TD17 Onde electromagnetique dans le vide-corrige

MP – Physique-chimie. Travaux dirigés
Jean Le Hir, 9 décembre 2007 Page 1 sur 3
Onde électromagnétique dans le vide - corrigé
On considère un champ électrique d’une onde électromagnétique de la forme suivante :
( )
( )
0
0
0
cos cos
sin cos
y
E E t kz
ay
E t kz
a
π
= ω −
π
α ω − +ϕ
1- À partir de l’équation de Maxwell-Gauss et de l’équation de propagation du champ, déterminer
α
,
ϕ
et k en fonction de
ω
, a et de la vitesse
0
c
de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide.
Équation de Maxwell-Gauss :
{ }
div 0, , , ,
y
xz
E
EE
E x y z t
x y z
∂
∂∂
= + + = ∀
∂ ∂ ∂
( ) ( )
0
div sin cos sin
y
E E t kz k t kz
a a
π π
= − ω − − α ω − +ϕ
En posant
u t kz
= ω −
, la condition nécessaire
div 0
E
=
s’écrit donc
( )
cos sinu k u
a
π
= α +ϕ
Deux fonctions harmoniques de la même variable ne peuvent égale quel que soit u que si elles ont
même amplitude et même phase, soit :
ka
π
α =
et
2
π
ϕ=−
. Le champ électrique s’écrit donc :
( )
( )
0
0
0
cos cos
sin sin
y
E E t kz
ay
E t kz
ka a
π
= ω −
π π ω −
Remarque : Les valeurs
ka
π
α =−
et
2
π
ϕ=+
correspondent à la même solution.
L’équation de propagation s’écrit :
{ }
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
0
1
, , , 0
1
0
x
y y y y
y
z z z z
z
E
E E E E
x y z t E x y z c t
E E E E
Ex y z c t
=
∂ ∂ ∂ ∂
∀ = + + − =
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
= + + − =
∂ ∂ ∂ ∂
Chacune des deux équations d’Alembertiennes donne la même condition :
{ }
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
0 0
0 , , ,
y y
E k E x y z t k
a c c a
π ω ω π
= − − + = ∀ ⇒= +
{ }
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
0 0
0 , , ,
z z
E k E x y z t k
a c c a
π ω ω π
= − − + = ∀ ⇒= +

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Cette relation
2 2
2 2 2
0
0
2
c
k c
a
π
ω = + s’appelle « relation de dispersion ». Elle impose une condition
absolue sur la pulsation ω, il existe une pulsation de coupure
c
ω
. En posant
c 0
c a
ω = π
, cette
condition s’écrit :
c
ω> ω
.
2- À partir de l’équation de Maxwell-Faraday, déterminer le champ magnétique
B
associé à ce champ
électrique dans cette onde électromagnétique et vérifier que ce champ satisfait bien aux autres
équations de Maxwell qui le concernent.
L’équation de Maxwell-Faraday s’écrit :
{ }
0
0
rot , , , ,
x
y
z
y y x
z z
E
x
E
EB
E E E e x y z t
y y y z t
E E
z z
∂   
∂   
    ∂
∂
∂ ∂ ∂
= ∧ = ∧ = − = − ∀
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
Le champ d’induction magnétique n’a donc de composante non nulle que sur x et l’on obtient cette
composante en intégrant par rapport au temps.
( ) ( )
2
22
0 0
2 2
0
cos sin cos sin
y
xz
E
B E E
Ey y
k t kz t kz
t y z k a a
a kc
∂ 
∂ ω
∂π π π
= − + = − + ω − = − ω −
∂ ∂ ∂  
et donc
( )
02
0
cos cos
x
Ey
B t kz e
a
kc
ω
π
= ω −
Il serait possible d’y ajouter une constante magnétostatique, mais seule nous intéresse ici le champ
propagatif, fonction du temps.
3- Proposer une représentation spatiale de cette onde électromagnétique. Comment peut-on nommer une
telle onde ?
Note : La représentation spatiale d’une telle onde ne
pourrait en aucun cas être demandée en temps limité
et sans outil informatique adéquat.
Le schéma ci-contre est obtenu à l’aide du logiciel de
calcul formel Maple.
L’onde est harmonique et propagative selon z dans le
sens
0
z
>
, mais il ne s’agit pas d’une onde plane
puisque l’amplitude des champs n’est pas identique
en tout point d’un plan orthogonal à la direction de
propagation. Le champ d’induction magnétique est
transverse, mais ce n’est pas le cas pour le champ
électrique pour lequel il existe une composante
vibratoire longitudinale. Tout ceci est caractéristique
d’une onde guidée.
Il existe des nœuds de vibration pour le champ d’induction magnétique pour les valeurs
,
2
a
y na n
= + ∈
: l’onde présente un caractère de stationnarité dans la direction y.
B
E
x
y
z

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Remarque : Nous rencontrons le même type d’onde dans le cas de la propagation guidée entre deux
plans métalliques, mais alors c’est le champ électrique qui est transverse et le champ magnétique qui
présente une composante longitudinale.
4- Déterminer le vecteur de Poynting de cette onde. Se produit-il une propagation d’énergie ?
Le vecteur de Poynting a pour expression
0
B
EΠ = ∧
µ
Avec
y y z z
E E e E e
= + et
x x
B B e
=
, cela donne : 0 0
y x
z x
y z
E B
E B
e e
Π = −
µ µ
Soit :
y y z z
e e
Π = Π +Π avec
( )
( )
2
0 0
2
2
0 0
2
sin sin 2 2
4
cos cos
y
z
Ey
t kz composante transversale
k ka a
Ey
t kz composante longitudinale
k a
ε ω π π
Π = ω −
ε ω π
Π = ω −
La composante transversale
y
Π
est de valeur moyenne nulle dans le temps et ne correspond donc à
aucun transfert d’énergie.
La composante longitudinale
z
Π
est de valeur moyenne positive : il lui est associé une propagation
d’énergie électromagnétique dans la direction et le sens de la propagation.
2
2
0 0 cos
2
z z z
t
t
Ey
e e
k a
ε ω π
Π = Π =
Cette propagation de fait à une vitesse égale à la vitesse de groupe
g
v
inférieure à la vitesse de
propagation des ondes électromagnétiques planes dans le vide :
2 2 2 2
2 2 0 0 0 0
g 0 0
22
2 2
1
c c c k c
d d
v k c c
dk dk v
a
a k
ϕ
π
ω 
= = + = = = <
  ωπ
  +