On considère une suite ( )définie sur ℕ dont aucun terme n`est

TS
DM 2
A rendre le 3/10/2016
Corrigé :
Exercice 1 :
Exercice 1 :
1
4
Soit  un  la suite définie par u0  9 et pour tout n  , un 1   un   .
2
un 
1. a) Dresser le tableau de variation de la fonction f définie sur 0;   par
1
4  1  x2  4  x2  4
1. a) f '( x)  1  2    2  
2  x  2  x  2 x2
1
4
f ( x)   x  
2
x
b) Montrer que, quel que soit x  2, f ( x)  2
c) Montrer, par récurrence, que la suite  un  est minorée par 2
2. Montrer que la suite  un  converge ( on ne demande pas sa limite )
Exercice 2 : livre n° 48 p 122
Exercice 3 :
On considère une suite (𝑎𝑛 )définie sur ℕ dont aucun terme n’est nul et on
2
définit alors la suite (𝑏𝑛 ) sur ℕ par 𝑏𝑛 = - 𝑎 .
𝑛
Pour chacune des deux propositions suivantes dire en justifiant si elle est
vraie ou fausse :
1. Si la suite (𝑎𝑛 ) est minorée par 2, alors (𝑏𝑛 ) est minorée par -1.
2. Si la suite (𝑎𝑛 ) est décroissante, alors (𝑏𝑛 ) est croissante.
Exercice 4 :
z étant un nombre complexe donné, on considère le nombre complexe Z défini
par : Z  z 2  2 z  7 .
1. Vrai ou Faux ? « si z  1  2i , alors Z est imaginaire pur »
2. On pose z  x  iy . Ecrire Z sous forme algébrique.
3. Montrer que, si z est réel, alors Z est aussi réel. Existe-t-il d’autres
nombres complexes z tels que Z soit réel ?
b) D’après le tableau de variations, le minimum de f sur [2;  [ est 2.
On en déduit que, quel que soit x  2, f ( x)  2
Autre raisonnement possible
f est croissante sur [2 ; +  [ donc
si x  2 alors f(x)  f(2). Comme f(2)=2 on a f(x)  2
c)
On veut démontrer par récurrence que la propriété Pn : un  2 est vraie pour tout
entier naturel n.
Initialisation : pour n = 0
u0 =9. On a bien u0  2 donc la propriété est vraie pour n = 0.
Hérédité : Soit n un entier naturel fixé quelconque.
Supposons que Pn est vraie soit un  2 et montrons que Pn1 est vraie soit
un1  2
Par hypothèse de récurrence on a : un  2 . D’après la question b, on a donc
f  un   2 soit un1  2 donc Pn1 est vraie
Conclusion : Pn est vraie au rang 0 et elle est héréditaire, donc Pn : un  2 est
vraie pour tout entier naturel n.
2. Montrons, par récurrence, que la suite  un  est décroissante c'est-à-dire
que pour tout n  , un  un1 .
On veut démontrer par récurrence que la propriété Pn : un  un1 est vraie pour
tout entier naturel n.
Initialisation : pour n = 0
85
u0 =9 et u1 
 4,7 . On a u0  u1 donc la propriété est vraie pour n = 0.
18
Hérédité : Soit n un entier naturel fixé quelconque.
Supposons que Pn est vraie soit un  un1 et montrons que Pn1 est vraie soit
un1  un2
Par hypothèse de récurrence on a : un  un1 et même un  un1  2 ( puisque
d’après 1 c , tous les un sont supérieurs ou égaux à 2 .
De plus, la fonction f est croissante sur [2;  [ , donc f  un   f  un1  soit
un1  un2 donc Pn1 est vraie
Conclusion : Pn est vraie au rang 0 et elle est héréditaire, donc Pn est vraie pour
tout entier naturel n.
On en déduit que  un  est décroissante.
Par conséquent,  un  est décroissante et minorée donc elle converge.
Exercice 2 :
2. Posons z  x  iy .
Z   x  iy   2  x  iy   7
2
 x ²  2 xyi  y ²  2 x  2 yi  7
  x ²  y ²  2 x  7   i  2 xy  2 y 
3.
Exercice 3
1. Proposition vraie :
Pour tout entier naturel n, an  2 alors par application de la fonction
inverse ( les deux nombres sont strictement positifs) on a :
1 1
2
 d'où en multipliant par -2 ,
 1 soit b n  1 ce qui signifie que
an 2
an
(bn) est minorée par –1.
2. Proposition fausse .
Donnons un contre exemple :
on peut considérer la suite (𝑎𝑛 ) de terme général
1
an 
qui est une suite décroissante à termes non nuls
n 1
2
Alors bn    2(n  1)
an
bn 1  2(n  2)
On a : n  1  n  2 donc  2(n  1)  2( n  2)
soit bn  bn 1
et(bn ) est aussi décroissante.
Exercice 4 :
1. Posons z  1  2i .
Z  1  2i   2 1  2i   7  1  4i  4  2  4i  7  6  8i
2
Donc Faux , Z n’est pas imaginaire pur .
si z est réel, alors y  0 donc
Z   x²  2x  7   i  0  x²  2x  7 .On en déduit que Z est réel.
Pour savoir s’il y a d’autres valeurs de z telles que Z soit réel,
traduisons cette condition :
Z réel  2xy  2 y  0  y  2x  2  0  y  0 ou x  1
En conclusion, il y a deux types de nombres complexes z pour lesquels Z
est réel :
 Ceux pour lesquels y  0 donc les nombres réels

Ceux pour lesquels x  1 donc ceux qui s’écrivent sous la forme :
z  1  iy , avec y réel .