On considère une suite ( )définie sur ℕ dont aucun terme n`est
TS DM 2 A rendre le 3/10/2016
Exercice 1 :
Soit
n
u
la suite définie par
09u
et pour tout
114
,2
nn
n
n u u u
.
1. a) Dresser le tableau de variation de la fonction f définie sur
0;
par
14
() 2
f x x x
b) Montrer que, quel que soit
2, ( ) 2x f x
c) Montrer, par récurrence, que la suite
n
u
est minorée par 2
2. Montrer que la suite
n
u
converge ( on ne demande pas sa limite )
Exercice 2 : livre n° 48 p 122
Exercice 3 :
On considère une suite (définie sur dont aucun terme n’est nul et on
définit alors la suite ( sur par = -
.
Pour chacune des deux propositions suivantes dire en justifiant si elle est
vraie ou fausse :
1. Si la suite ( est minorée par 2, alors ( est minorée par -1.
2. Si la suite ( est décroissante, alors ( est croissante.
Exercice 4 :
z
étant un nombre complexe donné, on considère le nombre complexe
Z
défini
par :
227Z z z
.
1. Vrai ou Faux ? « si
12zi
, alors Z est imaginaire pur »
2. On pose
z x iy
. Ecrire
Z
sous forme algébrique.
3. Montrer que, si
z
est réel, alors
Z
est aussi réel. Existe-t-il d’autres
nombres complexes z tels que Z soit réel ?
Corrigé :
Exercice 1 :
1. a)
22
2 2 2
1 4 1 4 4
'( ) 1
2 2 2
xx
fx x x x
b) D’après le tableau de variations, le minimum de f sur
[2; [
est 2.
On en déduit que, quel que soit
2, ( ) 2x f x
Autre raisonnement possible
f est croissante sur [2 ; +
[ donc
si x
2 alors f(x)
f(2). Comme f(2)=2 on a f(x)
2
c)
On veut démontrer par récurrence que la propriété
:2
nn
Pu
est vraie pour tout
entier naturel n.
Initialisation : pour n = 0
u0 =9. On a bien
02u
donc la propriété est vraie pour n = 0.
Hérédité : Soit n un entier naturel fixé quelconque.
Supposons que
n
P
est vraie soit
2
n
u
et montrons que
1n
P
est vraie soit
12
n
u
Par hypothèse de récurrence on a :
2
n
u
. D’après la question b, on a donc
2
n
fu
soit
12
n
u
donc
1n
P
est vraie
Conclusion :
n
P
est vraie au rang 0 et elle est héréditaire, donc
:2
nn
Pu
est
vraie pour tout entier naturel n.
2. Montrons, par récurrence, que la suite
n
u
est décroissante c'est-à-dire
que pour tout
1
,nn
n u u
.
On veut démontrer par récurrence que la propriété
1
:
n n n
P u u
est vraie pour
tout entier naturel n.
Initialisation : pour n = 0
u0 =9 et
185 4,7
18
u
. On a
01
uu
donc la propriété est vraie pour n = 0.
Hérédité : Soit n un entier naturel fixé quelconque.
Supposons que
n
P
est vraie soit
1nn
uu
et montrons que
1n
P
est vraie soit
12nn
uu
Par hypothèse de récurrence on a :
1nn
uu
et même
12
nn
uu
( puisque
d’après 1 c , tous les
n
u
sont supérieurs ou égaux à 2 .
De plus, la fonction f est croissante sur
[2; [
, donc
1nn
f u f u
soit
12nn
uu
donc
1n
P
est vraie
Conclusion :
n
P
est vraie au rang 0 et elle est héréditaire, donc
n
P
est vraie pour
tout entier naturel n.
On en déduit que
n
u
est décroissante.
Par conséquent,
n
u
est décroissante et minorée donc elle converge.
Exercice 2 :
Exercice 3
1. Proposition vraie :
Pour tout entier naturel n, an
2 alors par application de la fonction
inverse ( les deux nombres sont strictement positifs) on a :
1 1 2
d'où en multipliant par -2 , 1 soit b 1
2n
nn
aa
ce qui signifie que
(bn) est minorée par –1.
2. Proposition fausse .
Donnons un contre exemple :
on peut considérer la suite () de terme général
1
1
1 qui est une suite décroissante à termes non nuls
12
Alors 2( 1)
2( 2)
Ona:n 1 n 2donc 2(n 1) 2( 2)
et( ) est aussi décroissante.
n
nn
n
nn
n
an
bn
a
bn
n
soitb b
b
Exercice 4 :
1. Posons
12zi
.
2
1 2 2 1 2 7 1 4 4 2 4 7 6 8Z i i i i i
Donc Faux , Z n’est pas imaginaire pur .
2. Posons
z x iy
.
227
² 2 ² 2 2 7
² ² 2 7 2 2
Z x iy x iy
x xyi y x yi
x y x i xy y
3. si
z
est réel, alors
0y
donc
² 2 7 0 ² 2 7Z x x i x x
.On en déduit que Z est réel.
Pour savoir s’il y a d’autres valeurs de z telles que Z soit réel,
traduisons cette condition :
Z réel
2 2 0 2 2 0 0 1xy y y x y ou x
En conclusion, il y a deux types de nombres complexes z pour lesquels Z
est réel :
Ceux pour lesquels
0y
donc les nombres réels
Ceux pour lesquels
1x
donc ceux qui s’écrivent sous la forme :
1,z iy avec y réel
.
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