz tel que zS = 0 lorsque la route est horizontale. Enfin, on simule l’effet
Considérons le montage ci-contre, alide l’amortisseur par un frottement fluide entre les points M et S dont la force résultante
menté par une source de tension sinusoïsur la masse m est
→
−
dale de fem e(t) = Em cos(ωt). On note
−
f d = −α(zM
˙ − z˙S )→
ez
i(t) = Im cos(ωt + φ) le courant circulant
1. Lorsque le véhicule se déplace sur la route horizontale, déterminer xM,eq en fonction
dans le condensateur de capacité C.
de m, g, k et l0 .
1. Déterminer grâce à l’application des lois des mailles et des noeuds l’expression com2. Le véhicule se déplace à présent sur une route ondulée. On pose
plexe du courant i.
XM (t) = xM − xM,eq . Montrer que X(t) vérifie une équation différentielle de la
2. En déduire Im et φ.
forme mẌ + αẊ + kX = F(t) où F dépend de xS et de ses dérivées temporelles.
Résonances
3. Le profil de la route est tel que F(t) est une fonction sinusoïdale d’amplitude Fm et
de pulsation ω.
(a) Calculer l’amplitude vm de la vitesse d’oscillation du véhicule en régime sinu9 Quelques résonances (d’après Centrale TSI 2003)
soïdal forcé.
r
1. Résonance série
XM
k
α
(b) En notations complexes, on pose H =
. On note ω0 =
, Q= √
(a) Ecrire l’impédance Z d’un circuit composé d’une résistance R, d’une inductance
xS
m
2 mk
L et d’une capacité C placées en série.
ω
et
x
=
.
Exprimer
H
en
fonction
de
x
et
Q.
1
Lω0
ω0
(b) Exprimer le module de l’impédance en fonction de ω0 = √
et de Q =
.
R
LC
(c) Représenter l’allure du graphe de |H| pour Q = 0.2. Quelle est la signification
(c) Déterminer le retard de phase φ de l’intensité parcourant ce circuit lorsqu’on
physique de |H| ?
l’alimente par une tension sinusoïdale d’amplitude E et de pulsation ω.
(d) Commenter qualitativement la situation particulière où le ressort du système
Z
ω
est très raide.
en fonction de x =
.
(d) Tracer en le justifiant le rapport
R
ω0
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