MP – Physique-chimie. Travaux dirigés Onde électromagnétique dans le vide - corrigé On considère un champ électrique d’une onde électromagnétique de la forme suivante : 0 πy E = E0 cos cos ( ωt − kz ) a πy cos ( ωt − kz + ϕ ) αE0 sin a 1- À partir de l’équation de Maxwell-Gauss et de l’équation de propagation du champ, déterminer α , ϕ et k en fonction de ω , a et de la vitesse c0 de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide. ∂E ∂E y ∂E Équation de Maxwell-Gauss : div E = x + + z = 0, ∀ { x, y, z , t} ∂x ∂y ∂z πy π div E = − E0 sin cos ( ωt − kz ) − k α sin ( ωt − kz + ϕ ) a a π En posant u = ωt − kz , la condition nécessaire div E = 0 s’écrit donc cos u = k α sin ( u + ϕ ) a Deux fonctions harmoniques de la même variable ne peuvent égale quel que soit u que si elles ont π π même amplitude et même phase, soit : α = et ϕ = − . Le champ électrique s’écrit donc : ka 2 0 πy E = E0 cos cos ( ωt − kz ) a π πy E0 sin sin ( ωt − kz ) ka a π π Remarque : Les valeurs α = − et ϕ = + correspondent à la même solution. ka 2 Ex = 0 ∂2 Ey ∂2 Ey ∂2 Ey 1 ∂2 Ey L’équation de propagation s’écrit : ∀ { x, y, z , t} E y = + + − =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 c 2 ∂t 2 ∂ 2 Ez ∂ 2 Ez ∂ 2 Ez 1 ∂ 2 Ez Ez = ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 − c 2 ∂t 2 = 0 Chacune des deux équations d’Alembertiennes donne la même condition : π2 ω2 ω2 π2 2 2 E y = − 2 − k + 2 E y = 0 ∀ { x, y , z , t} ⇒ 2 = k + 2 c0 c0 a a 2 2 2 2 Ez = −k 2 − π2 + ω2 Ez = 0 ∀{ x, y, z, t} ⇒ ω2 = k 2 + π2 a c0 c0 a Jean Le Hir, 9 décembre 2007 Page 1 sur 3 LYCÉE DE KERICHEN MP-Physique-chimie Travaux dirigés π2 c02 s’appelle « relation de dispersion ». Elle impose une condition a2 absolue sur la pulsation ω, il existe une pulsation de coupure ωc . En posant ωc = πc0 a , cette condition s’écrit : ω > ωc . 2- À partir de l’équation de Maxwell-Faraday, déterminer le champ magnétique B associé à ce champ électrique dans cette onde électromagnétique et vérifier que ce champ satisfait bien aux autres équations de Maxwell qui le concernent. Cette relation ω2 = k 2 c02 + L’équation de Maxwell-Faraday s’écrit : ∂ ∂x Ex 0 0 ∂ ∂ ∂E ∂E y rot E = ∧ E y = ∧ E y = z − ∂z ∂y ∂y ∂y ∂ ∂ ∂z Ez ∂z Ez ∂B , ∀ { x , y , z , t} ex = − ∂t Le champ d’induction magnétique n’a donc de composante non nulle que sur x et l’on obtient cette composante en intégrant par rapport au temps. ∂Bx E0 π2 E0 ω2 ∂Ez ∂E y πy πy 2 =− + = − 2 + k cos sin ( ωt − kz ) = − cos sin ( ωt − kz ) 2 ∂t ∂y ∂z k a a a kc0 E ω πy et donc B = 0 2 cos cos ( ωt − kz ) ex a kc0 Il serait possible d’y ajouter une constante magnétostatique, mais seule nous intéresse ici le champ propagatif, fonction du temps. 3- Proposer une représentation spatiale de cette onde électromagnétique. Comment peut-on nommer une telle onde ? x B Note : La représentation spatiale d’une telle onde ne pourrait en aucun cas être demandée en temps limité et sans outil informatique adéquat. E Le schéma ci-contre est obtenu à l’aide du logiciel de calcul formel Maple. L’onde est harmonique et propagative selon z dans le sens z > 0 , mais il ne s’agit pas d’une onde plane puisque l’amplitude des champs n’est pas identique en tout point d’un plan orthogonal à la direction de propagation. Le champ d’induction magnétique est transverse, mais ce n’est pas le cas pour le champ électrique pour lequel il existe une composante vibratoire longitudinale. Tout ceci est caractéristique d’une onde guidée. y z Il existe des nœuds de vibration pour le champ d’induction magnétique pour les valeurs a y = + na, n ∈ : l’onde présente un caractère de stationnarité dans la direction y. 2 JLH 09/12/2007 Page 2 sur 3 LYCÉE DE KERICHEN MP-Physique-chimie Travaux dirigés Remarque : Nous rencontrons le même type d’onde dans le cas de la propagation guidée entre deux plans métalliques, mais alors c’est le champ électrique qui est transverse et le champ magnétique qui présente une composante longitudinale. 4- Déterminer le vecteur de Poynting de cette onde. Se produit-il une propagation d’énergie ? B Le vecteur de Poynting a pour expression Π = E ∧ µ0 E B E y Bx ez Avec E = E y ey + Ez ez et B = Bx ex , cela donne : Π = z x e y − µ0 µ0 ε0 E02ω π 2πy Π = sin sin ( 2ωt − 2kz ) y k 4 ka a Soit : Π = Π y e y + Π z ez avec 2 ε0 E02ω πy cos ( ωt − kz ) cos Πz = k a composante transversale composante longitudinale La composante transversale Π y est de valeur moyenne nulle dans le temps et ne correspond donc à aucun transfert d’énergie. La composante longitudinale Π z est de valeur moyenne positive : il lui est associé une propagation d’énergie électromagnétique dans la direction et le sens de la propagation. Π t 2 ε E 2 ω πy 0 0 = Π z t ez = cos ez 2k a Cette propagation de fait à une vitesse égale à la vitesse de groupe vg inférieure à la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques planes dans le vide : vg = JLH 09/12/2007 d ω d 2 2 π2 c02 k c0 + 2 = dk dk a c2 c2k c0 = 0 = 0 = < c0 2 vϕ ω π 1+ 2 2 a k Page 3 sur 3